高一數(shù)學(xué)等差中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)詳解(2)
高一數(shù)學(xué)等差中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)詳解
高一數(shù)學(xué)關(guān)于平面向量基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)
平面向量的基本定理：
如果
是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量
存在唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)
使
成立，不共線向量
表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：
在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量
為基底，則平面內(nèi)的任一向量
可表示為
，稱(x，y)為向量
的坐標(biāo)，
=(x，y)叫做向量
的坐標(biāo)表示。
基底在向量中的應(yīng)用：
(l)用基底表示出相關(guān)向量來解決向量問題是常用的方法之一.
(2)在平面中選擇基底主要有以下幾個(gè)特點(diǎn)：①不共線;②有公共起點(diǎn);③其長(zhǎng)度及兩兩夾角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和減法對(duì)有關(guān)向量進(jìn)行分解。
用已知向量表示未知向量：
用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖像，可從以下角度如手：
(1)要用基向量意識(shí)，把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來;
(2)把要表示的向量標(biāo)在封閉的圖形中，表示為其它向量的和或差的形式，進(jìn)而尋找這些向量與基向量的關(guān)系;
(3)用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮用加法，否則用減法，如果此向量與一個(gè)易求向量共線，可用數(shù)乘。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運(yùn)算律：
交換律：a+b=b+a;
結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0
AB-AC=CB. 即“共同起點(diǎn)，指向被減”
a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').
4、數(shù)乘向量
實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向;
當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向;
當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。
當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。
注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。
當(dāng)∣λ∣>1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)為原來的∣λ∣倍;
當(dāng)∣λ∣<1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。
數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律
結(jié)合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的數(shù)量積
定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作a•b。若a、b不共線，則a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共線，則a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a•b=x•x'+y•y'。
向量的數(shù)量積的運(yùn)算律
a•b=b•a(交換律);
(λa)•b=λ(a•b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);
(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
向量的數(shù)量積的性質(zhì)
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)
1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質(zhì)：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運(yùn)算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào);
?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào);
?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。
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