高中數(shù)學(xué)必修2直線與圓的位置關(guān)系輔導(dǎo)(2)
高中數(shù)學(xué)必修2直線與圓的位置關(guān)系輔導(dǎo)
師：還有什么方法?
生5：建立坐標(biāo)系后求點(diǎn)到直線的距離，再與半徑比較大小。臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程為，圓心O(0，0)，半徑5，輪船航線所在的直線的方程為，
，直線與圓相交，也即得到是受到臺(tái)風(fēng)影響的。
師：?jiǎn)栴}是解決了，第一種方法是平面幾何方法，第二、三種方法是用直線和圓的方程來(lái)解決，這就是坐標(biāo)法，你能歸納一下坐標(biāo)法解決問題的過程嗎?
生5：先合適地建立坐標(biāo)系，將幾何元素和特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示(如點(diǎn)的坐標(biāo)、直線和圓的方程等)，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，最后將結(jié)果轉(zhuǎn)化回到幾何結(jié)論。
【思考】讓學(xué)生感受臺(tái)風(fēng)這個(gè)實(shí)際問題中所蘊(yùn)含的直線與圓的位置關(guān)系，思考解決問題的方案.然后重點(diǎn)通過追問整理出判斷直線與圓的位置關(guān)系的解決過程即步驟，對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行梳理，使學(xué)生有坐標(biāo)法的“操作規(guī)范”并能明確，同時(shí)也滲透了算法思想.
三、一般問題解決中綜合運(yùn)用坐標(biāo)法
例1、已知：直線與圓，判斷直線與圓的位置關(guān)系;若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)。
師：你是運(yùn)用什么方法解決此問題的呢?
生6：(解法1)我是通過解方程組研究公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的。
師：為什么方程組有兩個(gè)實(shí)數(shù)解就表明它們有兩個(gè)交點(diǎn)?(代數(shù)到幾何)
生6：直線和圓由點(diǎn)來(lái)構(gòu)成，每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，而方程組的解既滿足直線方程又滿足圓方程。
生7：(解法2)借助初中已經(jīng)有的幾何方法，是幾何方法的代數(shù)體現(xiàn)。我是先求直線到圓心的距離，再比較距離與半徑的關(guān)系——(通過距離公式)數(shù)量關(guān)系(不等式與等式)。
師：為何你用圓心到直線的距離并與半徑比較后還要解方程組?
生7：因?yàn)轭}中是要求交點(diǎn)的。
師：對(duì)，這就是數(shù)到形時(shí)難入微。
例2：已知過點(diǎn)的直線被圓截的弦長(zhǎng)為，求直線的方程。
師：你又是以怎么樣的思路來(lái)解決該題的?
生8：解方程組，然后用韋達(dá)定理來(lái)解決。
生9：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，通過求出弦心距來(lái)解決。
師：你會(huì)喜歡哪種方法?
生10：前面一種
師：為什么?
生10：相對(duì)來(lái)說(shuō)前面那種思路清晰。
師：那一定能說(shuō)后面那種方法思路不清晰嗎?如果我把曲線方程成?
生(齊聲)：那后面那種方法不能用了，因?yàn)椴皇菆A了。
師：對(duì)，前面那種方法是通法，而相對(duì)直線與圓來(lái)說(shuō)，后面這種方法是先借助圓的幾何對(duì)稱性將直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，使后面的代數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)化。
【思考】通過對(duì)一般直線與圓位置關(guān)系、交點(diǎn)和弦長(zhǎng)問題解決過程的分析，突出了坐標(biāo)法的運(yùn)用。在運(yùn)用坐標(biāo)法解題時(shí)通過追問既有兩種方法的分析又有兩種方法的比較，更明確了坐標(biāo)法解題的一般適用性，又有解決特殊幾何問題時(shí)利用幾何特征的簡(jiǎn)化解題。另外涉及到圓的弦長(zhǎng)問題時(shí)，常利用垂徑定理和半弦長(zhǎng)、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算;涉及到弦長(zhǎng)問題時(shí)，也可利用設(shè)而不求、韋達(dá)定理來(lái)求解，滲透弦長(zhǎng)公式，為 以后研究圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題打下基礎(chǔ)。
四、易錯(cuò)問題辯析中明確坐標(biāo)法運(yùn)用注意
教師將上述例2作如下的變式并讓學(xué)生練習(xí)：
已知過點(diǎn)的直線被圓截的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程。 實(shí)物投影儀展示學(xué)生的練習(xí)：圓方程可化為，令所求直線方程為 ，即。 由于弦長(zhǎng)為，所以圓心到直線的距離為，從而
，解得
，所求直線為。
師：畫個(gè)圖，你估計(jì)一下這樣的答案正確嗎?
生11：好象應(yīng)該有兩條的，但上面的解題過程好象沒問題呀。
師：那這一條是怎么少掉的?少掉的那條從圖中看得出是哪條?又是怎么漏掉的?(留一定時(shí)間讓學(xué)生同桌討論)
生12：少掉的那條就是直線，它是垂直于x軸的。在剛才用代數(shù)方法設(shè)直線方程時(shí)設(shè)了直線的斜率k,隱含著去掉了斜率不存在即垂直于x軸的直線的。
師：對(duì)，這兒的問題搞清楚了，它可以給我們什么啟示?
生12：運(yùn)用坐標(biāo)法解題時(shí)，幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題時(shí)要求一致。
師：也就是要求轉(zhuǎn)化過程的等價(jià)，這也包括在后面代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果后返回到幾何問題的結(jié)論中。
【思考】坐標(biāo)法解題中包含著幾何問題到代數(shù)問題、代數(shù)結(jié)果到幾何結(jié)論的轉(zhuǎn)化，其中都需要等價(jià)轉(zhuǎn)化的要求，坐標(biāo)法解題時(shí)容易出現(xiàn)轉(zhuǎn)化的不等價(jià)。上述問題 教學(xué)中先暴露問題然后組織學(xué)生對(duì)易錯(cuò)問題開展辯析，較好地引導(dǎo)學(xué)生理解了出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因并從等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的層面明確了要求。
坐標(biāo)法是解析幾何的核心，它貫穿于整個(gè)解析幾何的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)該在各相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中滲透坐標(biāo)法，使學(xué)生能深刻地理解并熟練地運(yùn)用。
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