上學(xué)期高三數(shù)學(xué)理科期末試題
有很多同學(xué)的高考成績(jī)不好是因?yàn)閿?shù)學(xué)不好，其實(shí)數(shù)學(xué)不難的，只有我們多做題，小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學(xué)，僅供大家參考
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題參考
一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若 ( 為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 已知 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
3.下列敘述中正確的是( )
A.命題“a、b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為“a+b不是偶數(shù)，則a、b都是奇數(shù)”
B.“方程 表示橢圓”的充要條件是“ ”
C.命題“ ”的否定是“ ”
D. “m=2”是“ ： 與 ： 平行”的充分條件
4.已知等差數(shù)列{an}的公差為5，前n項(xiàng)和為Sn，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S6=( )
A.80 B.85 C.90 D.95
5.《九章算術(shù)》一書中，第九章“勾股”中有如下問題:今有勾八步，股一十五步.問勾中容圓徑幾何?其意思是,今有直角三角形，短的直角邊長(zhǎng)為8步，長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為15步，問該直角三角形能容納圓的直徑最大是多少?通過上述問題我們可以知道，當(dāng)圓的直徑最大時(shí)，該圓為直角三角形的內(nèi)切圓，則往該直角三角形中隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在此三角形內(nèi)切圓內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D
6.如圖，小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為( )
A.8-4π3 B.8-π
C.8-2π3 D.8-π3
7.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，若將f(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.kπ-π4，kπ+π4，k∈Z B.2kπ-π4，2kπ+π4，k∈Z
C.kπ-π3，kπ+π6，k∈Z D.2kπ-π3，2kπ+π6，k∈Z
8.函數(shù)f(x)=ln|x-1||1-x|的圖象大致為( )
9.平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且AP=1，若AP→=xAB→+yAD→，則3x+2y的最大值為( )
A.4 B.5 C.2 D.13
10.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為 ，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f(x)> ，且y=f(x)-1為奇函數(shù)，則不等式f(x)
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C.(-∞，e4) D.(e4，+∞)
11.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得 ，則該橢圓離心率的取值范圍為( )
A.(0，2-1) B.22，1 C.0，22 D.(2-1,1)
12.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若x1+x2+4=233|AB|，則∠AFB的最大值為 ( )
A.π3 B.3π4 C.5π6 D.2π3
二、填空題(本題共4道小題，每小題5分，共20分)
13.若 ，則目標(biāo)函數(shù) 的取值范圍是 .
14. 的展開式中 的系數(shù)為 .
15.2016年9月3日，二十國(guó)集團(tuán)(G20)工商峰會(huì)在杭州開幕，為了歡迎二十國(guó)集團(tuán)政要及各位來賓的到來，杭州市決定舉辦大型歌舞晚會(huì).現(xiàn)從A、B、C、D、E 5名歌手中任選3人出席演唱活動(dòng)，當(dāng)3名歌手中有A和B時(shí)，A需排在B的前面出場(chǎng)(不一定相鄰)，則不同的出場(chǎng)方法有 .
16.已知函數(shù)f(x)=(3x+1)ex+1+mx，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)使得f(x)≤0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
三.解答題(本大題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17. (本小題滿分12分)在等比數(shù)列 中，首項(xiàng) ，數(shù)列 滿足 ，且 .(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，又設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，求證： .
18.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面SAD⊥平面ABCD，P為AD的中點(diǎn)，SA=SD=2，BC=12AD=1，CD=3.
(1)求證：SP⊥AB; (2)求直線BS與平面SCD所成角的正弦值;
(3)設(shè)M為SC的中點(diǎn)，求二面角S—PB—M的余弦值.
19.(本小題滿分12分)
某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù);
(2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)名次在1—50名和951—1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到表格中的數(shù)據(jù)，試問：能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系?
(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的養(yǎng)眼習(xí)慣，并且在這9人中任抽取3人，記名次在1—50名的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20. (本小題滿分12分)
已知點(diǎn) 為圓 的圓心， 是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) 在圓的半徑 上，且有點(diǎn) 和 上的點(diǎn) ，滿足 ， .(1)當(dāng)點(diǎn) 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) 的軌跡方程;(2)若斜率為 的直線 與圓 相切，與(1)中所求點(diǎn) 的軌跡交于不同的兩點(diǎn) , 是坐標(biāo)原點(diǎn)，且 時(shí)，求 的取值范圍.
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=aln x-x+1x，其中a>0. (1)若f(x)在(2，+∞)上存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍; (2)設(shè) x1∈(0,1)， x2∈(1，+∞)，若f(x2)-f(x1)存在最大值，記為M(a)，則 當(dāng)a≤e+1e時(shí)，M(a)是否存在最大值?若存在，求出其最大值;若不存在，請(qǐng)說明理由.
請(qǐng)考生在第(22)、(23)題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。
22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)
已知曲線 ( 為參數(shù))和定點(diǎn) ， 、 是此曲線的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn) 為極點(diǎn)，以 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線 的極坐標(biāo)方程.
(2)經(jīng)過點(diǎn) 且與直線 垂直的直線交此圓錐曲線于 、 兩點(diǎn)，求 的值.
23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-3|+|x+m|(x∈R). (1)當(dāng)m=1時(shí)，求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集，求參數(shù)m的取值范圍.
考試答案
一. 選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B D C A D A D C B D D
二. 填空題
13. 14. 320 15. 51 16. -52e，-83e2
三.解答題
17.解：(1)由 和 得 ，所以 ，
設(shè)等比數(shù)列 的公比為q， ， ，
解得 . ……6分
(2)由(1)得 ，證明 為等差數(shù)列， ,則 ，
， . ………12分
18. (1)證明：∵在△SAD中，SA=SD，P為AD的中點(diǎn)，∴SP⊥AD，∵平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD.
∴SP⊥平面ABCD.(3分) ∵AB⊂平面ABCD，∴SP⊥AB.(4分)
(2)∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=12AD，P為AD的中點(diǎn)，∴BC∥PD，且BC=PD.∴四邊形BCDP為平行四邊形.∵AD⊥DC，∴AD⊥PB.(6分) 由(1)可知SP⊥平面ABCD，故以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系P—xyz，如圖.
則P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，3，0)，S(0,0，3)，C(-1，3，0)，D(-1,0,0).
∴BS→=(0，-3，3)，CD→=(0，-3，0)，SD→=(-1,0，-3).
設(shè)平面SCD的法向量為n=(x，y，z)，
∵n⊥CD→，n⊥SD→，∴-3y=0.-x-3z=0.令z=1，則x=-3，y=0，∴n=(-3，0,1)為平面SCD的一個(gè)法向量.(8分)
設(shè)直線BS與平面SCD所成角為α.
sinα=|cos〈n，BS→〉|=n•BS→|n||BS→|=32×6=24，
∴直線BS與平面SCD所成角的正弦值為24.(9分)
(3)∵AP⊥SP，AP⊥BP，SP∩BP=P，∴AP⊥平面SPB.
即PA→=(1,0,0)為平面SPB的法向量.∵M(jìn)為SC的中點(diǎn).
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為-12，32，32，而PB→=(0，3，0)，PM→=-12，32，32.設(shè)平面MPB的法向量為m=(x，y，z).
∵m⊥PB→，m⊥PM→，∴3y=0，-12x+32y+32z=0.
令z=1，則x=3，y=0，∴m=(3，0,1)，(11分)
∴cos〈m，PA→〉=m•PA→|m||PA→|=32×1=32.(12分)易知，二面角S—PB—M為銳角，∴二面角S—PB—M的余弦值為32.(13分)
19.(本小題滿分12分)
解：(1)由圖可知，第一組3 人，第二組7人，第三組27人，因?yàn)楹笏慕M的頻數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為90，所以后四組的頻數(shù)依次為27，24，21，18，所以視力在5.0以下的人數(shù)為3+7+27+24+21=82(或者100-18=82)人，全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)約為
.
(2)
因此在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系.
(3)依題意9人中年級(jí)名次在1—50名和951—1000名分別有3人和6人，X所有可能取值有0，1，2, 3.
X 0 1 2 3
P
X的分布列為
X的數(shù)學(xué)期望E(X)=
20.解：(1)由題意知 中線段 的垂直平分線，所以
所以點(diǎn) 的軌跡是以點(diǎn) ， 為焦點(diǎn)，焦距為2，長(zhǎng)軸為 的橢圓，
， ， ,故點(diǎn) 的軌跡方程是 (2)設(shè)直線 ，
直線 與圓 相切
聯(lián)立
所以
為所求.
21.解：(1) ，x∈(0，+∞).
由題意，得 =0在(2，+∞)上有根(且不為重根)，即a=x+1x在x∈(2，+∞)上有解.∵y=x+1x在(2，+∞)上單調(diào)遞增，∴x+1x∈ 52，+∞. ∴當(dāng)a>52時(shí)，f(x)在(2，+∞)上存在極值點(diǎn).∴a的取值范圍是52，+∞.(4分)
(2)當(dāng)0
易知當(dāng)a>2時(shí)，方程 =0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，設(shè)為m，n，且0
對(duì)∀x1∈(0,1)，有f(x1)≥f(m)，對(duì)∀x2∈(1，+∞)，有f(x2)≤f(n)，∴[f(x2)-f(x1)]max=f(n)-f(m).(6分)
∴M(a)=f(n)-f(m)=aln n-n+1n-aln m-m+1m=alnnm+(m-n)+1n-1m，又a=m+n，mn=1，
∴M(a)=1n+n +21n-n=21n+nln n+21n-n.(8分)
∵2
設(shè)h(x)=21x+xln x+21x-x，x∈(1，e]，則
=2 ln x+21x+x1x+2 =2 ln x，x∈(1，e].
∴ >0，即h(x)在(1，e]上單調(diào)遞增. ∴h(x)max=h(e)=2e+1e ln e+21e-e=4e. ∴M(a)存在最大值，最大值為4e. (12分)
22.解：(1)曲線C： 可化為 ，其軌跡為橢圓，
焦點(diǎn)為 和 。經(jīng)過 和 的直線方程為 ，即 極坐標(biāo)方程為 .
(2)由(1)知，直線AF2的斜率為 ，因?yàn)?⊥AF2，所以 的斜率為 ，傾斜角為30°，所以 的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，
代入橢圓C的方程中，得 .
因?yàn)镸，N在點(diǎn)F1的兩側(cè)，所以
23.解：(1)當(dāng)m=1時(shí)，f(x)≥6等價(jià)于x≤-1-(x+1)-(x-3)≥6，或-1
解得x≤-2或x≥4，
所以不等式f(x)≥6的解集為{x|x≤-2或x≥4}.(5分)
(2)解法一：化簡(jiǎn)f(x)得，當(dāng)-m≤3時(shí)，
f(x)=-2x+3-m，x≤-mm+3，-m
當(dāng)-m>3時(shí)，f(x)=-2x+3-m，x≤3-3-m，3
根據(jù)題意得：-m≤3m+3≤5，即-3≤m≤2，(8分)
或-m>3-m-3≤5，即-8≤m<-3，(9分)
∴參數(shù)m的取值范圍為{m|-8≤m≤2}.(10分)
解法二：∵|x-3|+|x+m|≥|(x-3)-(x+m)|=|m+3|，∴f(x)min=|3+m|，(7分)
∴|m+3|≤5，(8分)
∴-8≤m≤2，∴參數(shù)m的取值范圍為{m|-8≤m≤2}.(10分)
理科生高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末
一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.已知集合 ， ，則 =( )
(A) (B)
(C) (D)
2.設(shè) ，直線 ，直線 ，則“ ”是“ ”的( )
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
3.設(shè)變量 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) 的最小值是( )
(A)-5 (B)1
(C)2 (D)7
4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出 的值為( )
(A)7
(B)14
(C)30
(D)41
5.已知 , ， ， ，則 的大小關(guān)系為( )
(A) (B) (C) (D)
6.己知函數(shù) 圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為2，將 的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) 的圖象，則下列是函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間的為( )
(A) (B) (C) (D)
7.已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，過 作圓 的切線，交雙曲線右支于點(diǎn) ，若 ，則雙曲線的離心率為( )
(A) (B) (C) (D)
8.定義域?yàn)?的函數(shù) 滿足 ，當(dāng) 時(shí)， . 若 時(shí)， 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空題：(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
9.已知復(fù)數(shù) ( 是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) 的虛部為___________.
10.若二項(xiàng)式 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ，則 =_____________.
11.已知正方體 中，四面體 的表面積為 ，則該正方體的體積是_____________.
12.已知拋物線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)， )，其焦點(diǎn)為 ，頂點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ，過點(diǎn) 斜率為 的直線 與拋物線 交于點(diǎn) ( 在 軸的上方)，過 作 于點(diǎn) ，若 的面積為 ，則 =_____________.
13.設(shè) 若 則 的最小值為_____________.
14.在梯形 中， ∥ ， ， ， ， ， 分別為線段 和 上的動(dòng)點(diǎn)，且 ， ，則 的最大值為_____________.
三、解答題：(本大題共6小題，共80分)
15.(本題滿分13分)
在 中，內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 . ， ，
.
(Ⅰ)求邊 的值;
(Ⅱ)求 的值.
16.(本題滿分13分)
某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，這些人要參加元旦聯(lián)歡會(huì)的服務(wù)工作. 從這些人中隨機(jī)抽取4人負(fù)責(zé)舞臺(tái)服務(wù)工作，另外6人負(fù)責(zé)會(huì)場(chǎng)服務(wù)工作.
(Ⅰ)設(shè) 為事件：“負(fù)責(zé)會(huì)場(chǎng)服務(wù)工作的志愿者中包含女志愿者 但不包含男志愿者 ”，求事件 發(fā)生的概率.
(Ⅱ)設(shè) 表示參加舞臺(tái)服務(wù)工作的女志愿者人數(shù)，求隨機(jī)變量 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
17.(本題滿分13分)
如圖，已知梯形 中， ∥ ， ， ，四邊形 為矩形， ，平面 平面 .
(Ⅰ)求證： ∥平面 ;
(Ⅱ)求平面 與平面 所成二面角的正弦值;
(Ⅲ)若點(diǎn) 在線段 上，且直線 與平面 所成角
的正弦值為 ，求線段 的長(zhǎng).
18.(本題滿分13分)
設(shè) 是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，公比大于0.已知 ， ， ， .
(Ⅰ)求數(shù)列 ， 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè) ， ( ).
(ⅰ)求 ;
(ⅱ)證明 ( )
19.(本題滿分14分)
設(shè)橢圓 的右頂點(diǎn)為 ，上頂點(diǎn)為 .已知橢圓的離心率為 ， .
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線 與橢圓交于 兩點(diǎn)，且點(diǎn) 在第二象限. 與 延長(zhǎng)線交于點(diǎn) ，若 的面積是 面積的3倍，求 的值.
20.(本題滿分14分)
已知函數(shù) ，其中 ， =2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 設(shè) 是 的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)若 時(shí)，函數(shù) 在 處的切線經(jīng)過點(diǎn) ，求 的值;
(Ⅱ)求函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若 ，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)，求 的取值范圍.
天津市部分區(qū)2018～2019學(xué)年度第一學(xué)期期末六校聯(lián)考
高三數(shù)學(xué)(理科)參考答案
一、選擇題(每小題5分，共40分)
1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.C
二、填空題(每小題5分，共30分)
9. 10.124 11.8 12. 13. 14.
三、解答題(共80分)
15.(本題滿分13分)
【解析】(Ⅰ)由 ，得 ………………………………1分
，由 ，得 ， ……………………3分
由余弦定理 ，得 ，解得 或 (舍)
…………………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由 得 ………………………………………………7分
………………………………………………10分
…………………………13分
16.(本題滿分13分)
【解析】(Ⅰ)事件為 的基本事件的總數(shù)為 ，
事件 包含基本事件的個(gè)數(shù)為 ，則 . …………………4分
(Ⅱ)由題意知 可取的值為： . ……………………………5分
則 ，
， ，
………………………………………………………10分
因此 的分布列為
0 1 2 3 4
……………………………………… ………………………………………11分
的數(shù)學(xué)期望是
= …13分
17.(本題滿分13分)
【解析】(Ⅰ)證明：四邊形 為矩形， ，
又平面 平面 ，平面 平面 = ，
平面 . …………………………………………………………1分
取 為原點(diǎn)， 所在直線為 軸， 所在直線為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，則 ， ， ， ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，∵ ， ，
由 得 ，不妨設(shè) ，………3分
又 ∴ ，∴ ，……4分
又∵ 平面 ∴ ∥平面 . ……………………5分
(Ⅱ)設(shè)平面 的法向量
∵ ，
由 得 ，不妨設(shè) ， …………7分
∴ ，…………………………………………8分
∴平面 與平面 所成二面角的正弦值為 .…9分
(Ⅲ)∵點(diǎn) 在線段 上，設(shè)
∴ ， ……………10分
又∵平面 的法向量 ，設(shè)直線 與平面 所成角為
∴ ，
，
， ………………………………………………12分
∴ ， ，∴ 的長(zhǎng)為 .…13分
18.(本題滿分13分)
【解析】(Ⅰ)設(shè)數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公差為 ，數(shù)列 的公比為 ，
∵ ， ，∴ ，∴ 或 ，
∵ ，∴ ，∴ . …………………………………………3分
由 ， 解得 ， ：
∴ ， . …………………………………………………………5分
(Ⅱ)設(shè) ，則 ………………………6分
(ⅰ) …9分
(ⅱ) ………………………11分
………………………………………………………13分
19.(本題滿分14分)
【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓的焦距為 ，由已知得 ，
所以，橢圓的方程為 . …………………………………………………3分
(II)設(shè)點(diǎn) ， ，由題意， 且
由 的面積是 面積的3倍，可得 ， …………………5分
所以 ，從而 ，
所以 ，即 . ………………………………………6分
易知直線 的方程為 ，由 消去 ，可得 …7分
由方程組 消去 ，可得 . …………………………9分
由 ，可得 ， …………………………………10分
整理得 ，解得 ，或 . ………………………12分
當(dāng) 時(shí)， ，符合題意;當(dāng) 時(shí)， ，不符合題意，舍去.
所以， 的值為 . …………………………………………………14分
20.(本題滿分14分)
【解析】(I) 時(shí)， ，
∴切線斜率 ，切點(diǎn)坐標(biāo) ∴切線方程
∵切線經(jīng)過點(diǎn) ，∴ ∴ …………………………3分
(II)∵ ∴ .
∵ 在 單調(diào)遞增，∴
，即 時(shí)， ，所以 單調(diào)遞增區(qū)間為 …4分
②當(dāng) ，即 時(shí)， ，所以 單調(diào)遞減區(qū)間為 ……5分
③當(dāng) 時(shí)，令 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為
綜上①②③可得：
當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為 ;
當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ;
當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減區(qū)間為 . …………………………7分
(Ⅲ)由 得： ， …………8分
由已知，設(shè) 為 在區(qū)間 內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，
則由 可知， 在區(qū)間 上至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.
∴ 在區(qū)間 內(nèi)存在零點(diǎn)，在區(qū)間 內(nèi)也存在零點(diǎn).
∴ 在區(qū)間 內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).
由(II)可知，
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，故 在 內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，故 在 內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.
∴ ， …………………………………………………9分
此時(shí) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增
………………………………………………………10分
令 ，∵ ∴ ，
令
，令 得 ;令 得 ;
∴ 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減.
∴ 在 恒成立.
即 在
∴由 得 ，∴ ∴
∴ 的取值范圍是 . …………………………………………………14分
上學(xué)期高三數(shù)學(xué)理科期末試題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合 ， ，則 真子集的個(gè)數(shù)( )
A. B. C. D.
2.若復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,其中 ， 為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù) 取值范圍為( )
A. B. C. D.
3.已知 ， ， ，則( )
A. B. C. D.
4.下圖為國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2018年上半年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(CPI)數(shù)據(jù)折線圖，(注：同比是今年第n個(gè)月與去年第n個(gè)月之比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計(jì)周期和上一個(gè)統(tǒng)計(jì)周期之比)
下列說法錯(cuò)誤的是( )
A 2018年6月CPI環(huán)比下降0.1%，同比上漲1.9%
B 2018年3月CPI環(huán)比下降1.1%，同比上漲2.1%
C 2018年2月CPI環(huán)比上漲0.6%，同比上漲1.4%
D 2018年6月CPI同比漲幅比上月略微擴(kuò)大0.1個(gè)百分點(diǎn)
5. 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為( )
A.-15 B.16 C.15 D.-16
6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 ( )
A B
C D
7.函數(shù) 的部分圖像如圖所示，則 ( )
A. B. C. D
8.有一程序框圖如圖所示，要求運(yùn)行后輸出的值為大于1000的最小數(shù)值，則在空白的判斷框內(nèi)可以填入的是
A. B. C. D.
9.已知點(diǎn) 雙曲線 右焦點(diǎn)，直線 與雙曲C交于 兩點(diǎn)，且 ，則該雙曲線的離心率為 ( )
A. B. C. D.
10.楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律.現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….記作數(shù)列 ，若數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，則 ( )
A. B. C. D.
11.如圖，單位正方體 的對(duì)角面 上存在一動(dòng)點(diǎn) ，過點(diǎn) 作垂直于平面 的直線，與正方體表面相交于 兩點(diǎn).則 的面積最大值為 ( )
A. B. C. D.
12.已知 若 有最小值，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( )
A B C D
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知向量 滿足 ,且 ,則向量 與 的夾角為 .
14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足 ，則 的取值范圍為_____.
15.某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該外商不同的投資方案有________種.
16.在 中，角 所對(duì)的邊分別是 ，若 ，且 ，則 的周長(zhǎng)取值范圍為__________________。
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.已知數(shù)列 為等差數(shù)列， 為 的前 項(xiàng)和， .數(shù)列 為等比數(shù)列且 .
(1)求數(shù)列 和 的通項(xiàng)公式;
(2)記 ，其前 項(xiàng)和為 ，求證： .
18.如圖，多面體 為正三棱柱 沿平面 切除部分所得， 為 的中點(diǎn)，且 .
(1)若 為 中點(diǎn),求證 ;
(2)若二面角 大小為 ，求直線 與平面 所成角的正弦值.
19.當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對(duì)初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試，是激發(fā)學(xué)生、家長(zhǎng)和學(xué)校積極開展體育活動(dòng)，保證學(xué)生健康成長(zhǎng)的有效措施.某地區(qū) 2018年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)考試滿分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到右邊頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：
每分鐘
跳繩個(gè)數(shù) [155，165) [165，175) [175，185) [185，+∞)
得分 17 18 19 20
(Ⅰ)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率;
(Ⅱ)若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差S2≈169(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：
(ⅰ)預(yù)估全年級(jí)恰好有2000名學(xué)生時(shí)，正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù);(結(jié)果四舍五入到整數(shù))
(ⅱ)若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望.
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ﹣σ
20.已知橢圓 的離心率 ，且橢圓過點(diǎn) .
(I)求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)已知點(diǎn) 為橢圓 的下頂點(diǎn)， 為橢圓 上與 不重合的兩點(diǎn)，若直線 與直線 的斜率之和為 ，試判斷是否存在定點(diǎn) ，使得直線 恒過點(diǎn) ，若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.
21.已知函數(shù) .
(1)求函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線方程;
(2)已知函數(shù) 區(qū)間 上的最小值為1，求實(shí)數(shù) 的值.
請(qǐng)考生在第22，23兩題中任選一題做答.只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個(gè)題記分.做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題號(hào)后方框涂黑.
選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程
22.已知在極坐標(biāo)系中，直線 的極坐標(biāo)方程為 ，曲線 的極坐標(biāo)方程為 ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)寫出直線 和曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線 ： 與曲線 交于 兩點(diǎn)， ，求 的值.
選修4-5：不等式選講
23.已知函數(shù) .
(1)當(dāng) 時(shí)，解不等式 ;
(2)若 對(duì)于 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
江西省紅色七校2019屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題答案
一、選擇題：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B C C B A D C A B A C
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13 14 15 60 16
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.解析：(1)設(shè)公差為 ，則由 得， 解得 所以 ……3
設(shè) 的公比 ， 所以 ， ， …………………………….6
(2) ………………………………………………8
，………………………………………11
易知 隨著 的增大而增大，所以 …………………………………12
18.解析：(1)取 中點(diǎn)N，連接MN，則MN為 的中位線
………………………………………………2
………………………………………………4
………………………………………………6
(2) 由 可得 二面角 平面角，二面角 大小為 可得 ………………………………………………8
如圖建立空間直角坐標(biāo)系
， , ,
設(shè)平面 的法向量為
…………………………………………10……
………………………………………………11
所以直線 與平面 所成角的正弦值為 .………………………………………………12
19.解析：(Ⅰ)兩人得分之和不大于35分，即兩人得分均為17分，或兩人中1人17分，1人18分，
………………3
(Ⅱ) =160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08=185(個(gè))…………5
又σ2≈169，σ=13，所以正式測(cè)試時(shí)，μ=195，σ=13，∴μ﹣σ=182.
(ⅰ)∴P(ξ>182)=1﹣ =0.8413，∴0.8413×2000=1682.6≈1683.(人) ………………7
(ⅱ)由正態(tài)分布模型，全年級(jí)所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5，
即ξ～B(3，0.5)，∴P(ξ=0)= ，P(ξ=1)= ，P(ξ=2)= ，P(ξ=3)= ，………………10
∴ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P 0.125 0.375 0.375 0.125
E(ξ)=3×0.5=1.5 ………………(12分)
20.解析：(I)∵橢圓 的離心率 ，∴ ，即 ，
∵點(diǎn) 在橢圓 上，∴ ，由 解得 ，
∴橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .………………………………………………4
(II)由(I)知 ，當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 的方程為 ，
代入 得， ，∴ ，即 .設(shè) ，則 ，………………………………………………6
∵直線 與直線 的斜率之和為 ，
∴ ，整理得 ，………………………………………………8
∴直線 的方程為 ，顯然直線 經(jīng)過定點(diǎn) .
當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線 的方程為 ，
∵直線 與直線 的斜率之和為 ，設(shè) ，則 ，
∴ ，解得 ，………………………………………………10
此時(shí)直線 的方程為 ，顯然直線 經(jīng)過定點(diǎn) .
綜上，存在定點(diǎn) ，使得直線 恒過點(diǎn) .………………………………………………12
21.解析(1) ，則函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線方程為 ;……………4分
(2) ， ，
在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，存在唯一的 ，使得 ，即 (*)，……………7分
函數(shù) 在 上單調(diào)遞增， ， 單調(diào)遞減; ，單調(diào)遞增， ，由(*)式得 ，……………9分
，顯然 是方程的解，又 是單調(diào)減函數(shù)，方程 有且僅有唯一的解 ，把 代入(*)式得，
， ，所求實(shí)數(shù) 的值為 . …………………………12分
解法2： ， ，
在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，存在唯一的 ，使得 ，即 (*)，……………7分
函數(shù) 在 上單調(diào)遞增， ， 單調(diào)遞減; ，單調(diào)遞增， ，由 式得 ，
=
,
(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) )，由 得 ,此時(shí) ，把 代入(*)也成立，
∴實(shí)數(shù) 的值為 .…………………………12分
選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程
22.解析：(1)因?yàn)橹本€ ： ，故 ，
即直線 的直角坐標(biāo)方程： ;………………………………………………3
因?yàn)榍€ ： ，則曲線 直角坐標(biāo)方程： .…………………………………5
(2)設(shè)直線 參數(shù)方程為
將其帶入曲線 的直角坐標(biāo)系方程得 ，
設(shè) 對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 則 ………………………………………………8
.………………………………………………10
選修4-5：不等式選講
23.解析：(1) 時(shí)，不等式為 ，等價(jià)于
或 或 ，………………………………3
解得 ，或 或 ，
∴ ，
∴不等式的解集是 .………………………………………………5
(2)由絕對(duì)值的三角不等式得 ，
∵ 對(duì)于 恒成立，………………………………………………7
∴ ，解得 或 .
∴實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .………………………………………………10
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