數(shù)學高三年級期末考試試卷
學習好數(shù)學是有很多的技巧的，所以大家要多做題看出技巧，小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學，希望大家好好參考哦
數(shù)學高三年級期末考試卷
參考公式：1.柱體的體積公式： ，其中 是柱體的底面面積， 是高.
2.圓錐的側(cè)面積公式： ，其中 是圓錐底面的周長， 是母線長.
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題卡相應位置.
1.已知集合 ， ，則 ▲ .
2.已知復數(shù) ( 為虛數(shù)單位)，則 的模為 ▲ .
3.函數(shù) 的定義域為 ▲ .
4.如圖是一個算法的偽代碼，運行后輸出 的值為 ▲ .
5.某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1 000名學生的成績，并根據(jù)這1 000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在[250，400)內(nèi)的學生共有 ▲ 人.
6.在平面直角坐標系 中，已知雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則該雙曲線的離心率為 ▲ .
7.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體)，觀察向上的點數(shù)，則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為 ▲ .
8.已知正四棱柱的底面邊長為 ，側(cè)面的對角線長是 ，則這個正四棱柱的體積是 ▲ .
9.若函數(shù) 的圖象與直線 的三個相鄰交點的橫坐標分別是 ， ， ，則實數(shù) 的值為 ▲ .
10.在平面直角坐標系 中，曲線 上任意一點 到直線 的距離的最小值為 ▲ .
11.已知等差數(shù)列 滿足 ， ，則 的值為 ▲ .
12.在平面直角坐標系 中，若圓 上存在點 ，且點 關于直線 的對稱點 在圓 上，則 的取值范圍是 ▲ .
13.已知函數(shù) 函數(shù) ，則不等式 的解集為 ▲ .
14.如圖，在 中，已知 ， 為邊 的中點.若 ，垂足為 ，則EB·EC的值為 ▲ .
二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或計算步驟.
15.(本小題滿分14分)
在 中，角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，且 , .
⑴求 的值;
?、迫?，求 的面積.
16.(本小題滿分14分)
如圖，在直三棱柱 中， ， ， ， 分別是 ， 的中點.
求證：⑴ ;
?、?.
17.(本小題滿分14分)
某藝術品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術裝飾，如圖1.為了便于設計，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2.已知圓O的半徑為10 cm，設∠BAO=θ， ，圓錐的側(cè)面積為S cm2.
⑴求S關于θ的函數(shù)關系式;
?、茷榱诉_到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時腰AB的長度.
18.(本小題滿分16分)
如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 的離心率為 ，且過點 . 為橢圓的右焦點， 為橢圓上關于原點對稱的兩點，連接 分別交橢圓于 兩點.
?、徘髾E圓的標準方程;
?、迫?，求 的值;
?、窃O直線 ， 的斜率分別為 ， ，是否存在實數(shù) ，使得 ，若存在，求出 的值;若不存在，請說明理由.
19.(本小題滿分16分)
已知函數(shù) .
⑴當 時，求函數(shù) 的極值;
?、迫舸嬖谂c函數(shù) ， 的圖象都相切的直線，求實數(shù) 的取值范圍.
20.(本小題滿分16分)
已知數(shù)列 ，其前 項和為 ，滿足 ， ，其中 ， ， ， .
⑴若 ， ， ( )，求證：數(shù)列 是等比數(shù)列;
?、迫魯?shù)列 是等比數(shù)列，求 ， 的值;
?、侨?，且 ，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列.
數(shù)學Ⅱ(附加題)
21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.[選修41：幾何證明選講](本小題滿分10分)
如圖， 是圓 的直徑，弦 , 的延長線相交于點 ， 垂直 的延長線于點 .
求證：
B.[選修42：矩陣與變換](本小題滿分10分)
已知矩陣 ， ，若矩陣 ，求矩陣 的逆矩陣 .
C.[選修4 4：坐標系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)
以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷直線 ( 為參數(shù))與圓 的位置關系.
D.[選修4 5：不等式選講](本小題滿分10分)
已知 都是正實數(shù)，且 ，求證: .
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫
出文字說明、證明過程或演算步驟.
22.(本小題滿分10分)
在正三棱柱 中，已知 ， ， ， ， 分別是 ， 和 的中點.以 為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系 .
?、徘螽惷嬷本€ 與 所成角的余弦值;
?、魄蠖娼?的余弦值.
23.(本小題滿分10分)
在平面直角坐標系xOy中，已知平行于 軸的動直線 交拋物線 于點 ，點 為 的焦點.圓心不在 軸上的圓 與直線 ， ， 軸都相切，設 的軌跡為曲線 .
?、徘笄€ 的方程;
?、迫糁本€ 與曲線 相切于點 ，過 且垂直于 的直線為 ，直線 ， 分別與 軸相交于點 ， .當線段 的長度最小時，求 的值.
數(shù)學參考答案與評分標準
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題卡相應位置.
1. 2. 3. 4. 5.750 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或計算步驟.
15.(1)在 中，由 ，得 為銳角，所以 ，
所以 ，………………………………………………………………2分
所以 . ………………………………4分
…………………………………………………………6分
(2)在三角形 中,由 ，
所以 ， ………………………………………………8分
由 ，…………………………10分
由正弦定理 ,得 ，………………………12分
所以 的面積 . …………………………14分
16.(1)證明：取 的中點 ，連結(jié)
因為 分別是 的中點，
所以 且
在直三棱柱 中， ， ，
又因為 是 的中點，
所以 且 . …………………………………………2分
所以四邊形 是平行四邊形，
所以 ， ………………………………………………………………4分
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………………………………………………6分
(2)證明：因為三棱柱 為直三棱柱，所以 面 ，
又因為 面 ，
所以面 面 ， …………………8分
又因為 ，所以 ，
面 面 ， ，
所以 面 ， ………………………10分
又因為 面 ，
所以 ，即 ，
連結(jié) ，因為在平行四邊形 中， ，
所以 ，
又因為 ，且 ， 面 ，
所以 面 ，……………………………………………………………………12分
而 面 ，
所以 .……………………………………………………………………………14分
17.(1)設 交 于點 ，過 作 ，垂足為 ，
在 中， ， ，
…………………………………………………………2分
在 中， ，
…………………………………………………………4分
所以
， ……………………6分
(2)要使側(cè)面積最大，由(1)得：
…………8分
設
則 ，由 得：
當 時， ，當 時，
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
所以 在 時取得極大值，也是最大值;
所以當 時，側(cè)面積 取得最大值， …………………………11分
此時等腰三角形的腰長
答：側(cè)面積 取得最大值時，等腰三角形的腰 的長度為 .…………14分
18.(1)設橢圓方程為 ，由題意知： ……………2分
解之得： ，所以橢圓方程為： ……………………………4分
(2)若 ，由橢圓對稱性，知 ，所以 ，
此時直線 方程為 ， ……………………………………………6分
由 ，得 ，解得 ( 舍去)，…………8分
故 .…………………………………………………………………10分
(3)設 ，則 ，
直線 的方程為 ，代入橢圓方程 ，得
，
因為 是該方程的一個解，所以 點的橫坐標 ，…………………12分
又 在直線 上，所以 ，
同理， 點坐標為 ， ， ……………………………………………14分
所以 ，
即存在 ，使得 . ………………………………………………………16分
19.(1)函數(shù) 的定義域為
當 時， ，
所以 ………………………………………………2分
所以當 時， ，當 時， ，
所以函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)遞減，在區(qū)間 單調(diào)遞增，
所以當 時，函數(shù) 取得極小值為 ，無極大值;…………………4分
(2)設函數(shù) 上點 與函數(shù) 上點 處切線相同，
則
所以 ……………………………………6分
所以 ，代入 得：
………………………………………………8分
設 ，則
不妨設 則當 時， ，當 時，
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，……………10分
代入 可得：
設 ，則 對 恒成立，
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，又
所以當 時 ，即當 時 , ……………12分
又當 時
……………………………………14分
因此當 時，函數(shù) 必有零點;即當 時，必存在 使得 成立;
即存在 使得函數(shù) 上點 與函數(shù) 上點 處切線相同.
又由 得：
所以 單調(diào)遞減，因此
所以實數(shù) 的取值范圍是 .…………………………………………………16分
20.(1)證明：若 ，則當 ( ),
所以 ，
即 ，
所以 ， ……………………………………………………………2分
又由 ， ，
得 ， ，即 ，
所以 ，
故數(shù)列 是等比數(shù)列.……………………………………………………………4分
(2)若 是等比數(shù)列，設其公比為 ( )，
當 時， ，即 ，得
， ①
當 時， ，即 ，得
， ?、?/p>
當 時， ，即 ，得
， ?、?/p>
②① ，得 ，
?、?#61485;② ，得 ，
解得 .
代入①式，得 .…………………………………………………………………8分
此時 ( )，
所以 ， 是公比為1的等比數(shù)列，
故 . ……………………………………………………………………10分
(3)證明：若 ，由 ，得 ，
又 ，解得 .…………………………………………………12分
由 ， ， ， ，代入 得 ，
所以 ， ， 成等差數(shù)列，
由 ，得 ，
兩式相減得：
即
所以
相減得：
所以
所以
， ……………………………………14分
因為 ，所以 ，
即數(shù)列 是等差數(shù)列.………………………………………………………………16分
數(shù)學Ⅱ(附加題)參考答案與評分標準
21.A.證明：連接 ，因為 為圓的直徑，所以 ，
又 ，則 四點共圓，
所以 . …………………………………………………………5分
又△ ∽△ ，
所以 ，即 ，
∴ . …………10分
B.因為 ， ………………………………………5分
所以 . ………………………………………………………10分
C.把直線方程 化為普通方程為 . ……………………………3分
將圓 化為普通方程為 ，
即 . ………………………………………………………………6分
圓心 到直線 的距離 ，
所以直線 與圓 相切.…………………………………………………………………10分
D.證明：因為
， …………………………………………5分
又 ，
所以 .…………………………………………10分
22.(1)因為 ，則 ，
所以 ， ， ………………………………………2分
記直線 和 所成角為 ，
則 ，
所以直線 和 所成角的余弦值為 . ………………………………………4分
(2)設平面 的法向量為 ，
因為 ， ，
則 ，取 得： ……………………………6分
設平面 的一個法向量為 ，
因為 ， ，
則 ，取 得： ………………………8分
根據(jù)圖形可知二面角 為銳二面角，
所以二面角 的余弦值為 ; ……………………………………10分
23.(1)因為拋物線 的方程為 ，所以 的坐標為 ，
設 ，因為圓 與 軸、直線 都相切， 平行于 軸，
所以圓 的半徑為 ，點 ，
則直線 的方程為 ，即 ，………………………2分
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 的方程為 ………………………………………………4分
(2)設 ， ， ，
由(1)知，點 處的切線 的斜率存在，由對稱性不妨設 ，
由 ，所以 ， ，
所以 ， ， ……………………………………………………6分
所以 .……………………………………8分
令 ， ，
則 ，
由 得 ，由 得 ，
所以 在區(qū)間 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增，
所以當 時， 取得極小值也是最小值，即 取得最小值
此時 .……………………………………………………………10分
高三年級數(shù)學期末考試試題
一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.
1. 已知集合A={1，3，5}，B={3，4}，則集合A∩B= W.
2. 復數(shù)z=1+2ii(i為虛數(shù)單位)的虛部是 W.
3. 某班級50名學生某次數(shù)學考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖所示，則成績在60～80分的學生人數(shù)是 W.
4. 連續(xù)拋擲一顆骰子2次，則擲出的點數(shù)之和為8的概率為 W.
5. 已知3sin(α-π)=cos α，則tan(π-α)的值是 W.
6. 如圖所示的流程圖中，若輸入的a，b分別為4，3，則輸出n的值為 W.
7. 在平面直角坐標系xOy中，中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(-3，1)，則該雙曲線的離心率為 W.
8. 曲線y=x+2ex在x=0處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為 W.
9. 如圖，某種螺帽是由一個半徑為2的半球體挖去一個正三棱錐構(gòu)成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面大圓，頂點在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為 W.
10. 在平面直角坐標系xOy中，過點A(1，3)，B(4，6)，且圓心在直線x-2y-1=0上的圓的標準方程為 W.
11. 設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若S5S10=13，則S5S20+S10= W.
12. 設函數(shù)f(x)=-x2+2x，x≥0，-2x，x<0，若方程f(x)-kx=3有三個相異的實根，則實數(shù)k的取值范圍是 W.
13. 如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M，N分別是邊BC，CD上的兩個動點，且BM+DN=MN，則AM→•AN→的最小值是 W.
14. 設函數(shù)f(x)=2x-ax2，若對任意x1∈(-∞，0)，總存在x2∈[2，+∞)，使得f(x2)≤f(x1)，則實數(shù)a的取值范圍是 W.
二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. (本小題滿分14分)
如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點.求證：
(1) 平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2) C1F∥平面ABE.
16. (本小題滿分14分)
在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，已知2bccos A=2c-3a.
(1) 求角B的大小;
(2) 設函數(shù)f(x)=cos x•sin(x+π3-34)，求f(A)的最大值.
17. (本小題滿分14分)
如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知焦點在x軸上，離心率為12的橢圓E的左頂點為A，點A到右準線的距離為6.
(1) 求橢圓E的標準方程;
(2) 過點A且斜率為32的直線與橢圓E交于點B，過點B與右焦點F的直線交橢圓E于點M，求點M的坐標.
18. (本小題滿分16分)
如圖，長途車站P與地鐵站O的距離為 5千米，從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1，l2，經(jīng)測量，l1，l2的夾角為45°，OP與l1的夾角θ滿足tan θ=12(其中0<θ<π2)，現(xiàn)要經(jīng)過P修一條直路分別與道路l1，l2交匯于A，B兩點，并在A，B處設立公共自行車停放點.
(1) 已知修建道路PA，PB的單位造價分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價相等，求此時點A，B之間的距離;
(2) 考慮環(huán)境因素，需要對OA，OB段道路進行翻修，OA，OB段的翻修單價分別為n元/千米和22n元/千米，要使兩段道路的翻修總價最少，試確定A，B點的位置.
19. (本小題滿分16分)
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-4a(a，b∈R).
(1) 當a=b=1時，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2) 當a≠0時，若函數(shù)f(x)恰有兩個不同的零點，求ba的值;
(3) 當a=0時，若f(x)
20. (本小題滿分16分)
定義：對于任意n∈N*，xn+xn+2-xn+1仍為數(shù)列{xn}中的項，則稱數(shù)列{xn}為“回歸數(shù)列”.
(1) 已知an=2n(n∈N*)，判斷數(shù)列{an}是否為“回歸數(shù)列”，并說明理由;
(2) 若數(shù)列{bn}為“回歸數(shù)列”，b3=3，b9=9，且對于任意n∈N*，均有bn
?、偾髷?shù)列{bn}的通項公式;
?、谇笏械恼麛?shù)s，t，使得等式b2s+3s+1-1b2s+3s-1=bt成立.
2019屆高三模擬考試試卷(四)
數(shù)學附加題(滿分40分，考試時間30分鐘)
21. 【選做題】 在A，B，C三小題中只能選做2題，每小題10分，共20分.若多做，則按作答的前兩題計分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
A. (選修42：矩陣與變換)
已知矩陣M=m723的逆矩陣M-1= n-7-2 m，求實數(shù)m，n的值.
B. (選修44：坐標系與參數(shù)方程)
在極坐標系中，圓C的方程是ρ=4cos θ.在以極點為原點，極軸為x軸正半軸的平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程是x=22t+m，y=22t(t為參數(shù)).若直線l與圓C相切，求實數(shù)m的值.
C. (選修45：不等式選講)
設a，b，c都是正數(shù)，求證：a2b+c+b2c+a+c2a+b≥12(a+b+c).
【必做題】 第22，23題，每小題10分，共20分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
22. 已知正四棱錐SABCD的底面邊長和高均為2，從其五個頂點中任取三個，記這三個頂點圍成的三角形的面積為ξ.
(1) 求概率P(ξ=2);
(2) 求ξ的分布列和數(shù)學期望.
23. 如圖，在四棱錐PABCD中，已知底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，PA=AD，PA與平面PBC所成角的正弦值為217.
(1) 求側(cè)棱PA的長;
(2) 設點E為AB中點，若PA≥AB，求二面角BPCE的余弦值.
2019屆高三模擬考試試卷(蘇州)
數(shù)學參考答案及評分標準
1. {3} 2. -1 3. 25 4. 536 5. 13 6. 3 7. 10 8. 23 9. 23 10. (x-5)2+(y-2)2=17 11. 118 12. (-2，2-23) 13. 82-8 14. [0，1]
15. 證明：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC.
因為AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.(2分)
因為AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，
所以AB⊥平面B1BCC1.(4分)
又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(6分)
(2) 取AB中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.
因為E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點，
所以FG∥AC，且FG=12AC.(8分)
因為AC∥A1C1，且AC=A1C1，
所以FG∥EC1，且FG=EC1，
所以四邊形FGEC1為平行四邊形，(11分)
所以C1F∥EG.
因為EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.(14分)
16. 解：(1) 在△ABC中，因為2bcos A=2c-3a，
由正弦定理asin A=bsin B=csin C，
所以2sin Bcos A=2sinC-3sin A.(2分)
在△ABC中，sin C=sin(A+B)，
所以2sin Bcos A=2sin(A+B)-3sin A，
即2sin Bcos A=2sin Acos B+2cos AsinB-3sin A，
所以3sin A=2cos Bsin A，(4分)
在△ABC中，sin A≠0，所以cos B=32.
又B∈(0，π)，所以B=π6.(6分)
(2) f(x)=cos x•(sin x•cos π3+cos x•sin π3)-34(8分)
=12sin x•cos x+32cos2x-34
=14sin 2x+34(cos 2x+1)-34=12sin(2x+π3)，(10分)
所以f(A)=12sin(2A+π3).
在△ABC中，B=π6，且A+B+C=π，所以A∈(0，5π6)，(12分)
所以2A+π3∈(π3，2π)，所以當2A+π3=π2，即A=π12時，f(A)的最大值為12.(14分)
17. 解：(1) 設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，半焦距為c，
因為橢圓的離心率為12，所以ca=12，即a=2c.
因為A到右準線的距離為6，所以a+a2c=3a=6，(2分)
解得a=2，c=1，(4分)
所以b2=a2-c2=3，所以橢圓E的標準方程為x24+y23=1.(6分)
(2) 直線AB的方程為y=32(x+2)，
由y=32(x+2)，x24+y23=1，得x2+3x+2=0，解得x=-2或x=-1，
則點B的坐標為(-1，32).(9分)
由題意，得右焦點F(1，0)，所以直線BF的方程為y=-34(x-1).(11分)
由y=-34(x-1)，x24+y23=1，得7x2-6x-13=0，解得x=-1或x=137，(13分)
所以點M坐標為(137，-914).(14分)
18. 解：(1) 以O為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標系，
因為0<θ<π2，tan θ=12，所以OP：y=12x.
設P(2t，t)，由OP=5，得t=1，所以P(2，1).(2分)
(解法1)由題意得2m•PA=m•PB，所以BP=2PA，所以點B的縱坐標為3.
因為點B在直線y=x上，所以B(3，3)，(4分)
所以AB=32PB=352.
(解法2)由題意得2m•PA=m•PB，所以BP→=2PA→.
設A(a，0)(a>0)，又點B在射線y=x(x>0)上，所以可設B(b，b)(b>0)，
由BP→=2PA→，得2-b=2(a-2)，1-b=-2，所以a=32，b=3，(4分)
所以A(32，0)，B(3，3)，AB=(3-32)2+32=352.
答：點A，B之間的距離為352千米.(6分)
(2) (解法1)設總造價為S，則S=n•OA+22n•OB=(OA+22OB)•n，
設y=OA+22OB，要使S最小，只要y最小.
當AB⊥x軸時，A(2，0)，這時OA=2，OB=22，
所以y=OA+22OB=2+8=10.(8分)
當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k(x-2)+1(k≠0).
令y=0，得點A的橫坐標為2-1k，所以OA=2-1k;
令x=y，得點B的橫坐標為2k-1k-1.(10分)
因為2-1k>0，且2k-1k-1>0，所以k<0或k>1，
此時y=OA+22OB=2-1k+4(2k-1)k-1，
y′=1k2+-4(k-1)2=-(k+1)(3k-1)k2(k-1)2.(12分)
當k<0時，y在(-∞，-1)上遞減，在(-1，0)上遞增，
所以ymin=y|k=-1=9<10，此時A(3，0)，B(32，32);(14分)
當k>1時，y=2-1k+8(k-1)+4k-1=10+4k-1-1k=10+3k+1k(k-1)>10.
綜上，要使OA，OB段道路的翻修總價最少，A位于距O點3千米處，B位于距O點322千米處.(16分)
(解法2)如圖，作PM∥OA交OB于點M，交y軸于點Q，作PN∥OB交OA于點N，因為P(2，1)，所以OQ=1.
因為∠BOQ=45°，所以QM=1，OM=2，
所以PM=1，PN=OM=2.
由PM∥OA，PN∥OB，得2OB=PAAB，1OA=PBAB，(8分)
所以2OB+1OA=PAAB+PBAB=1.(10分)
設總造價為S，則S=n•OA+22n•OB=(OA+22OB)•n，
設y=OA+22OB，要使S最小，只要y最小.
y=OA+22OB=(OA+22OB)(2OB+1OA)=5+2(OAOB+2OBOA)≥9，(14分)
當且僅當OA=2OB時取等號，此時OA=3，OB=322.
答：要使OA，OB段道路的翻修總價最少，A位于距O點3千米處，B位于距O點322千米處.(16分)
19. 解：(1) 當a=b=1時，f(x)=x3+x2-4，f′(x)=3x2+2x.(2分)
令f′(x)>0，解得x>0或x<-23，
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，-23)和(0，+∞).(4分)
(2) (解法1)f′(x)=3ax2+2bx，令f′(x)=0，得x=0或x=-2b3a.(6分)
因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，所以f(0)=0或f(-2b3a)=0.
當f(0)=0時，得a=0，不合題意，舍去;(8分)
當f(-2b3a)=0時，代入得a(-2b3a)3+b(-2b3a)2-4a=0，
即-827(ba)3+49(ba)3-4=0，所以ba=3.(10分)
(解法2)由于a≠0，所以f(0)≠0，
由f(x)=0，得ba=4-x3x2=4x2-x(x≠0).(6分)
設h(x)=4x2-x，h′(x)=-8x3-1，令h′(x)=0，得x=-2.
當x∈(-∞，-2)時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減;當x∈(-2，0)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增;
當x∈(0，+∞)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增.
當x>0時，h(x)的值域為R，
故不論ba取何值，方程ba=4-x3x2=4x2-x有且僅有一個根;(8分)
當x<0時，h(x)min=h(-2)=3，
所以ba=3時，方程ba=4-x3x2=4x2-x恰有一個根-2，
此時函數(shù)f(x)=a(x+2)2(x-1)恰有兩個零點-2和1.(10分)
(3) 當a=0時，因為f(x)
設g(x)=ln x-bx2，則g′(x)=1x-2bx=1-2bx2x(x>0).
當b≤0時，因為g′(x)>0，所以g(x)在(0，+∞)上遞增，且g(1)=-b≥0，
所以在(1，+∞)上，g(x)=ln x-bx2≥0，不合題意;(11分)
當b>0時，令g′(x)=1-2bx2x=0，得x=12b，
所以g(x)在(0，12b)上遞增，在(12b，+∞)上遞減，
所以g(x)max=g(12b)=ln12b-12.
要使g(x)>0有解，首先要滿足ln12b-12>0，解得b<12e ①.(13分)
因為g(1)=-b<0，g(e12)=12-be>0，
要使f(x)
即ln 2-4b>0，ln 3-9b≤0，解得ln 39≤b
設h(x)=ln xx，則h′(x)=1-ln xx2.
當x∈(0，e)時，h′(x)>0，h(x)遞增;當x∈(e，+∞)時，h′(x)<0，h(x)遞減.
所以h(x)max=h(e)=1e>h(2)=ln 22，所以12e>ln 24.
由①②，得ln 39≤b
20. 解：(1) 假設數(shù)列{an}是“回歸數(shù)列”，
則對任意n∈N*，總存在k∈N*，使an+an+2-an+1=ak成立，
即2n+4•2n-2•2n=2k，即3•2n=2k，(2分)
此時等式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不成立，所以假設不成立，
所以數(shù)列{an}不是“回歸數(shù)列”.(4分)
(2) ① 因為bn
所以bn+bn+2-bn+1>bn且bn+bn+2-bn+1=bn+2-(bn+1-bn)
又數(shù)列{bn}為“回歸數(shù)列”，所以bn+bn+2-bn+1=bn+1，
即bn+bn+2=2bn+1，所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.(6分)
因為b3=3，b9=9，所以bn=n(n∈N*).(8分)
?、谝驗閎2s+3s+1-1b2s+3s-1=bt，所以t=3s+1+s2-13s+s2-1 (*).
因為t-3=2(1-s2)3s+s2-1≤0，所以t≤3.
又t∈N*，所以t=1，2，3.(10分)
當t=1時，(*)式整理為3s=0，不成立.(11分)
當t=2時，(*)式整理為s2-13s=1.
設cn=n2-13n(n∈N*)，因為cn+1-cn=2n(1-n)+33n+1，
所以當n=1時，cn
所以(cn)max=c2=13<1，所以s無解.(14分)
當t=3時，(*)式整理為s2=1，因為s∈N*，所以s=1.
綜上所述，使得等式成立的所有的正整數(shù)s，t的值是s=1，t=3.(16分)
數(shù)學附加題參考答案及評分標準
21. A. 解：由MM-1=m723 n-7-2 m=mn-1402n-6-14+3m=1001，(4分)
所以mn-14=1，2n-6=0，-14+3m=1，(8分)
解得m=5，n=3.(10分)
B. 解：由ρ=4cos θ，得ρ2=4ρcos θ，所以x2+y2=4x，
即圓C的方程為(x-2)2+y2=4.(3分)
又由x=22t+m，y=22t，消t，得x-y-m=0.(6分)
因為直線l與圓C相切，所以|2-m|2=2，所以m=2±22.(10分)
C. 證明：因為(a+b+c)(a2b+c+b2a+c+c2a+b)
=12[(a+b)+(b+c)+(c+a)](a2b+c+b2a+c+c2a+b)(4分)
≥12a+bc2a+b+b+ca2b+c+c+ab2c+a2=12(a+b+c)2，(8分)
所以a2b+c+b2a+c+c2a+b≥12(a+b+c).(10分)
22. 解：(1) 當ξ=2時，所取三點是底面ABCD的四個頂點中的任三個，
所以P(ξ=2)=C34C35=410=25.(2分)
(2) ξ的可能取值為2，5，22.
P(ξ=2)=25;
P(ξ=5)=4C35=25;(4分)
P(ξ=22)=C12C35=15.(6分)
所以ξ的分布列為
ξ 2 5
22
P 25
25
15
(8分)
ξ的數(shù)學期望為E(ξ)=2×25+5×25+22×15=22+25+45.(10分)
23. 解：(1) 取AD中點O，BC中點M，連結(jié)OP，OM，
因為PA=AD，所以OP⊥AD.
因為平面PAD上平面ABCD，OP⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以OP⊥平面ABCD，
所以OP⊥OA，OP⊥OM.
又四邊形ABCD是正方形，所以OA⊥OM.
以O為原點，OA，OM，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，如圖，(1分)
則A(12，0，0)，D(-12，0，0)，B(12，1，0)，C(-12，1，0).
設P(0，0，c)(c>0)，則PB→=(12，1，-c)，CB→=(1，0，0).
設平面PBC的一個法向量為n1=(x1，y1，z1)，(3分)
則12x1+y1-cz1=0，x1=0，取z1=1，則y1=c，從而n1=(0，c，1).
設PA與平面PBC所成角為α，因為PA→=(12，0，-c)，
所以sin α=|cos 〈PA→，n1〉|=|PA→•n1||PA→|•|n1|=c14+c2•c2+1=217，
解得c2=34或c2=13，所以PA=1或PA=216.(5分)
(2) 由(1)知，PA≥AB=1，所以PA=1，c=32.
由(1)知，平面PBC的一個法向量為n1=(0，c，1)=(0，32，1).(6分)
設平面PCE的一個法向量為n2=(x，y，z)，而CE→=(1，-12，0)，PC→=(-12，1，-32)，
所以x-12y=0，-12x+y-32z=0，取x=1，則y=2，z=3，即n2=(1，2，3).(8分)
設二面角BPCE的平面角為β，
所以|cos β|=|cos〈n1，n2〉|=n1•n2|n1|•|n2|=2372×22=67=427.
根據(jù)圖形得β為銳角，所以二面角BPCE的余弦值為427.(10分)
關于高三數(shù)學文上冊期末試卷
第一部分(選擇題 共40分)
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
(1)復數(shù)
A. B. C. D.
(2)在極坐標系中 ，方程 表示的圓為
(3)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 值為
A.4
B.5
C.6
D.7
(4)設 是不為零的實數(shù)，則“ ”是“方程 表示
的曲線為雙曲線”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
(5)已知直線 與圓 相交于 兩點，且 為正三角形，則實數(shù) 的值為
A. B. C. 或 D. 或
(6)從編號分別為1,2,3,4,5，6的六個大小完全相同的小球中，隨機取出三個小球，則恰有兩個小球編號相鄰的概率為
A. B. C. D.
(7)某三棱錐的三視圖如圖所示，則下列說法中：
?、偃忮F的體積為
?、谌忮F的四個面全是直角三角形
③三棱錐的四個面的面積最大的是
所有正確的說法是
A. ①B. ①②C. ②③D. ①③
(8)已知點 為拋物線 的焦點，點 為點 關于原點的對稱點，點 在拋物線 上，則下列說法錯誤的是
A.使得 為等腰三角形的點 有且僅有4個
B.使得 為直角三角形的點 有且僅有4個
C. 使得 的點 有且僅有4個
D. 使得 的點 有且僅有4個
第二部分(非選擇題 共110分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
(9)點 到雙曲線 的漸近線的距離是 .
(10)已知公差為1的等差數(shù)列 中， ， ， 成等比數(shù)列，則 的前100項和為 .
(11)設拋物線 的頂點為 ，經(jīng)過拋物線 的焦點且垂直于 軸的直線和拋物線 交于 兩點，則 .
(12)已知 的展開式中，各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為64:1，則 .
(13)已知正方體 的棱長為 ，點 是棱 的中點，點 在底面 內(nèi)，點 在線段 上，若 ，則 長度的最小值為 .
(14)對任意實數(shù) ，定義集合 .
①若集合 表示的平面區(qū)域是一個三角形，則實數(shù) 的取值范圍是 ;
?、诋?時，若對任意的 ，有 恒成立，且存在 ，使得 成立，則實數(shù) 的取值范圍為 .
三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
(15)(本小題13分)
如圖，在 中，點 在 邊上，且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的值.
(16)(本小題13分)
據(jù)中國日報網(wǎng)報道：2017年11月13日，TOP500發(fā)布的最新一期全球超級計算機500強榜單顯示，中國超算在前五名中占據(jù)兩席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了國產(chǎn)品牌處理器。為了了解國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度，某調(diào)查公司對兩種國產(chǎn)品牌處理器進行了12次測試，結(jié)果如下(數(shù)值越小，速度越快，單位是MIPS)
測試1 測試2 測試3 測試4 測試5 測試6 測試7 測試8 測試9 測試10 測試11 測試12
品牌A 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14
品牌B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21
(Ⅰ)從品牌A的12次測試中，隨機抽取一次，求測試結(jié)果小于7的概率;
(Ⅱ)從12次測試中，隨機抽取三次，記X為品牌A的測試結(jié)果大于品牌B的測試結(jié)果的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E(X);
(Ⅲ)經(jīng)過了解，前6次測試是打開含有文字和表格的文件，后6次測試是打開含有文字和圖片的文件.請你依據(jù)表中數(shù)據(jù)，運用所學的統(tǒng)計知識，對這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進行評價.
(17)(本小題14分)
如題1，梯形 中， 為 中點.將 沿 翻折到 的位置，如圖2.
(Ⅰ)求證：平面 平面 ;
(Ⅱ)求直線 與平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)設 分別為 和 的中點，試比較三棱錐 和三棱錐 (圖中未畫出)的體積大小，并說明理由.
(18)(本小題13分)
已知橢圓 ，點
(Ⅰ)求橢圓 的短軸長和離心率;
(Ⅱ)過 的直線 與橢圓 相交于兩點 ，設 的中點為 ，判斷 與 的大小，并證明你的結(jié)論.
(19)(本小題14分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)求曲線 在點處的切線方程;
(Ⅱ)當 時，求證：函數(shù) 有且僅有一個零點;
(Ⅲ)當 時，寫出函數(shù) 的零點的個數(shù).(只需寫出結(jié)論)
(20)(本小題13分)
無窮數(shù)列 滿足： 為正整數(shù)，且對任意正整數(shù) ， 為前 項 ， ， ， 中等于 的項的個數(shù).
(Ⅰ)若 ，請寫出數(shù)列 的前7項;
(Ⅱ)求證：對于任意正整數(shù) ，必存在 ，使得 ;
(Ⅲ)求證:“ ”是“存在 ，當 時，恒有 成立”的充要條件。
海淀區(qū)高三年級第一學期期末練習參考答案2018.1
數(shù)學(理科)
閱卷須知:
1.評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做到此步應得的累加分數(shù).
2.其它正確解法可以參照評分標準按相應步驟給分.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
選項 A D B A D C D C
二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.(有兩空的小題第一空3分)
(9) (10)5050 (11)2 (12)6 (13) (14)① ②
三、解答題: 本大題共6小題，共80分.
15.(本小題13分)
解：(Ⅰ)如圖所示， ，…………………….1分
故 ， ……………………….2分
設 ，則 ， .
在 中，由余弦定理
……………………….3分
即 ，……………………….4分
解得 ，即 .……………………….5分
(Ⅱ)方法一.在 中，由 ，得 ，故
……………………….6分
在 中，由正弦定理
……………………….7分
即 ，故 ，……………………….9分
由 ，得 ，……………………….11分
………………………13分
方法二. 在 中，由余弦定理
……………………….7分
由 ，故 ……………………….9分
故 ……………………….11分
故
………………………13分
16. (本小題13分)
(Ⅰ)從品牌 的12次測試中，測試結(jié)果打開速度小于7的文件有：
測試1、2、5、6、9、10、11，共7次
設該測試結(jié)果打開速度小于7為事件 ，因此 ……………………….3分
(Ⅱ)12次測試中，品牌 的測試結(jié)果大于品牌 的測試結(jié)果的次數(shù)有：
測試1、3、4、5、7、8，共6次
隨機變量 所有可能的取值為：0，1，2，3
……………………….7分
隨機變量 的分布列為
0 1 2 3
……………………….10分
(Ⅲ)本題為開放問題，答案不唯一，在此給出評價標準，并給出可能出現(xiàn)的答案情況，閱卷時按照標準酌情給分.
給出明確結(jié)論，1分;
結(jié)合已有數(shù)據(jù)，能夠運用以下8個標準中的任何一個陳述得出該結(jié)論的理由，2分.
…………………13分.
標準1: 會用前6次測試品牌A、品牌B的測試結(jié)果的平均值與后6次測試品牌A、品牌B的測試結(jié)果的平均值進行闡述(這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件的測試結(jié)果的平均值均小于打開含有文字和圖片的文件的測試結(jié)果平均值;這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件的平均速度均快于打開含有文字和圖片的文件的平均速度)
標準2: 會用前6次測試品牌A、品牌B的測試結(jié)果的方差與后6次測試品牌A、品牌B的測試結(jié)果的方差進行闡述(這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件的測試結(jié)果的方差均小于打開含有文字和圖片的文件的測試結(jié)果的方差;這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件速度的波動均小于打開含有文字和圖片的文件速度的波動)
標準3：會用品牌A前6次測試結(jié)果的平均值、后6次測試結(jié)果的平均值與品牌B前6次測試結(jié)果的平均值、后6次測試結(jié)果的平均值進行闡述(品牌A前6次測試結(jié)果的平均值大于品牌B前6次測試結(jié)果的平均值，品牌A后6次測試結(jié)果的平均值小于品牌B后6次測試結(jié)果的平均值，品牌A打開含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打開含有文字和圖形的文件的速度快于品牌B)
標準4：會用品牌A前6次測試結(jié)果的方差、后6次測試結(jié)果的方差與品牌B前6次測試結(jié)果的方差、后6次測試結(jié)果的方差進行闡述(品牌A前6次測試結(jié)果的方差大于品牌B前6次測試結(jié)果的方差，品牌A后6次測試結(jié)果的方差小于品牌B后6次測試結(jié)果的方差，品牌A打開含有文字和表格的文件的速度波動大于品牌B，品牌A打開含有文字和圖形的文件的速度波動小于品牌B)
標準5：會用品牌A這12次測試結(jié)果的平均值與品牌B這12次測試結(jié)果的平均值進行闡述(品牌A這12次測試結(jié)果的平均值小于品牌B這12次測試結(jié)果的平均值，品牌A打開文件的平均速度快于B)
標準6：會用品牌A這12次測試結(jié)果的方差與品牌B這12次測試結(jié)果的方差進行闡述(品牌A這12次測試結(jié)果的方差小于品牌B這12次測試結(jié)果的方差，品牌A打開文件速度的波動小于B)
標準7：會用前6次測試中，品牌A測試結(jié)果大于(小于)品牌B測試結(jié)果的次數(shù)、后6次測試中，品牌A測試結(jié)果大于(小于)品牌B測試結(jié)果的次數(shù)進行闡述(前6次測試結(jié)果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次測試中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打開含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打開含有文字和圖片的文件的速度快于B)
標準8：會用這12次測試中，品牌A測試結(jié)果大于(小于)品牌B測試結(jié)果的次數(shù)進行闡述(這12次測試結(jié)果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打開文件的速度相當)
參考數(shù)據(jù)
期望 前6次 后6次 12次
品牌A 5.50 9.83 7.67
品牌B 4.33 11.83 8.08
品牌A與品牌B 4.92 10.83
方差 前6次 后6次 12次
品牌A 12.30 27.37 23.15
品牌B 5.07 31.77 32.08
品牌A與品牌B 8.27 27.97
17. (本小題14分)
(Ⅰ)證明：因為 ， ， ， ， 平面
……………..1分
所以 平面 ……………..2分
因為 平面 ，所以平面 平面 ……………..3分
(Ⅱ)解：在平面 內(nèi)作 ，
由 平面 ，建系如圖. ……………..4分
則 ， ， ， ， .
， ， ……………..7分
設平面 的法向量為 ，則
，即 ，令 得， ，
所以 是平面 的一個方向量. ……………..9分
……………..10分
所以 與平面 所成角的正弦值為 . ……………..11分
(Ⅲ)解：三棱錐 和三棱錐 的體積相等.……………..12分
理由如:
方法一：由 ， ，知 ，則
因為 平面 ，所以 平面 . ……………..13分
故點 、 到平面 的距離相等，有三棱錐 和 同底等高，所以體積相等. ……………..14分
方法二：如圖，取 中點 ，連接 ， ， .
因為在 中， ， 分別是 ， 的中點，所以
因為在正方形 中， ， 分別是 ， 的中點，所以
因為 ， ， 平面 ， ， 平面
所以平面 平面
因為 平面 ，所以 平面 ……………..13分
故點 、 到平面 的距離相等，有三棱錐 和 同底等高，所以體積相等. ……………..14分
法二法三
方法三：如圖，取 中點 ，連接 ， ， .
因為在 中， ， 分別是 ， 的中點，所以 且
因為在正方形 中， 是 的中點，所以 且
所以 且 ，故四邊形 是平行四邊形，故
因為 平面 ， 平面 ，所以 平面 . ……………..13分
故點 、 到平面 的距離相等，有三棱錐 和 同底等高，所以體積相等. ……………..14分
18. (本小題13分)
解：(Ⅰ) ： ，故 ， ， ，
有 ， . ……………..3分
橢圓 的短軸長為 ，離心率為 .……………..5分
(Ⅱ)結(jié)論是： . ……………..6分
設直線 ： ， ，
，整理得： ……………..8分
故 ， ……………..10分
……………..12分
故 ，即點 在以 為直徑的圓內(nèi)，故 ……………..13分
19. (本小題14分)
(Ⅰ)因為函數(shù)
所以 ……………..2分
故 ， ……………..4分
曲線 在 處的切線方程為 ……………..5分
(Ⅱ)當 時，令 ，則
……………..6分
故 是 上的增函數(shù). ……………..7分
由 ，故當 時， ，當 時， .
即當 時， ，當 時， .
故 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增.……………..9分
函數(shù) 的最小值為 …………….10分
由 ，故 有且僅有一個零點. …………….12分
(Ⅲ)當 時， 有一個零點;當 且 時， 有兩個零點.
……………..14分
20. (本小題13分)
解：(Ⅰ)2，1，1，2，2，3，1 ……………..3分
(Ⅱ)假設存在正整數(shù) ，使得對任意的 ， . 由題意，
考慮數(shù)列 的前 項：
， ， ，…，
其中至少有 項的取值相同，不妨設
此時有： ，矛盾.
故對于任意的正整數(shù) ，必存在 ，使得 . ………….. 8分
(Ⅲ)充分性：
當 時，數(shù)列 為 ， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ， ，…
特別地， ，
故對任意的
(1)若 為偶數(shù)，則
(2)若 為奇數(shù)，則
綜上， 恒成立，特別地，取 有當 時，恒有 成立
………….11分
必要性：
方法一:假設存在 ( )，使得“存在 ，當 時，恒有 成立”
則數(shù)列 的前 項為
后面的項順次為
……
對任意的 ，總存在 ，使得 ， ，這與 矛盾，故若存在 ，當 時，恒有 成立，必有
………….. 13分
方法二：若存在 ，當 時， 恒成立，記 .
由第(2)問的結(jié)論可知：存在 ，使得 (由s的定義知 )
不妨設 是數(shù)列 中第一個大于等于 的項，即 均小于等于s.
則 .因為 ，所以 ，即 且 為正整數(shù)，所以 .
記 ，由數(shù)列 的定義可知，在 中恰有t項等于1.
假設 ，則可設 ，其中 ，
考慮這t個1的前一項，即 ，
因為它們均為不超過s的正整數(shù)，且 ，所以 中一定存在兩項相等，
將其記為a，則數(shù)列 中相鄰兩項恰好為(a，1)的情況至少出現(xiàn)2次，但根據(jù)數(shù)列 的定義可知：第二個a的后一項應該至少為2，不能為1，所以矛盾!
故假設 不成立，所以 ，即必要性得證!………….. 13分
綜上，“ ”是“存在 ，當 時，恒有 成立”的充要條件.
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