高一數(shù)學不等式證明知識點
高一數(shù)學不等式證明知識點
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高一數(shù)學不等式證明知識點
不等式公式
如果a,b是正數(shù)，那么(a+b)/2≥(根號下ab),當且僅當a=b時，等號成立，我們稱上述不等式為基本不等式。
若a,b∈R，則a平方+b平方≥2ab或ab≤(a平方+b平方)/2.
若a,b∈R，則(a平方+b平方)/2≥[(a+b)/2]的平方
若a,b∈R※，則a+b>=2(根號ab) 或ab≤[(a+b)/2]的平方
高一數(shù)學不等式證明知識概要
不等式的證明問題，由于題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大。解決這個問題的途徑在于熟練掌握不等式的性質(zhì)和一些基本不等式，靈活運用常用的證明方法。
一、要點精析
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數(shù)大小順序和運算性質(zhì)的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段;③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч?rdquo;，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：AB1
B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關(guān)系為：BB1B1B3 …
BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換，以便簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設(shè)x=cosθ，y=sinθ;②若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1);③對于含有的不等式，由于|x|≤1，可設(shè)x=cosθ;④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設(shè)x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式A
二、難點突破
1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向。
2.分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因為它方向明確，思路自然，易于掌握;后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規(guī)律。還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。
3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價命題了。用分析法證明問題時，一定要恰當?shù)赜煤?ldquo;要證”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語。
4.反證法證明不等式時，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導出矛盾。
5.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果。這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用。
6.運用放縮法證明不等式時要把握好“放縮”的尺度，即要恰當、適度，否則將達不到預期的目的，或得出錯誤的結(jié)論。另外，是分組分別放縮還是單個對應放縮，是部分放縮還是整體放縮，都要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點掌握清楚。
1、比較法(作差法)
在比較兩個實數(shù) 和 的大小時，可借助
的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷(正號、負號、零)。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。
2、分析法(逆推法)
從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導，最后達到命題的已知條件(可明顯成立的不等式、已知不等式等)，其每一步的推導過程都必須可逆。
3、綜合法
證題時，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結(jié)論，這是一種常用的方法。
例3、已知： ， 同號，求證： 。
證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。
4、作商法(作比法)
在證題時，一般在 ， 均為正數(shù)時，借助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷(大于1或小于1)。
5、反證法
先假設(shè)要證明的結(jié)論不對，由此經(jīng)過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設(shè)，導出結(jié)論的正確性，達到證題的目的。
6、迭合法(降元法)
把所要證明的結(jié)論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證。
7、放縮法(增減法、加強不等式法)
在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(或負項)而使不等式的各項之和變小(或變大)，或把和(或積)里的各項換以較大(或較小)的數(shù)，或在分式中擴大(或縮小)分式中的分子(或分母)，從而達到證明的目的。值得注意的是“放”、“縮”得當，不要過頭。常用方法為：改變分子(分母)放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。
8、數(shù)學歸納法
對于含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設(shè)下，還能證明不等式在 時也成立，那么肯定這個不等式對
取第一個值以后的自然數(shù)都能成立。
9、換元法
在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達到簡化。
10、三角代換法
借助三角變換，在證題中可使某些問題變易。
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