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高一數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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高一數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

  高一數(shù)學(xué)不等式的證明問(wèn)題,由于題型多變、方法多樣、技巧性強(qiáng),加上無(wú)固定的規(guī)律可循,往往不是用一種方法就能解決的。以下是學(xué)習(xí)啦小編為您整理的于高一數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn),希望對(duì)您有所幫助。

  高一數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

  一、要點(diǎn)精析

  1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用,比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱(chēng)為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱(chēng)為求商法)。

  (1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì):“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為:①作差:考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式,將其看作一個(gè)整體;②變形:把不等式兩邊的差進(jìn)行變形,或變形為一個(gè)常數(shù),或變形為若干個(gè)因式的積,或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等,其中變形是求差法的關(guān)鍵,配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段;③判斷:根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果,判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào),最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應(yīng)用范圍:當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法。

  (2)商值比較法的理論依據(jù)是:“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為:①作商:將左右兩端作商;②變形:化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式;③判斷商與1的大小關(guān)系,就是判定商大于1或小于1。應(yīng)用范圍:當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí),一般使用商值比較法。

  2.綜合法利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理,最后推出所要證明的不等式,其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?rdquo;,從“已知”看“需知”,逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為:AB1

  B2 B3… BnB,即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。

  3.分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā),分析這個(gè)不等式成立的充分條件,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備,其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”,即從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關(guān)系為:BB1B1B3 …

  BnA,書(shū)寫(xiě)的模式是:為了證明命題B成立,只需證明命題B1為真,從而有…,這只需證明B2為真,從而又有…,……這只需證明A為真,而已知A為真,故B必為真。這種證題模式告訴我們,分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

  4.反證法有些不等式的證明,從正面證不好說(shuō)清楚,可以從正難則反的角度考慮,即要證明不等式A>B,先假設(shè)A≤B,由題設(shè)及其它性質(zhì),推出矛盾,從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí),可以考慮用反證法。

  5.換元法換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,變量較多,變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換,以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通,給證明帶來(lái)新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法:多用于條件不等式的證明,當(dāng)所給條件較復(fù)雜,一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示,這時(shí)可考慮三角代換,將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示。此法如果運(yùn)用恰當(dāng),可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系,將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題根據(jù)具體問(wèn)題,實(shí)施的三角代換方法有:①若x2+y2=1,可設(shè)x=cosθ,y=sinθ;②若x2+y2≤1,可設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1);③對(duì)于含有的不等式,由于|x|≤1,可設(shè)x=cosθ;④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可設(shè)x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π。(2)增量換元法:在對(duì)稱(chēng)式(任意交換兩個(gè)字母,代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式,考慮用增量法進(jìn)行換元,其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元,使問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn)。如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t進(jìn)行換元。

  6.放縮法放縮法是要證明不等式A

  二、難點(diǎn)突破

  1.在用商值比較法證明不等式時(shí),要注意分母的正、負(fù)號(hào),以確定不等號(hào)的方向。

  2.分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面,前者執(zhí)果索因,利于思考,因?yàn)樗较蛎鞔_,思路自然,易于掌握;后者是由因?qū)Ч?,宜于表述,因?yàn)樗鼦l理清晰,形式簡(jiǎn)潔,適合人們的思維習(xí)慣。但是,用分析法探求證明不等式,只是一種重要的探求方式,而不是一種好的書(shū)寫(xiě)形式,因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁,如果把“只需證明”等字眼不寫(xiě),就成了錯(cuò)誤。而用綜合法書(shū)寫(xiě)的形式,它掩蓋了分析、探索的過(guò)程。因而證明不等式時(shí),分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式,難以入手時(shí)常用分析法探索證題的途徑,之后用綜合法形式寫(xiě)出它的證明過(guò)程,以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律。還有的不等式證明難度較大,需一邊分析,一邊綜合,實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系。分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn),綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn)。

  3.分析法證明過(guò)程中的每一步不一定“步步可逆”,也沒(méi)有必要要求“步步可逆”,因?yàn)檫@時(shí)僅需尋找充分條件,而不是充要條件。如果非要“步步可逆”,則限制了分析法解決問(wèn)題的范圍,使得分析法只能使用于證明等價(jià)命題了。用分析法證明問(wèn)題時(shí),一定要恰當(dāng)?shù)赜煤?ldquo;要證”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語(yǔ)。

  4.反證法證明不等式時(shí),必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾。

  5.在三角換元中,由于已知條件的限制作用,可能對(duì)引入的角有一定的限制,應(yīng)引起高度重視,否則可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。這是換元法的重點(diǎn),也是難點(diǎn),且要注意整體思想的應(yīng)用。

  6.運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)要把握好“放縮”的尺度,即要恰當(dāng)、適度,否則將達(dá)不到預(yù)期的目的,或得出錯(cuò)誤的結(jié)論。另外,是分組分別放縮還是單個(gè)對(duì)應(yīng)放縮,是部分放縮還是整體放縮,都要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)掌握清楚。

  高一數(shù)學(xué)不等式公式

  1、不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。

  不等式的基本性質(zhì)有:

  (1) 對(duì)稱(chēng)性:a>bb

  (2) 傳遞性:若a>b,b>c,則a>c;

  (3) 可加性:a>ba+c>b+c;

  (4) 可乘性:a>b,當(dāng)c>0時(shí),ac>bc;當(dāng)c<0時(shí),ac

  不等式運(yùn)算性質(zhì):

  (1) 同向相加:若a>b,c>d,則a+c>b+d;

  (2) 異向相減:,.

  (3) 正數(shù)同向相乘:若a>b>0,c>d>0,則ac>bd。

  (4) 乘方法則:若a>b>0,n∈N+,則;

  (5) 開(kāi)方法則:若a>b>0,n∈N+,則;

  (6) 倒數(shù)法則:若ab>0,a>b,則。

  2、基本不等式

  定理:如果,那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))

  推論:如果,那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))

  算術(shù)平均數(shù);幾何平均數(shù);

  推廣:若,則

  當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào);

  3、絕對(duì)值不等式

  |x|0)的解集為:{x|-a

  |x|>a(a>0)的解集為:{x|x>a或x<-a}。

  高中數(shù)學(xué)幾何復(fù)習(xí)資料

  棱柱:

  (1)概念:如果一個(gè)多面體有兩個(gè)面互相平行,而其余每相鄰兩個(gè)面的交線互相平行。這樣的多面體叫做棱柱。棱柱中兩個(gè)互相平行的面叫棱柱的底面,其余各個(gè)面都叫棱柱的側(cè)面,兩個(gè)側(cè)棱的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱,棱柱中兩個(gè)底面間的距離叫棱柱的高。

  (2)分類(lèi):①按側(cè)棱是否與底面垂直分類(lèi):分為斜棱柱和直棱柱。側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱,側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱;

 ?、诎吹酌孢厰?shù)的多少分類(lèi):底面分別為三角形,四邊形,五邊形…、分別稱(chēng)為三棱柱,四棱柱,五棱柱,…

  棱錐:

  (1)概念:如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形,其余各個(gè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,那么這個(gè)多面體叫棱錐。在棱錐中有公共頂點(diǎn)的各三角形叫做棱錐的側(cè)面,棱錐中這個(gè)多邊形叫做棱錐的底面,棱錐中相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做棱錐的側(cè)棱,棱錐中各側(cè)棱的公共頂點(diǎn)叫棱錐的頂點(diǎn)。棱錐頂點(diǎn)到底面的距離叫棱錐的高,過(guò)棱錐不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫棱錐的對(duì)角面。

  (2)分類(lèi):按照棱錐底面多邊形的邊數(shù)可將棱錐分為:三棱錐、四棱錐、五棱錐…

  (3)正棱錐的概念:如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形,且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫正棱錐。

  棱臺(tái):

  用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái),原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面。

  圓柱的概念:

  以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。

  旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸,垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面,平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面;無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直于軸的邊叫做圓柱側(cè)面的母線。

  圓錐的概念:

  以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體;

  圓臺(tái)的概念:

  用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分;


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