高1數(shù)學必修1排序不等式知識點總結
高1數(shù)學必修1排序不等式知識點總結
排序不等式是數(shù)學上的一種不等式,也是高1同學們學習的知識點,下面是學習啦小編給大家?guī)淼母?數(shù)學必修1排序不等式知識點總結,希望對你有幫助。
高1數(shù)學排序不等式知識點
排序不等式是數(shù)學上的一種不等式。它可以推導出很多有名的不等式,例如:算術幾何平均不等式(簡稱算幾不等式),柯西不等式,和切比雪夫總和不等式。
說明
排序不等式(sequence inequality,又稱排序原理)是高中數(shù)學競賽大綱、新課標 普通高中課程標準試驗教科書(人民教育出版社)數(shù)學(選修4-5 第三講第三節(jié)) 要求的基本不等式。
排序不等式表述如下,設有兩組數(shù)a1,a2,……an,b1,b2,……bn滿足a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn則有a1bn+a2bn-1+……+anb1≤a1bt+a2bt+……+anbt≤a1b1+a2b2+anbn式中t1,t2,……,tn是1,2,……,n的任意一個排列,當且僅當a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn時成立。一般為了便于記憶,常記為:反序和≤亂序和≤同序和.
應用
設a,b,c≥0
,則ab+bc+ca的最大值為_______.
【解題指南】由于a,b,c的地位是均等的,不妨設a≥b≥c≥0,然后利用排序不等式求解.
【解析】由排序不等式
,得ab+bc+ca≤3.即ab+bc+ca的最大值為3.
答案:3
排序不等式的證明
?、俜治龇?/p>
要證
只需證
根據(jù)基本不等式
只需證
∴原結論正確
?、谠O有兩個有序數(shù)組:
及
求證:
(順序和≥亂序和≥逆序和)
其中
是自然數(shù)的任何一個排列
證明:令
由題設易知
因為
故
所以
即左端不等式,類似可證明右端不等式
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