第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)期末試卷題
我們大家在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候如果不知道從哪里考試學(xué)習(xí)起來就看看吧，小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學(xué)，喜歡的就來一起學(xué)習(xí)
高三年級(jí)數(shù)學(xué)期末試卷題
參考公式：1.柱體的體積公式： ，其中 是柱體的底面面積， 是高.
2.圓錐的側(cè)面積公式： ，其中是圓錐底面的周長(zhǎng)， 是母線長(zhǎng).
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置.
1.已知集合 ， ，則 ▲ .
2.已知復(fù)數(shù) ( 為虛數(shù)單位)，則的模為 ▲ .
3.函數(shù) 的定義域?yàn)?▲ .
4.如圖是一個(gè)算法的偽代碼，運(yùn)行后輸出 的值為 ▲ .
5.某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1 000名學(xué)生的成績(jī)，并根據(jù)這1 000名學(xué)生的成績(jī)畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績(jī)?cè)赱250，400)內(nèi)的學(xué)生共有 ▲ 人.
6.在平面直角坐標(biāo)系 中，已知雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則該雙曲線的離心率為 ▲ .
7.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體)，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為 ▲ .
8.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為 ，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是 ，則這個(gè)正四棱柱的體積是 ▲ .
9.若函數(shù) 的圖象與直線 的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是 ， ， ，則實(shí)數(shù) 的值為 ▲ .
10.在平面直角坐標(biāo)系 中，曲線 上任意一點(diǎn) 到直線 的距離的最小值為 ▲ .
11.已知等差數(shù)列 滿足 ， ，則 的值為 ▲ .
12.在平面直角坐標(biāo)系 中，若圓 上存在點(diǎn) ，且點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn) 在圓 上，則的取值范圍是 ▲ .
13.已知函數(shù) 函數(shù) ，則不等式 的解集為 ▲ .
14.如圖，在 中，已知 ， 為邊 的中點(diǎn).若 ，垂足為 ，則EB·EC的值為▲.
二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計(jì)算步驟.
15.(本小題滿分14分)
在 中，角 ， ， 所對(duì)的邊分別為， ，，且 , .
?、徘?的值;
?、迫?，求 的面積.
16.(本小題滿分14分)
如圖，在直三棱柱 中， ， ， ， 分別是 ， 的中點(diǎn).
求證：⑴ ;
?、?.
17.(本小題滿分14分)
某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2.已知圓O的半徑為10cm，設(shè)∠BAO=θ， ，圓錐的側(cè)面積為Scm2.
?、徘骃關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式;
⑵為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時(shí)腰AB的長(zhǎng)度.
18.(本小題滿分16分)
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 的離心率為 ，且過點(diǎn) . 為橢圓的右焦點(diǎn)， 為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，連接 分別交橢圓于 兩點(diǎn).
⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
?、迫?，求 的值;
?、窃O(shè)直線 ， 的斜率分別為 ， ，是否存在實(shí)數(shù)，使得 ，若存在，求出的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.
19.(本小題滿分16分)
已知函數(shù) .
⑴當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的極值;
?、迫舸嬖谂c函數(shù) ， 的圖象都相切的直線，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
20.(本小題滿分16分)
已知數(shù)列 ，其前 項(xiàng)和為 ，滿足 ， ，其中 ， ， ， .
?、湃?， ， ( )，求證：數(shù)列 是等比數(shù)列;
?、迫魯?shù)列 是等比數(shù)列，求 ， 的值;
?、侨?，且 ，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列.
數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置.
1. 2. 3. 4. 5.750 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計(jì)算步驟.
15.(1)在 中，由 ，得 為銳角，所以 ，
所以 ，………………………………………………………………2分
所以 . ………………………………4分
…………………………………………………………6分
(2)在三角形 中,由 ，
所以 ， ………………………………………………8分
由 ，…………………………10分
由正弦定理 ,得 ，………………………12分
所以 的面積 . …………………………14分
16.(1)證明：取 的中點(diǎn) ，連結(jié)
因?yàn)?分別是 的中點(diǎn)，
所以 且
在直三棱柱 中， ， ，
又因?yàn)?是 的中點(diǎn)，
所以 且 . …………………………………………2分
所以四邊形 是平行四邊形，
所以 ，………………………………………………………………4分
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………………………………………………6分
(2)證明：因?yàn)槿庵?為直三棱柱，所以 面 ，
又因?yàn)?面 ，
所以面 面 ，…………………8分
又因?yàn)?，所以 ，
面 面 ， ，
所以 面 ， ………………………10分
又因?yàn)?面 ，
所以 ，即 ，
連結(jié) ，因?yàn)樵谄叫兴倪呅?中， ，
所以 ，
又因?yàn)?，且 ， 面 ，
所以 面 ，……………………………………………………………………12分
而 面 ，
所以 .……………………………………………………………………………14分
17.(1)設(shè) 交 于點(diǎn) ，過 作 ，垂足為 ，
在 中， ， ，
…………………………………………………………2分
在 中， ，
…………………………………………………………4分
所以
， ……………………6分
(2)要使側(cè)面積最大，由(1)得：
…………8分
設(shè)
則 ，由 得：
當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
所以 在 時(shí)取得極大值，也是最大值;
所以當(dāng) 時(shí)，側(cè)面積 取得最大值，…………………………11分
此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)
答：側(cè)面積 取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰 的長(zhǎng)度為 .…………14分
18.(1)設(shè)橢圓方程為 ，由題意知： ……………2分
解之得： ，所以橢圓方程為： ……………………………4分
(2)若 ，由橢圓對(duì)稱性，知 ，所以 ，
此時(shí)直線 方程為 ，……………………………………………6分
由 ，得 ，解得 ( 舍去)，…………8分
故 .…………………………………………………………………10分
(3)設(shè) ，則 ，
直線 的方程為 ，代入橢圓方程 ，得
，
因?yàn)?是該方程的一個(gè)解，所以 點(diǎn)的橫坐標(biāo) ，…………………12分
又 在直線 上，所以 ，
同理， 點(diǎn)坐標(biāo)為 ， ，……………………………………………14分
所以 ，
即存在 ，使得 . ………………………………………………………16分
19.(1)函數(shù) 的定義域?yàn)?/p>
當(dāng) 時(shí)， ，
所以 ………………………………………………2分
所以當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
所以函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)遞減，在區(qū)間 單調(diào)遞增，
所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得極小值為 ，無極大值;…………………4分
(2)設(shè)函數(shù) 上點(diǎn) 與函數(shù) 上點(diǎn) 處切線相同，
則
所以 ……………………………………6分
所以 ，代入 得：
………………………………………………8分
設(shè) ，則
不妨設(shè) 則當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，……………10分
代入 可得：
設(shè) ，則 對(duì) 恒成立，
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，又
所以當(dāng) 時(shí) ，即當(dāng) 時(shí) , ……………12分
又當(dāng) 時(shí)
……………………………………14分
因此當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 必有零點(diǎn);即當(dāng) 時(shí)，必存在 使得 成立;
即存在 使得函數(shù) 上點(diǎn) 與函數(shù) 上點(diǎn) 處切線相同.
又由 得：
所以 單調(diào)遞減，因此
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .…………………………………………………16分
20.(1)證明：若 ，則當(dāng) ( ),
所以 ，
即 ，
所以 ，……………………………………………………………2分
又由 ， ，
得 ， ，即 ，
所以 ，
故數(shù)列 是等比數(shù)列.……………………………………………………………4分
(2)若 是等比數(shù)列，設(shè)其公比為 ( )，
當(dāng) 時(shí)， ，即 ，得
， ①
當(dāng) 時(shí)， ，即 ，得
， ②
當(dāng) 時(shí)， ，即 ，得
， ?、?/p>
?、?#61485;① ，得 ，
?、?#61485;② ，得 ，
解得 .
代入①式，得 .…………………………………………………………………8分
此時(shí) ( )，
所以 ， 是公比為1的等比數(shù)列，
故 .……………………………………………………………………10分
(3)證明：若 ，由 ，得 ，
又 ，解得 .…………………………………………………12分
由 ， ， ， ，代入 得 ，
所以 ， ， 成等差數(shù)列，
由 ，得 ，
兩式相減得：
即
所以
相減得：
所以
所以
， ……………………………………14分
因?yàn)?，所以 ，
即數(shù)列 是等差數(shù)列.………………………………………………………………16分
高三數(shù)學(xué)文科上學(xué)期期末試卷
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.[2018•重慶11月調(diào)研]已知 為虛數(shù)單位，則 ( )
A. B.1 C. D.
2.[2018•中山一中]設(shè)集合 ， ，則集合 等于( )
A. B. C. D.
3.[2018•浙江學(xué)考]函數(shù) 的圖像不可能是( )
A. B.
C. D.
4.[2018•天水一中]設(shè)向量 ， 滿足 ， ，則 ( )
A.6 B. C.10 D.
5.[2018•藍(lán)圃學(xué)校]甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字記為 ，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為 ，且 .若 ，則稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則二人“心有靈犀”的概率為( )
A. B. C. D.
6.[2018•和平區(qū)期末]已知直線 為雙曲線 的一條漸近線，則該雙曲線的離心率是( )
A. B. C. D.
7.[2018•玉林摸底]在 中， ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ，已知 ， ， ，則 的周長(zhǎng)是( )
A. B. C. D.
8.[2018•五省聯(lián)考]有一程序框圖如圖所示，要求運(yùn)行后輸出的值為大于1000的最小數(shù)值，則在空白的判斷框內(nèi)可以填入的是( )
A. B. C. D.
9.[2018•贛州期中]如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體 中， 為線段 上的動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值為( )
A. B. C. D.
10.[2018•吉林調(diào)研]將函數(shù) 的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的 倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得函數(shù)的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，最后得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則 的最小值為( )
A. B. C. D.
11.[2018•書生中學(xué)]過拋物線 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 ， 兩點(diǎn)，若線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
12.[2018•婁底模擬]已知 為定義在 上的奇函數(shù)， ，且當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，則不等式 的解集為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.[2018湖北七校聯(lián)考•]若函數(shù) 為奇函數(shù)，則曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為______________.
14.[2018•九江十校聯(lián)考]已知實(shí)數(shù) ， 滿足不等式組 ，那么 的最大值和最小值分別是 和 ，則 ___________.
15.[2018•山師附中]已知 ，則 ___________.
16.[2018•陜西四校聯(lián)考]直三棱柱 的底面是直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于底面三角形的斜邊長(zhǎng)，若其外接球的體積為 ，則該三棱柱體積的最大值為__________.
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(12分)[2018•重慶一中]已知數(shù)列 為等比數(shù)列， ， 是 和 的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
18.(12分)[2018•中山一中]下圖是我國(guó)2010年至2016年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.
注：年份代碼1~7分別對(duì)應(yīng)年份2010~2016.
(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合 與 的關(guān)系，請(qǐng)求出相關(guān)系數(shù) ，并用相關(guān)系數(shù)的大小說明 與 相關(guān)性的強(qiáng)弱;
(2)建立 關(guān)于 的回歸方程(系數(shù)精確到 )，預(yù)測(cè)2018年我國(guó)生活垃圾無害化處理量.附注：
參考數(shù)據(jù)： ， ， ， .
參考公式：相關(guān)系數(shù) ，
回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： ， .
19.(12分)[2018•化州一模]如圖所示，在四棱錐 中， 平面 ， ， ， .
(1)求證： ;
(2)當(dāng)幾何體 的體積等于 時(shí)，求四棱錐 的側(cè)面積.
20.(12分)[2018•黃山八校聯(lián)考]已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ，離心率 ，點(diǎn) 是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 面積的最大值是 .
(1)求橢圓的方程;
(2)若 ， ， ， 是橢圓上不重合的四點(diǎn)， 與 相交于點(diǎn) ， ，且 ，求此時(shí)直線 的方程.
21.(12分)[2018•東師附中]已知函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(2)若 恒成立，求 的值.
請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.(10分)【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
[2018•安丘質(zhì)檢]在直角坐標(biāo)系 中，直線 經(jīng)過點(diǎn) ，傾斜角 ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 .
(1)求曲線 的直角坐標(biāo)方程并寫出直線 的參數(shù)方程;
(2)直線 與曲線 的交點(diǎn)為 ， ，求點(diǎn) 到 、 兩點(diǎn)的距離之積.
23.(10分)【選修4-5：不等式選講】
[2018•湖北、山東聯(lián)考]已知函數(shù) .
(1)解不等式 ;
(2)若不等式 有解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
文科數(shù)學(xué)答案
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【答案】B
【解析】 ，故選B.
2.【答案】A
【解析】由集合 ， ，
則集合 ，故選A.
3.【答案】A
【解析】直接利用排除法： ①當(dāng) 時(shí)，選項(xiàng)B成立;
②當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù)的圖象類似D;
?、郛?dāng) 時(shí)， ，函數(shù)的圖象類似C;故選A.
4.【答案】D
【解析】∵向量 ， 滿足 ， ，∴ ，解得 .
則 .故選D.
5.【答案】A
【解析】由題意，可知甲乙兩人各猜一個(gè)數(shù)字，共有 (種)猜字結(jié)果，
其中滿足 的有：
當(dāng) 時(shí)， ，1;當(dāng) 時(shí)， ，1，2;當(dāng) 時(shí)， ，2，3;
當(dāng) 時(shí)， ，3，4;當(dāng) 時(shí)， ，4，5;當(dāng) 時(shí)， ，5，6;
當(dāng) 時(shí)， ，6，7;當(dāng) 時(shí)， ，7，8;當(dāng) 時(shí)， ，8，9;
當(dāng) 時(shí)， ，9，共有 種，
∴他們“心有靈犀”的概率為 ，故選A.
6.【答案】D
【解析】結(jié)合雙曲線的方程可得雙曲線的漸近線為 ，
則雙曲線的一條漸近線為 ，
據(jù)此有 ，∴ .故選D.
7.【答案】C
【解析】∵ ，∴由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
又 ，解得 ， .∴ 的周長(zhǎng)是 .故選C.
8.【答案】B
【解析】程序運(yùn)行過程如下：首先初始化數(shù)據(jù)： ， ，
此時(shí) 的值不大于 ，應(yīng)執(zhí)行： ， ;
此時(shí) 的值不大于 ，應(yīng)執(zhí)行： ， ;
此時(shí) 的值不大于 ，應(yīng)執(zhí)行： ， ;
此時(shí) 的值不大于 ，應(yīng)執(zhí)行： ， ;
此時(shí) 的值不大于 ，應(yīng)執(zhí)行： ， ;
此時(shí) 的值不大于 ，應(yīng)執(zhí)行： ， ;
此時(shí) 的值大于 ，應(yīng)跳出循環(huán)，
即 時(shí)程序不跳出循環(huán)， 時(shí)程序跳出循環(huán)，
結(jié)合選項(xiàng)可知空白的判斷框內(nèi)可以填入的是 .故選B.
9.【答案】B
【解析】由題意，將面 與面 沿 展開成平面圖形，如圖所示，
線段 即為 的最小值，
在 中，利用余弦定理可得 ，故選B.
10.【答案】D
【解析】由已知 ，將函數(shù) 的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的 倍，縱坐標(biāo)不變，可得 的圖象;
再把所得的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，可得 的圖象;
根據(jù)所得函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則 ， ;
解得 ， ;
令 ，可得 的最小正值是 .故選D.
11.【答案】B
【解析】設(shè) ， ，∵過拋物線 的焦點(diǎn) ，
設(shè)直線方程為 ，代入拋物線方程可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
解得 ，故選B.
12.【答案】B
【解析】由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意可知函數(shù) 是定義在 上的單調(diào)遞增函數(shù)，
不等式 ，即 ，
即 ，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得 ，
求解不等式可得不等式 的解集為 .故選B.
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.【答案】
【解析】 為奇函數(shù)，則 ，
∴ ， ，∴ ，
又 ，曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 ，即 .
14.【答案】0
【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示.
由 得 ，結(jié)合圖形，平移直線 可得，
當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，直線在 軸上的截距最大，此時(shí) 取得最大值;
當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，直線在 軸上的截距最小，此時(shí) 取得最小值.
由題意得 ， ，∴ ， ，
∴ .故答案為0.
15.【答案】
【解析】有三角函數(shù)誘導(dǎo)公式： ，
.
16.【答案】
【解析】設(shè)三棱柱底面直角三角形的直角邊為 ， ，則棱柱的高 ，
設(shè)外接球的半徑為 ，則 ，解得 ，
∵上下底面三角形斜邊的中點(diǎn)連線的中點(diǎn)是該三棱柱的外接球的球心，
∴ .∴ ，∴ ，
∴ .當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)“ ”成立.∴三棱柱的體積 .
故答案為 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)設(shè)數(shù)列 的公比為 ，∵ ，∴ ， .
∵ 是 和 的等差中項(xiàng)，∴ .
即 ，化簡(jiǎn)得 .
∵公比 ，∴ . ∴ .
(2)∵ ，∴ .∴ ，
則 .
18.【答案】(1) ，說明 與 的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合 與 的關(guān)系;
(2) ，預(yù)測(cè)2018年我國(guó)生活垃圾無害化處理量將約 億噸.
【解析】(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ， ， ， ，
∴ .
∵ 與 的相關(guān)系數(shù)近似為 ，說明 與 的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合 與 的關(guān)系.
(2)由 及(1)得 ，
∴ .
∴ 關(guān)于 的回歸方程為 .
將2018年對(duì)應(yīng)的 代入回歸方程得 .
∴預(yù)測(cè)2018年我國(guó)生活垃圾無害化處理量將約 億噸.
19.【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】(1)連結(jié) ，取 的中點(diǎn) ，連結(jié) ，
則直角梯形 中， ， ，∴ ，即 ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 ，∴ 平面 ，
由 平面 得 ;
(2)∵ ，
∴ ，∴ ， ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴四棱錐 的側(cè)面積為
.
20.【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)由題意知，當(dāng)點(diǎn) 是橢圓上、下頂點(diǎn)時(shí)， 面積取得最大值，
此時(shí) ，又 ，
解得 ， ，所求橢圓的方程為 .
(2)由(1)知 ，由 得 ，
?、佼?dāng)直線 與 有一條直線的斜率不存在時(shí)， ，不合題意，
?、诋?dāng)直線 的斜率為 ( 存在且不為0)時(shí)，其方程為 ，
由 消去 得 ，
設(shè) ， ，則 ， ，
∴ ，
直線 的方程為 ，同理可得 ，
由 解得 ，故所求直線 的方程為 .
21.【答案】(1)函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為 ，單調(diào)增區(qū)間為 ;(2) .
【解析】(1)依題意， ，令 ，解得 ，故 ，
故當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增;
故函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為 ，單調(diào)增區(qū)間為 .
(2) ，其中 ，
由題意知 在 上恒成立， ，
由(1)可知，∴ ，
∴ ，記 ，則 ，令 ，得 .
當(dāng) 變化時(shí)， ， 的變化情況列表如下：
0
極大值
∴ ，故 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
又 ，從而得到 .
請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.【答案】(1)曲線 的直角坐標(biāo)方程為 ，
的參數(shù)方程為 ;(2)3.
【解析】(1)∵ ，
∴ ，即 ;直線 的參數(shù)方程為 ;
(2)把 ， 代入圓的直角坐標(biāo)方程 得 ，
設(shè) ， 是方程的兩根，則 ，由參數(shù) 的幾何意義，得 .
23.【答案】(1) ;(2) 或 .
【解析】(1) ，
∴ 或 或 ，解得 或 或無解，
綜上，不等式 的解集是 .
(2)
，當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，
不等式 有解，∴ ，
∴ ，∴ 或 ，即 或 ，
∴實(shí)數(shù) 的取值范圍是 或 .
數(shù)學(xué)高三年級(jí)期中試卷考試
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.[2018•攀枝花統(tǒng)考]已知集合 ， ，則集合 ( )
A. B. C. D.
2.[2018•南寧三中]復(fù)數(shù) 滿足 ，則 ( )
A. B. C. D.
3.[2018•青島調(diào)研]如圖，在正方體 中， 為棱 的中點(diǎn)，用過點(diǎn) ， ， 的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為( )
A. B.
C. D.
4.[2018•佛山調(diào)研]已知 ，則 ( )
A. B. C. 或1 D.1
5.[2018•廈門質(zhì)檢]甲乙兩名同學(xué)分別從“象棋”、“文學(xué)”、“攝影” 三個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選取一個(gè)社團(tuán)加入，則這兩名同學(xué)加入同一個(gè)社團(tuán)的概率是( )
A. B. C. D.
6.[2018•中山一中]函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.[2018•山師附中]函數(shù) 是 上的偶函數(shù)，且 ，若 在 上單調(diào)遞減，則函數(shù) 在 上是( )
A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.先增后減的函數(shù) D.先減后增的函數(shù)
8.[2018•棠湖中學(xué)]已知兩點(diǎn) ， ，若曲線 上存在點(diǎn) ，使得 ，則正實(shí)數(shù) 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
9.[2018•優(yōu)創(chuàng)名校]函數(shù) 的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
10.[2018•南海中學(xué)]已知雙曲線 的右焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在雙曲線的漸近線上， 是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形( 為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為( )
A. B.
C. D.
11.[2018•黃陵中學(xué)]在 中，角 ， ， 所對(duì)的邊分別為 ， ， ，已知 ， ， ，則 ( )
A. B. C. 或 D.
12.[2018•赤峰二中]如圖 是邊長(zhǎng)為1的正方體， 是高為1的正四棱錐，若點(diǎn) ， ， ， ， 在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.[2018•南康模擬]已知單位向量 ， 的夾角為 ，則 ________.
14.[2018•南寧摸底]某學(xué)校共有教師300人，其中中級(jí)教師有120人，高級(jí)教師與初級(jí)教師的人數(shù)比為 .為了解教師專業(yè)發(fā)展要求，現(xiàn)采用分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有中級(jí)教師72人，則該樣本中的高級(jí)教師人數(shù)為__________.
15.[2018•高新區(qū)月考]若實(shí)數(shù) ， 滿足不等式組 ，則 的取值范圍是__________.
16.[2018•河南名校聯(lián)盟]已知函數(shù) ，函數(shù) .若當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 與函數(shù) 的值域的交集非空，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為__________.
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(12分)[2018•華僑中學(xué)]已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
18.(12分)[2018•太原五中]為了解太原各景點(diǎn)在大眾中的熟知度，隨機(jī)對(duì) 歲的人群抽樣了 人，回答問題“太原市有哪幾個(gè)著名的旅游景點(diǎn)?”，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及頻率分布直方圖如圖表.
組號(hào) 分組 回答正確的人數(shù) 回答正確的人數(shù)占本組的頻率
第1組
第2組 18
第3組
第4組 9
第5組 3
(1)分別求出 ， ， ， 的值;
(2)從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2，3，4組每組各抽取多少人?
(3)在(2)抽取的6人中隨機(jī)抽取2人，求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率.
19.(12分)[2018•肇慶統(tǒng)測(cè)]如圖1，在高為2的梯形 中， ， ， ，過 、 分別作 ， ，垂足分別為 、 .已知 ，將梯形 沿 、 ，同側(cè)折起，使得 ， ，得空間幾何體 ，如圖2.
(1)證明： ;
(2)求三棱錐 的體積.
20.(12分)[2018•成都實(shí)驗(yàn)中學(xué)]已知橢圓 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，焦距為 ，離心率為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)設(shè)直線 經(jīng)過點(diǎn) ，且與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)，若 ，求直線 的方程.
21.(12分)[2018•齊齊哈爾期末]已知常數(shù)項(xiàng)為 的函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 ，其中 為常數(shù).
(1)當(dāng) 時(shí)，求 的最大值;
(2)若 在區(qū)間 ( 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的最大值為 ，求 的值.
請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.(10分)【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
[2018•南昌模擬]在平面直角坐標(biāo)系 中，直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求 的參數(shù)方程;
(2)求直線 被 截得的弦長(zhǎng).
23.(10分)【選修4-5：不等式選講】
[2018•安康中學(xué)]已知函數(shù) .
(1)解不等式 ;
(2)設(shè)函數(shù) 的最小值為 ，若 ， 均為正數(shù)，且 ，求 的最小值.
文科數(shù)學(xué)答案
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【答案】B
【解析】集合 ，
∵ ，∴ ，故選B.
2.【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴ .故選D.
3.【答案】C
【解析】取 中點(diǎn) ，連接 ， .平面 為截面.如下圖：
∴故選C.
4.【答案】D
【解析】∵ ，
又∵ ，∴ .故選D.
5.【答案】B
【解析】由題意，甲乙兩名同學(xué)各自等可能地從“象棋”、“文學(xué)”、“攝影”三個(gè)社團(tuán)中選取一個(gè)社團(tuán)加入，共有 種不同的結(jié)果，這兩名同學(xué)加入同一個(gè)社團(tuán)的有3種情況，
則這兩名同學(xué)加入同一個(gè)社團(tuán)的概率是 .故選B.
6.【答案】B
【解析】由題意，函數(shù) ，
令 ， ，解得 ， ，
即函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間是 ， ，故選B.
7.【答案】D
【解析】已知 ，則函數(shù)周期 ，
∵函數(shù) 是 上的偶函數(shù)，在 上單調(diào)遞減，
∴函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，即函數(shù)在 先減后增的函數(shù).故選D.
8.【答案】D
【解析】∵ ，∴點(diǎn) 在圓 ，
又點(diǎn) 還在圓 ，故 ，
解不等式有 ，故選D.
9.【答案】C
【解析】由 ，得 為偶數(shù)，圖象關(guān)于 軸對(duì)稱，排除 ;
，排除 ; ，排除 ，故選C.
10.【答案】B
【解析】雙曲線 的右焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在雙曲線的漸近線上， 是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形( 為原點(diǎn))，
可得 ， ，即 ， ，解得 ， ，
雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在 軸，所得雙曲線的方程為 ，故選B.
11.【答案】B
【解析】利用正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系，原式可化為： ，
去分母移項(xiàng)得： ，
∴ ，∴ .由同角三角函數(shù)得： ，
由正弦定理 ，解得 ，∴ 或 (舍).故選B.
12.【答案】D
【解析】設(shè)球的半徑為 ，球心到平面 的距離為 ，
則利用勾股定理可得 ，
∴ ，∴球的表面積為 .故選D.
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.【答案】
【解析】 ， ，
，故答案為 .
14.【答案】60
【解析】∵學(xué)校共有教師300人，其中中級(jí)教師有120人，
∴高級(jí)教師與初級(jí)教師的人數(shù)為 人，
∵抽取的樣本中有中級(jí)教師72人，∴設(shè)樣本人數(shù)為 ，則 ，解得 ，
則抽取的高級(jí)教師與初級(jí)教師的人數(shù)為 ，
∵高級(jí)教師與初級(jí)教師的人數(shù)比為 .
∴該樣本中的高級(jí)教師人數(shù)為 .故答案為60.
15.【答案】
【解析】∵實(shí)數(shù) ， 滿足 ，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：
則 表示可行域內(nèi)的點(diǎn) 到 的兩點(diǎn)的連線斜率的范圍，
由圖可知 的取值范圍為 .
16.【答案】
【解析】依題意， ;
當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)， ，
當(dāng) 時(shí)， ， 時(shí)單調(diào)遞減， ，∴ ，∴ ;
當(dāng) 時(shí)， ， 時(shí)單調(diào)遞增， 顯然不符合題意;
綜上所述，實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)當(dāng) 時(shí)， ;
當(dāng) 時(shí)， .
當(dāng) 時(shí)，也符合上式，故 .
(2)∵ ，
故 .
18.【答案】(1) ， ， ， ;(2)2，3，1;(3) .
【解析】(1)由頻率表中第4組數(shù)據(jù)可知，第4組總?cè)藬?shù)為 ，
再結(jié)合頻率分布直方圖可知 ，
∴ ， ，
， ;
(2)∵第2，3，4組回答正確的人數(shù)共有54人，
∴利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數(shù)為：
第2組： 人;第3組： 人;第4組： 人，
(3)設(shè)第2組2人為： ， ;第3組3人為： ， ， ;第4組1人為： .
則從6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能的結(jié)果為： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15個(gè)基本事件，其中恰好沒有第3組人共3個(gè)基本事件，
∴所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率是 .
19.【答案】(1)見解析;(2) .
【解析】(1)證法一：連接 交 于 ，取 的中點(diǎn) ，
連接 ，則 是 的中位線，∴ .
由已知得 ，∴ ，
連接 ，則四邊形 是平行四邊形，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，即 .
證法二：延長(zhǎng) ， 交于點(diǎn) ，連接 ，則 ，
由已知得 ，∴ 是 的中位線，∴ ，
∴ ，四邊形 是平行四邊形， ，
又∵ ， ，∴ .
證法三：取 的中點(diǎn) ，連接 ， ，易得 ，
即四邊形 是平行四邊形，則 ，
又 ， ，∴ ，
又∵ ，∴四邊形 是平行四邊形，∴ ，
又 是平行四邊形，∴ ，∴ ，
∴四邊形 是平行四邊形，∴ ，
又 ， ，∴ ，
又 ，∴面 ，又 ，∴ .
(2)∵ ，∴ ，
由已知得，四邊形 為正方形，且邊長(zhǎng)為2，則在圖2中， ，
由已知 ， ，可得 ，
又 ，∴ ，
又 ， ，∴ ，且 ，∴ ，
∴ 是三棱錐 的高，四邊形 是直角梯形.
.
20.【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)設(shè)橢圓方程為 ，
∵ ， ，∴ ， ，
所求橢圓方程為 .
(2)由題得直線 的斜率存在，設(shè)直線 方程為 ，
則由 得 ，且 .
設(shè) ， ，則由 ，得 ，
又 ， ，
∴ ， ，消去 解得 ， ，
∴直線 的方程為 .
21.【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)∵ 函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為 ，∴ .
當(dāng) 時(shí)， ，∴ ，
∴當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增;
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減.
∴當(dāng) 時(shí)， 有極大值，也為最大值，且 .
(2)∵ ， ，∴ ，
?、偃?，則 ， 在 上是增函數(shù)，
∴ ，不合題意.
?、谌?，則當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增;
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減.
∴當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有極大值，也為最大值，且 ，
令 ，則 ，解得 ，符合題意.
綜上 .
請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.【答案】(1) 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù));(2) .
【解析】(1)∵ 的極坐標(biāo)方程為 ，
∴ 的直角坐標(biāo)方程為 ，即 ，
∴ 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)).
(2)∵直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，
∴直線 的普通方程為 ，∴圓心到直線 的距離 ，
∴直線 被 截得的弦長(zhǎng)為 .
23.【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)∵ ，∴ 或 或 ，
∴ ，
∴不等式解集為 ;
(2)∵ ，∴ ，
又 ， ， ，∴ ，
∴ ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取等號(hào)，
∴ .
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