高三數(shù)學上學期期末理試卷
在考試前要做好準備，練練常規(guī)題，把自己的思路展開，切忌考前去在保證正確率的前提下提高解題速度，今天小編就給大家分享一下高三數(shù)學，希望大家閱讀哦
關(guān)于高三數(shù)學上期中質(zhì)量檢測
第Ⅰ卷(共50分)
一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
【題文】1.集合A={0，2，a}，B={1，2, }，若A∪B={-4，0，1，2，16}，則a的值為( )
A.1 B.2 C.-4 D.4
【知識點】集合及其運算A1
【答案解析】C ∵集合A={0，2，a}，B={1，2，a2}，A∪B={-4，0，1，2，16}，
∴a∈{-4，16}，a2∈{-4，16}，故a=-4，或a2=-4(舍去)，故a=-4，故選C
【思路點撥】由A={0，2，a}，B={1，2，a2}，若A∪B={-4，0，1，2，16}，可得：a=-4，或a2=-4，討論后，可得答案.
【題文】2.
A..2 B.-2 C.6 D.-6
【知識點】函數(shù)的奇偶性與周期性B4
【答案解析】B ∵函數(shù)f(x)=ax5-bx3+cx，∴f(-x)=-f(x)∵f(-3)=2，∴f(3)=-2，故選B
【思路點撥】函數(shù)f(x)=ax5-bx3+cx，可判斷奇函數(shù)，運用奇函數(shù)定義式求解即可.
【題文】3
【知識點】兩角和與差的正弦、余弦、正切C5
【答案解析】A 由三角函數(shù)的定義可得cosα= ，又∵cosα= x，∴ = x，
又α是第二象限角，∴x<0，故可解得x=-3∴cosα=- ，sinα= = ，
∴tanα= =- ∴tan2α= = 故選A
【思路點撥】由三角函數(shù)的定義可得x的方程，解方程可得cosα，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得tanα，由二倍角的正切公式可得.
【題文】4.
【知識點】平面向量基本定理及向量坐標運算F2
【答案解析】D ∵ =(2， 3)， =(-1， 2)
∴m +4 =(2m-4，3m+8); -2 =(4，-1)∵(m +4 )∥( -2 )∴4-2m=4(3m+8)解得m=-2故答案為D
【思路點撥】利用向量的坐標運算求出兩個向量的坐標;利用向量共線的充要條件列出方程求出m的值.
【題文】5.若定義在R上的函數(shù) 滿足 且 則對于任意的 ，都有
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【知識點】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3
【答案解析】C ∵ ∴f(x)=f(5-x)，
即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱.又因(x- )f′(x)>0，
故函數(shù)y=f(x)在( ，+∞)上是增函數(shù).再由對稱性可得，函數(shù)y=f(x)在(-∞， )上是減函數(shù).
∵任意的x1
∴x1+x2<5.反之，若 x1+x2<5，則有x2 - < -x1，故x1離對稱軸較遠，x2 離對稱軸較近，
由函數(shù)的圖象的對稱性和單調(diào)性，可得f(x1)>f(x2).
綜上可得，“任意的x1
【思路點撥】由已知中 可得函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱，
由(x- )f′(x)<0可得函數(shù)y=f(x)在( ，+∞)上是增函數(shù)，在(-∞， )上是減函數(shù)，
結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)和充要條件的定義，可判斷f(x1)>f(x2)和x1+x2>5的充要關(guān)系，得到答案.
【題文】6.如圖，陰影區(qū)域的邊界是直線y=0，x=2，x=0及曲線
，則這個區(qū)域的面積是
A 4 B 8 C D
【知識點】定積分與微積分基本定理B13
【答案解析】B 這個區(qū)域的面積是 3x2dx= =23-0=8，故選B.
【思路點撥】將陰影部分的面積是函數(shù)在[0，2]上的定積分的值，再用定積分計算公式加以運算即可得到本題答案.
【題文】7. ，三角形的面積 ，則三角形外接圓的半徑為
【知識點】解三角形C8
【答案解析】B △ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面積S= = bc•sinA=c• ，
∴c=2=b，故B= (180°-A)=30°.再由正弦定理可得 =4，
∴三角形外接圓的半徑R=2，故選B.
【思路點撥】由條件求得 c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圓的半徑R的值.
【題文】8.已知 ，若 是 的最小值，則 的取值范圍為
A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2]
【知識點】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3
【答案解析】D 法一：排除法.當t=0時，結(jié)論成立，排除C;
當t=-1時，f(0)不是最小值，排除A、B，選D.
法二：直接法.由于當x>0時，f(x)=x+ +t在x=1時取得最小值為2+t，由題意當x≤0時，f(x)=(x-t)2，若t≥0，此時最小值為f(0)=t2，故t2≤t+2，
即t2-t-2≤0，解得-1≤t≤2，此時0≤t≤2，若t<0，則f(t)
【思路點撥】法1利用排除法進行判斷，法2根據(jù)二次函數(shù)的圖象以及基本不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【題文】9.已知
【知識點】導數(shù)的應用B12
【答案解析】A 由題意得 為奇函數(shù)，所以排除B D，當x= , ,所以排除D，故選A
【思路點撥】求出導數(shù)判斷奇偶性，然后利用特殊值求出結(jié)果。
【題文】10.已知 ，符號 表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù) 有且僅有3個零點，則 的取值范圍是( )
【知識點】函數(shù)與方程B9
【答案解析】B 關(guān)于x的方程 -a=0等價于[x]=ax.分x>0和x<0的情況討論，顯然有a≥0.
若x>0，此時[x]≥0;若[x]=0，則 =0;若[x]≥1，因為[x]≤x<[x]+1，故 < ≤1，
即
若x<-1，因為[x]≤x<-1，[x]≤x<[x]+1，故1≤ < ，
即1≤a< ，且 <隨著[x]的減小而增大.為使函數(shù)f(x)= -a有且僅有3個零點，
只能使[x]=1，2，3;或[x]=-1，-2，-3.若[x]=1，有
若[x]=3，有
若[x]=-2，有1≤a<2;若[x]=-3，有1≤a< ，若[x]=-4，有1≤a<
綜上所述
【思路點撥】關(guān)于x的方程 -a=0等價于[x]=ax.分x>0和x<0的情況討論，
確定為使函數(shù)f(x)= -a有且僅有3個零點，只能使[x]=1，2，3;或[x]=-1，-2，-3，即可得出結(jié)論.
第Ⅱ卷 (共100分)
【題文】二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答案紙的相應位置上。
【題文】11.將函數(shù) 的圖像向右平移 個單位后得到函數(shù) -的圖像
【知識點】函數(shù) 的圖象與性質(zhì)C4
【答案解析】y=3sin3x 將函數(shù)y=3sin(3x+ )的圖象向右平移 個單位，
所得圖象對應的函數(shù)解析式為：y=3sin[3(x- )+ ]=3sin3x.故答案為y=3sin3x.
【思路點撥】直接在原函數(shù)解析式中取x=x- ，整理后得答案
【題文】12.已知 ，且 的夾角為銳角，則 的取值范圍是 。
【知識點】平面向量基本定理及向量坐標運算F2
【答案解析】(-∞，- )∪(- ， )
由題意可得 >0，且 與 不共線，即-3λ+10>0，且 ≠ ，
解得 λ∈(-∞，- )∪(- ， )，故答案為：(-∞，- )∪(- ， ).
【思路點撥】由題意可得 • >0，且 與 不共線，即-3λ+10>0，且 ≠ ，
求出λ的取值范圍.
【題文】13.已知函數(shù) ，若直線 對任意的 都不是曲線 的切線，則 的取值范圍為 。
【知識點】導數(shù)的應用B12
【答案解析】a< f(x)=x3-3ax(a∈R)，則f′(x)=3x2-3a
若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f(x)的切線，
則直線的斜率為-1，f(x)′=3x2-3a與直線x+y+m=0沒有交點，
又拋物線開口向上則必在直線上面，即最小值大于直線斜率，則當x=0時取最小值，-3a>-1，
則a的取值范圍為a< 即答案為a< .
【思路點撥】首先分析對任意的m直線x+y+m=0都不是曲線y=f(x)的切線的含義，即可求出函數(shù)f(x)=x3-3ax(a∈R)的導函數(shù)，使直線與其不相交即可.
【題文】14.已知 ，定義 。經(jīng)計算 …，照此規(guī)律，則
【知識點】合情推理與演繹推理M1
【答案解析】
求導數(shù)分母都是 ，分子是正負相間，并且第一個是1-x，分子為x-n,
所以 。
【思路點撥】根據(jù)求導公式找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)分母不變，分子是正負相間，得到結(jié)果。
【題文】15.下圖展示了一個由區(qū)間(0,1)到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間(0,1)中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點m，如圖①：將線段AB圍成一個圓，使兩端點A，B恰好重合，如圖②：再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為(0,1)，如圖③，圖③中直線AM與x軸交于點N(n，0)，則m的象就是n，記作 。
下列說法中正確命題的序號是 (填出所有正確命題的序號)
?、?② 是奇函數(shù) ③ 在定義域上單調(diào)遞增
?、?是圖像關(guān)于點 對稱。
【知識點】函數(shù)及其表示B1
【答案解析】③④ 由題意①是錯誤命題，因為當m= 此時M恰好處在左半圓弧的中點上，
此時直線AM的方程為y=x+1，即f( )= ;
?、谑清e誤命題，由函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點對稱，而m∈(0，1)，不是奇函數(shù);
?、凼钦_命題，由圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運動到B，此時N由x的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f(x)在定義域上單調(diào)遞增是正確的;
?、苁钦_命題，由圖3可以看出，當M點的位置離中間位置相等時，N點關(guān)于Y軸對稱，即此時函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f(x)的圖象關(guān)于點( ，0)對稱綜上知，③④是正確命題，
【思路點撥】由題中對映射運算描述，對四個命題逐一判斷其真?zhèn)危?/p>
?、賛= 此時M恰好處在左半圓弧的中點上，求出直線AM的方程后易得N的橫坐標.
?、诳捎膳己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點對稱來確定正誤，
?、劭捎蓤D3，由M的運動規(guī)律觀察出函數(shù)值的變化，得出單調(diào)性，
?、芸捎蓤D3中圓關(guān)于Y軸的對稱判斷出正誤
【題文】三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
【題文】16.(本小題滿分12分)
已知集合 ，集合 ，
集合 。命題 ,命題
(Ⅰ)若命題p為假命題，求實數(shù)a的取值范圍。
(Ⅱ)若命題 為真命題，求實數(shù)a的取值范圍。
【知識點】集合及其運算A1
【答案解析】(Ⅰ)a>3(Ⅱ)0≤a≤3
∵y=x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1
∴A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x2-ax-4≤0}，
(1)由命題p為假命題可得A∩B=∅∴a-1>2∴a>3
(2)∵命題p∧q為真命題命題∴p，q都為真命題即A∩B≠∅且A⊆C.
∴ 解可得0≤a≤3
【思路點撥】由題意可得A={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x2-ax-4≤0}，
(1)由命題p為假命題可得A∩B=∅，可求a
(2)由題意可得A∩B≠∅且A⊆C，結(jié)合集合之間的基本運算可求a的范圍
【題文】17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) 的導函數(shù)。
求函數(shù) 的最小值和相應的x值。
若 ，求 。
【知識點】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導公式C2
【答案解析】(1)最小值為1- ，此時x=kπ- ，k∈Z(2)
(1)∵f(x)= sin(x- )=sinx-cosx
∴f′(x)=cosx+sinx
∵F(x)=[f′(x)]2-f(x)f′(x)，
∴F(x)=(cosx+sinx)2-(cosx+sinx)(sinx-cosx)=cos2x+sin2x+1= sin(2x+ )+1，
其最小值為1- ，此時x=kπ- ，k∈Z，
(2)∵f(x)=2f′(x)，∴cosx+sinx=2(cosx-sinx)，∴tanx=
∴ = = =
【思路點撥】(1)先化簡，再求導，再化簡F(x)，繼而求出最值，
(2)由題意求出tanx= ，化簡求值即可.
【題文】18.(本小題滿分12分)
已知 為定義在 上的奇函數(shù)，當 時，函數(shù)解析式為
。
求b的值，并求出 在 上的解析式。
求 在 上的值域。
【知識點】函數(shù)的奇偶性B4
【答案解析】(1)f(x)=2x-4x (2) [-2，2]
(1)∵f(x)為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f(x)在x=0處有意義，
∴f(0)=0，即f(0)=1-b，∴b=1.
設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]∴f(-x)= =4x-2x，f(x)=2x-4x，.
所以f(x)=2x-4x在[0，1]上的解析式為f(x)=2x-4x，
(2)當x∈[0，1]，f(x)=2x-4x=2x-(2x)2，∴設t=2x(t>0)，則g(t)=-t2+t，
∵x∈[0，1]，t∈[1，2]當t=1時，最大值為1-1=0，當t=0時，取最小值-2，
∴函數(shù)在[0，1]上取最小值-2，最大值為0，∵f(x)為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)在[-1，0]上取最小值0，最大值為2，所以f(x)在[-1，1]上的值域[-2，2]
【思路點撥】(1)f(x)為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f(x)在x=0處有意義，f(0)=0，求出b的值，利用奇函數(shù)定義求出解析式.
(2)設t=2x(t>0)，則g(t)=-t2+t，x∈[0，1]，t∈[1，2]轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解，再利用奇性求出整個區(qū)間上的最值，即可得到值域.
【題文】19.(本小題滿分12分)
設函數(shù) = - ，直線 與函數(shù) 圖象相鄰兩交點的距離為 。
求 的值。
在 中，角 所對的邊分別是 ，若點 是函數(shù) 圖像的一個對稱中心，且 ，求 面積的最大值。
【知識點】解三角形C8
【答案解析】(1)ω=2(2)
(1)函數(shù)f(x)=sin(ωx+ )-2sin2 x+1(ω>0)=sinωxcos +cosωxsin +cosωx = sinωx+ cosωx= sin(ωx+ )，
∵函數(shù)的最大值為 ，最小值為- ，直線y=- 與函數(shù)f(x)圖象相鄰兩交點的距離為π，可得函數(shù)的最小正周期為 =π，求得ω=2.
(2)由于f(x)= sin(2x+ )，故有f(B)= sin(2B+ )=0，∴B= ，或B= .
若B= ，則cosB= = ，化簡可得ac=a2+c2-9≥2ac-9，∴ac≤9，
故△ABC面積 ac•sinB的最大值為 ×9× = .
若B= ，則cosB=- = ，化簡可得- ac=a2+c2-9≥2ac-9，
∴ac≤9(2- )，故△ABC面積 ac•sinB的最大值為 ×9×(2- )× =
【思路點撥】(1)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f(x)= sin(ωx+ )，
根據(jù)函數(shù)的最小正周期為 =π，求得ω的值.
(2)在△ABC中，由f(B)= sin(2B+ )=0，求得B，可得cosB的值，再利用余弦定理、基本不等式求得ac的最大值，可得△ABC面積 ac•sinB的最大值.
【題文】20.(本小題滿分13分)
5A級景區(qū)沂山為提高經(jīng)濟效益，現(xiàn)對某一景點進行改造升級，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入 萬元之間滿足：
，a、b為常數(shù)，當x=10萬元，y=19.2萬元;當x=50萬元，y=74.4萬元。(參考數(shù)據(jù)： ， ， )
求 的解析式。
求該景點改造升級后旅游利潤 的最大值。(利潤=旅游增加值-投入)
【知識點】函數(shù)模型及其應用B10
【答案解析】(1)f(x)=- + x-ln (x≥10)(2)24.4萬元
(1)由條件可得 ，
解得a=- ，b=1.則f(x)=- + x-ln (x≥10).
(2)由T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10)，
則T′(x)=- + - =- ，
令T'(x)=0，則x=1(舍)或x=50，
當x∈(10，50)時，T'(x)>0，因此T(x)在(10，50)上是增函數(shù);
當x>50時，T'(x)<0，因此T(x)在(50，+∞)上是減函數(shù)，
故x=50為T(x)的極大值點，也是最大值點，且最大值為24.4萬元.
即該景點改造升級后旅游利潤T(x)的最大值為T(50)=24.4萬元.
【思路點撥】(1)由條件：“當x=10萬元時，y=19.2萬元;當x=20萬元時，y=35.7萬元”列出關(guān)于a，b的方程，解得a，b的值即得則求f(x)的解析式;
(2)先寫出函數(shù)T(x)的解析式，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而得出其最大值，從而解決問題.
【題文】21.(本小題滿分14分)
已知函數(shù) = 的圖像在點 處的切線為
求函數(shù) 的解析式。
當 時，求證： ;
若 對任意的 恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。
【知識點】導數(shù)的應用B12
【答案解析】(Ⅰ)f(x)=ex-x2-1(Ⅱ)略(Ⅲ)(-∞，0)
(Ⅰ)f(x)=ex-x2+a，f'(x)=ex-2x.
由已知 ⇒ ，f(x)=ex-x2-1.
(Ⅱ)令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1，φ'(x)=ex-1，由φ'(x)=0，得x=0，
當x∈(-∞，0)時，φ'(x)<0，φ(x)單調(diào)遞減;
當x∈(0，+∞)時，φ'(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增.
∴φ(x)min=φ(0)=0，從而f(x)≥-x2+x.…(8分)
(Ⅲ)f(x)>kx對任意的x∈(0，+∞)恒成立⇔ >k對任意的x∈(0，+∞)恒成立，
令g(x)= ， x>0，
∴g′(x)= = = .
由(Ⅱ)可知當x∈(0，+∞)時，ex-x-1>0恒成立，令g'(x)>0，得x>1;g'(x)<0，得0
∴g(x)的增區(qū)間為(1，+∞)，減區(qū)間為(0，1).g(x)min=g(1)=0.
∴k
【思路點撥】(Ⅰ)利用圖象在點x=0處的切線為y=bx，求出a，b，即可求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得φ(x)min=φ(0)=0，
即可證明：f(x)≥-x2+x;
(Ⅲ)f(x)>kx對任意的x∈(0，+∞)恒成立⇔ >k對任意的x∈(0，+∞)恒成立，
k
第一學期高三數(shù)學理科期中考試題
一.選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.過雙曲線 =1(a>0，b>0)的左焦點F(﹣c，0)(c>0)，作圓x2+y2= 的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若 =2 ﹣ ，則雙曲線的離心率為( )
(A) (B) (C) (D)
2.在四面體P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CP A=90°，則該四面體P﹣ABC的外接球的表面積為( )
(A)π(B) π(C)2π(D)3π
3. 下列結(jié)論正確的個數(shù)是( )
?、偃?， 則 恒成立;②命題“ ”的否定是“ ”; ③“命 題 為真”是“命題 為真”的充分不必要條件.
(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個
4.已知平面直角坐標內(nèi)的向量 ，若該平面內(nèi)不是所有的向量都能寫成 ( 的形式，則 的值為( )
(A) (B) (C)3 (D)—3
5. 下列四個圖中,函數(shù) 的圖象可能是( )
6. 在△ABC中,角A，B，C所對的邊分別是 ，且 則 = ( )
(A) (B) (C) (D)
7. 已知等差數(shù)列 前 項為 ，若 ，則 ( )
(A) (B) (C ) (D)
8.設函 數(shù) ，其中 ，則 的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
9. 正三角形ABC內(nèi)一點M滿足 ， ，則 的值為( )
(A) (B) (C) (D)
10 . 已知函數(shù) 的導函數(shù)為 ，若使得 = 成立的 <1，則實數(shù) 的取值范圍為 ( )
(A)( ， ) (B)(0， ) (C)( ， ) (D)(0， )
11. 已知數(shù)列 ，給定 ，若對任意正整數(shù) ，恒有 ，則 的最小值為( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
12. 設函數(shù) .若存在 的極值點 滿足 ，則m的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
二.填空題: 本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.
13. 與向量 垂直且模長為 的向量為 .
14. 已知遞增的等差數(shù)列 滿足 ，則 .
15. 在 中，角 的對邊分別為 ，已知 ，且 ，則 為 .
16.已知函數(shù) ，其中 。若函數(shù) 在定義域內(nèi)有零點，則實數(shù) 的取值范圍為 .
三.解答題:本大題共6題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
在 中，角 對邊分別為 ，且 .
(Ⅰ)求角 ;
(Ⅱ) 若 ，求 周長 的取值 范圍.
18.(本小題滿分12分)
已知向量 ， 滿足 ， ，函數(shù) • .
(Ⅰ)將 化成 的形式;
(Ⅱ)求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ) 求函數(shù) 在 的值域 .
19.(本小題滿分12分)
已知數(shù)列 的前 項和 ( )，數(shù)列 的前 項和 ( ).
(Ⅰ)求數(shù)列 的前 項和;
(Ⅱ)求數(shù)列 的前 項和.
20.(本小題滿分12分)
已知 中，
， 為角分線.
(Ⅰ)求 的長度;
(Ⅱ)過點 作直線交 于不同兩點 ，且滿足 ，求證： .
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(1) 求 的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若對于任意的 ，都存在 ，使得 ，求 的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(I)若 函數(shù) 在區(qū)間 上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實數(shù) 的取值范圍;
(II)若 ，設 ，求 證：當 時，不等式 成立.
答案:
1-12 C DBDC DAADA AC
13.
14. 15.6 16.
17.(1)由正弦定理得 ，得
(2)由正弦定理得
所以
周長 或者用均值不等式
18.(1) ，周期為 (2) (3)
19. (1) (2)
20.(1)由角分線定理 ，兩邊平方可得
(2) ，所以
21解(1)由已知有 令 ，解得 或 ，列表如下：
的增區(qū)間是 ，減區(qū)間 。當 時， 取 極小值0，當 時， 取極大值
(2)由 及(1)知，當 時， ;當 時，
設集合 ， ，則對任意的 ，都存在 ，使得 等價于 ，顯然
當 即 時，由 可知 而 ，不滿足 ;
當 即 時，有 且此時 在 遞減，
，由 ，有 在 上的取值范圍包含 ;
當 即 時有 且此時 在 遞減，
不滿足
綜上，
22.解：(I) ，
∵函數(shù) 在區(qū)間 上都是單調(diào)函數(shù)且它們的 單調(diào)性相同，
∴當 時， 恒成立，
即 恒成立，
∴ 在 時恒成立，或 在 時恒成立，
∵ ，∴ 或 ……………………………………6
(II) ，
∵ 定義域是 ， ，即
∴ 在 是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)，在 是增函數(shù)
∴當 時， 取極大值 ，
當 時， 取極小值 ，
∵ ，∴
設 ，則 ，
∴ ，∵ ，∴
∴ 在 是增函數(shù)，∴
∴ 在 也是增函數(shù)
∴ ，即 ，
而 ，∴
∴當 時，不等式 成立. ……………………………12
上學期高三理科數(shù)學期中聯(lián)考試卷
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的
1.若復數(shù) 滿足 ，則 的共軛復數(shù)的虛部是( )
2.已知全集為 ，集合 ， ，則集合 ( )
3.若冪函數(shù) 的圖象不過原點，則 的取值是( )
4.設 ，則 是 的( )
充分不必要條件 必要不充分條件 充要條件 既不充分又不必要條件
5.已知向量 ， ， ，若 ，則 ( )
6.已知數(shù)列 滿足 ， ，則 ( )
7.已知 為區(qū)域 內(nèi)的任意一點，當該區(qū)域的面積為 時， 的最大值是( )
8.設 ， ， ，則( )
9.數(shù)列 滿足 ，對任意的 都有 ，則 ( )
10.一個四棱錐的三視圖如圖所示，則這個四棱錐的表面積是( )
11.在直三棱柱 中，若 ， ， ， ， 為 的中點， 為 的中點， 在線段 上， .則異面直線 與 所成角的正弦值為( )
12.對于任意實數(shù) ，定義 ，定義在 上的偶函數(shù) 滿足 ，且當 時， ，若方程 恰有兩個根，則 的取值范圍是( )
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案寫在答題卡上相應的位置
13.
14.在 中，角 的對邊分別為 ，若 ，則 _______________
15.已知 ，滿足 ，則 的取值范圍________
16.已知三棱柱 的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為 ， ， ，則此球的表面積等于_______________.
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟
17.(本小題滿分10分)
極坐標系的極點為直角坐標系 的原點，極軸為 軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，已知曲線 的極坐標方程為 .
(1)求 的直角坐標方程;
(2)直線 ( 為參數(shù))與曲線 交于 兩點，與 軸交于 ，求 .
18.(本小題滿分12分)
在△ 中， 所對的邊分別為 ， , .
(1)求 ;
(2)若 ,求 .
19.(本小題滿分12分)
已知數(shù)列 的前 項和 滿足： ，數(shù)列 滿足：對任意 有
(1)求數(shù)列 與數(shù)列 的通項公式;
(2)記 ，數(shù)列 的前 項和為 ，證明：當 時，
20.(本小題滿分12分)
如圖， 是直角梯形， ， ， ，
又 ， ，直線 與直線 所成的角為
(1)求證：平面 ⊥平面 ;
(2)求三棱錐 的體積.
21.(本小題滿分12分)
已知各項均不相等的等差數(shù)列 的前五項和 ，且 成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)設 為數(shù)列 的前 項和，若存在 ，使得 成立.
22.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)當 時，求函數(shù) 的極值;
(Ⅱ) 時，討論 的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對任意的 恒有 成立，
求實數(shù) 的取值范圍.
高三理科數(shù)學期中考試答案
選擇：1-5 CDBAD，6-10 CABBA， 11-12 CA
填空：
解答題：17(1)由 得 ，得直角坐標方程為 ，即 ;
(2)將 的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，化簡得 ，點E對應的參數(shù) ，設點A，B對應的參數(shù)分別為 ，則 ， ，所以 .
18.(1)因為 ，即 ，
所以 ，
即 ，
得 .所以 ,或 (不成立).
即 , 得 ，所以. .
又因為 ，則 ，或 ,(舍去) 得 .
(2) ,又 , 即 ，
得
19.(1)當 時， ，所以 ， 當 時， ， 又 成立
所以數(shù)列 是以 ，公比 的等比數(shù)列，通項公式為 .由題意有 ，得 .
當 時，
，驗證首項滿足，于是得 故數(shù)列 的通項公式為 .
(2) 證明： = = ，所以 = ，
錯位相減得 = ，所以 ，即 ，
下證：當 時， ，令 = ， = =
當 時， ，即當 時， 單調(diào)減，又 ，
所以當 時， ，即 ，即當 時，
20.
(1) ,
(2)
21.(1)設 的公差為 ，由已知得
即 ， ，故
(2)
∵存在 ，使得 成立
∴存在 ，使得 成立,即 有解
而 ， 時取等號
.
22.試題解析：(Ⅰ)函數(shù) 的定義域為 .
，令 ，
得 ; (舍去). 2分
當 變化時， 的取值情況如下：
— 0
減 極小值 增
所以，函數(shù) 的極小值為 ，無極大值. 4分
(Ⅱ) ，
令 ，得 ， ， 5分
當 時， ，函數(shù) 的在定義域 單調(diào)遞增; 6分
當 時，在區(qū)間 ， ，上 ， 單調(diào)遞減，
在區(qū)間 ，上 ， 單調(diào)遞增; 7分
當 時，在區(qū)間 ， ，上 ， 單調(diào)遞減，
在區(qū)間 ，上 ， 單調(diào)遞增. 8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知當 時，函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)遞減;
所以，當 時， ，
問題等價于：
對任意的 ，恒有 成立， 1即 ， ，所以 12分
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