高1數(shù)學絕對值三角不等式知識點

　　數(shù)學課本中不等式這一部分包含絕對值三角不等式，同學們需要重點關(guān)注，下面是學習啦小編給大家?guī)淼母?數(shù)學絕對值三角不等式知識點，希望對你有幫助。

　　高1數(shù)學絕對值三角不等式知識點(一)

　　絕對值三角不等式

　　絕對值三角不等式：

　　1、基本形式

　　如果a，b都是實數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立;

　　2、變式

　　如果a，b都是實數(shù)，則

　　。

　　三角不等式的解法

　　利用三角函數(shù)線或正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象寫出解集.

　　高1數(shù)學絕對值三角不等式知識點(二)

　　絕對值的三角不等式;不等式證明的基本方法

　　二.教學目的

　　1、掌握絕對值的三角不等式;

　　2、掌握不等式證明的基本方法

　　三.知識分析

　　[絕對值的三角不等式]

　　定理1若a，b為實數(shù)，則

　　，當且僅當ab≥0時，等號成立。

　　幾何說明：(1)當ab>0時，它們落在原點的同一邊，此時a與-b的距離等于它們到原點距離之和。

　　(2)如果ab<0，則a，b分別落在原點兩邊，a與-b的距離嚴格小于a與b到原點距離之和(下圖為ab<0，a>0，b<0的情況，ab<0的其他情況可作類似解釋)。

　　|a-b|表示a-b與原點的距離，也表示a到b之間的距離。

　　定理2設(shè)a，b，c為實數(shù)，則

　　，等號成立

　　，即b落在a，c之間。

　　推論1

　　推論2

　　[不等式證明的基本方法]

　　1、比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是一種常用的方法，基本不等式就是用比較法證得的。

　　比較法有差值、比值兩種形式，但比值法必須考慮正負。

　　比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述。

　　如果作差后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則可考慮用到判別式法證。

　　2、所謂綜合法，就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過的基本不等式出發(fā)，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證明的結(jié)論，可簡稱為“由因?qū)Ч?rdquo;，在使用綜合法證明不等式時，要注意基本不等式的應用。

　　所謂分析法，就是從所要證明的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的不等式，或者是顯然成立的不等式，可簡稱“執(zhí)果索因”，在使用分析法證明不等式時，習慣上用“

　　”表述。

　　綜合法和分析法是兩種思路截然相反的證明方法，其中分析法既可以尋找解題思路，如果表述清楚，也是一個完整的證明過程.注意綜合法與分析法的聯(lián)合運用。

　　3、反證法：從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。

　　4、放縮法：欲證A≥B，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量，使得

　　，

　　，再利用傳遞性，達到證明的目的.這種方法叫做放縮法。

　　【典型例題】

　　例1、已知函數(shù)

　　，設(shè)a、b∈R，且a≠b，求證：

　　思路：本題證法較多，下面用分析法和放縮法給出兩個證明：

　　證明：

　　證法一：

　?、?/p>

　　當ab≤-1時，式①顯然成立;

　　當ab>-1時，式①

　　②

　　∵a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。

　　證法二：當a=-b時，原不等式顯然成立;

　　當a≠-b時，

　　∴原不等式成立。

　　點評：此題還可以用三角代換法，復數(shù)代換法、數(shù)形結(jié)合等證明，留給讀者去思考。

　　例2、設(shè)m等于|a|、|b|和1中最大的一個，當|x|>m時，求證：

　　。

　　思路：本題的關(guān)鍵是對題設(shè)條件的理解和運用，|a|、|b|和1這三個數(shù)中哪一個最大?如果兩兩比較大小，將十分復雜，但我們可以得到一個重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1。

　　證明：

　　故原不等式成立。

　　點評：將題設(shè)條件中的文字語言“m等于|a|、|b|、1中最大的一個”轉(zhuǎn)化為符號的語言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是證明本題的關(guān)鍵。

　　例3、函數(shù)

　　的定義域為[0，1]且

　　。當

　　∈[0，1]，

　　時都有

　　，求證：

　　。

　　證明：不妨設(shè)

　　，以下分兩種情形討論。

　　若

　　則

　　，若

　　則

　　綜上所述

　　點評：對于絕對值符號內(nèi)的式子，采用加減某個式子后，重新組合，運用絕對值不等式的性質(zhì)變形，是證明絕對值不等式的典型方法。

　　例4、已知a>0，b>0，求證：

　　。

　　思路：如果用差值比較法，下一步將是變形，顯然需要通分，是統(tǒng)一通分，還是局部通分?從題目結(jié)構(gòu)特點看，應采取局部通分的方法。

　　證明：

　?、?/p>

　?、?/p>

　　∴原不等式成立。

　　點評：在上面得到①式后，其分子的符號可由題設(shè)條件作出判斷，但它沒有②明顯，所以，變形越徹底，越有利于最后的判斷，本題還可以用比值比較法證明，留給讀者去完成。

　　例5、設(shè)x>0，y>0，且x≠y，求證：

　　思路：注意到x、y的對稱性，可能會想到重要不等式，但后續(xù)思路不好展開，故我們可采用分析法，從消去分數(shù)指數(shù)冪入手。

　　證明：∵x>0，y>0，且x≠y，

　　點評：在不便運用比較法或綜合法時，應考慮用分析法。應注意分析法表述方法，其中尋求充分條件的語句常用符號“

　　”表述。本題應用了分析法，既找到了解題思路，又使問題完滿地得到了解決，可謂一舉兩得。