高一數(shù)學(xué)不等式公式
高一數(shù)學(xué)不等式公式
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高一數(shù)學(xué)不等式公式
1、不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。
不等式的基本性質(zhì)有：
(1) 對(duì)稱性：a>bb<a;
(2) 傳遞性：若a>b，b>c，則a>c;
(3) 可加性：a>ba+c>b+c;
(4) 可乘性：a>b，當(dāng)c>0時(shí)，ac>bc;當(dāng)c<0時(shí)，ac<bc。
不等式運(yùn)算性質(zhì)：
(1) 同向相加：若a>b，c>d，則a+c>b+d;
(2) 異向相減：，.
(3) 正數(shù)同向相乘：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd。
(4) 乘方法則：若a>b>0，n∈N+，則;
(5) 開方法則：若a>b>0，n∈N+，則;
(6) 倒數(shù)法則：若ab>0，a>b，則。
2、基本不等式
定理：如果，那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))
推論：如果，那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))
算術(shù)平均數(shù);幾何平均數(shù);
推廣：若，則
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào);
3、絕對(duì)值不等式
|x|0)的解集為：{x|-a
|x|>a(a>0)的解集為：{x|x>a或x<-a}。
附：不等式證明知識(shí)概要
不等式的證明問題，由于題型多變、方法多樣、技巧性強(qiáng)，加上無固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運(yùn)用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大。解決這個(gè)問題的途徑在于熟練掌握不等式的性質(zhì)和一些基本不等式，靈活運(yùn)用常用的證明方法。
一、要點(diǎn)精析
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體;②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段;③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?rdquo;，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：AB1
B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關(guān)系為：BB1B1
B3 …
BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時(shí)，可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示。此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，實(shí)施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設(shè)x=cosθ，y=sinθ;②若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1);③對(duì)于含有的不等式，由于|x|≤1，可設(shè)x=cosθ;④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設(shè)x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進(jìn)行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式A
二、難點(diǎn)突破
1.在用商值比較法證明不等式時(shí)，要注意分母的正、負(fù)號(hào)，以確定不等號(hào)的方向。
2.分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，思路自然，易于掌握;后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，因?yàn)樗鼦l理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習(xí)慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯(cuò)誤。而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時(shí)，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時(shí)常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律。還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系。分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn)。
3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因?yàn)檫@時(shí)僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價(jià)命題了。用分析法證明問題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤?ldquo;要證”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語。
4.反證法證明不等式時(shí)，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾。
5.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對(duì)引入的角有一定的限制，應(yīng)引起高度重視，否則可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。這是換元法的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，且要注意整體思想的應(yīng)用。
6.運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)要把握好“放縮”的尺度，即要恰當(dāng)、適度，否則將達(dá)不到預(yù)期的目的，或得出錯(cuò)誤的結(jié)論。另外，是分組分別放縮還是單個(gè)對(duì)應(yīng)放縮，是部分放縮還是整體放縮，都要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)掌握清楚。
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