高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和知識(shí)點(diǎn)分析
高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和知識(shí)點(diǎn)分析
高中數(shù)學(xué)的等比數(shù)列是考試的重點(diǎn)的內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)的是會(huì)要多花費(fèi)一些的功夫，下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼挠嘘P(guān)于高一數(shù)學(xué)關(guān)于等比數(shù)列的知識(shí)點(diǎn)的介紹，希望能夠幫助到大家。
高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和知識(shí)點(diǎn)
一個(gè)推導(dǎo)
利用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，
同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，
兩式相減得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1).
兩個(gè)防范
(1)由an+1=qan，q≠0并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.
(2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q=1與q≠1分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤.
三種方法
等比數(shù)列的判斷方法有：
(1)定義法：若an+1/an=q(q為非零常數(shù))或an/an-1=q(q為非零常數(shù)且n≥2且n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列.
(2)中項(xiàng)公式法：在數(shù)列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an=c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列.
注：前兩種方法也可用來證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列.
高一數(shù)學(xué)等比中項(xiàng)必考知識(shí)點(diǎn)
1)數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。
(2)數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。
(3)數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長率問題為主。
試題的難度有三個(gè)層次，小題多以基礎(chǔ)題為主，解答題多以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題，難度較大。
(1)函數(shù)的思想方法
數(shù)列本身就是一個(gè)特殊的函數(shù)，而且是離散的函數(shù)，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時(shí)，可以將它們看成一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來解決問題。
(2)方程的思想方法
數(shù)列這一章涉及了多個(gè)關(guān)于首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、公比、第n項(xiàng)和前n項(xiàng)和這些量的數(shù)學(xué)公式，而公式本身就是一個(gè)等式，因此，在求這些數(shù)學(xué)量的過程中，可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù)，通過公式建立關(guān)于求未知量的方程，可以使解題變得清晰、明了，而且簡化了解題過程。
高一數(shù)學(xué)概率練習(xí)附答案解析
一、選擇題：本大題共10小題，共50分.
1.編號(hào)為1,2,3的三位學(xué)生隨意坐入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，則三位學(xué)生所坐的座位號(hào)與學(xué)生的編號(hào)恰好都不同的概率是( )
A.23 B.13 C.16 D.56
解析：編號(hào)為1,2,3的三位學(xué)生隨意坐入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位時(shí)，1號(hào)學(xué)生有3種坐法，2號(hào)學(xué)生有2種坐法，3號(hào)學(xué)生只 有1種坐法，所以一共有6種坐法，其中座位號(hào)與學(xué)生的編號(hào)恰好都不同的坐法只有2種，所以所求的概率P=26=13.
答案：B
2.小明同學(xué)的QQ密碼是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)字中不同的6個(gè)數(shù)字組成的六位數(shù)碼，由于長時(shí)間未登錄QQ，小明忘記了密碼的最后一個(gè)數(shù)字，如果小明登錄QQ時(shí)密碼的最后一個(gè)數(shù)字隨意選取，則恰好能登錄的概率是( )
A.1105 B.1104
C.1100 D.110
解析：從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一個(gè)數(shù)字有10個(gè)基本事件，恰巧是密碼最后一位數(shù)字有1個(gè)基本事件，則恰好能登錄的概率為110.
答案：D
3. 已知點(diǎn)P是邊長為4的正方形內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于2的概率是( )
A.π4 B.1-π4
C.14 D.π3
解析：如圖所示，邊長為4的正方形ABCD，分別以A、B、C、D為圓心，都以2為半 徑畫弧截正方形ABCD后剩余部分是陰影部分.
則陰影部分的面積是42-4×14×π×22=16-4π，
所以所求概率是16-4π16=1-π4.
答案：B
4.(2013•江西卷)集合A={2,3}，B={1,2,3}，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是( )
A.23 B .12
C.13 D.16
解析：從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)的基本事件有：(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6種，而這兩個(gè)數(shù)之和等于4的基本事件有：(2,2)，(3,1)，共2種，故所求的概率為P=26=13.
答案：C
5.從甲、乙、丙三人中，任選兩名代表，甲被選中的概率為( )
A.12 B.13
C.14 D.23
解析：甲、乙、丙三人中任選兩名代表有如下三種情況：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)，其中甲被選中包含兩種，因此所求概率為P=23.
答案：D
6.(2013•安徽卷)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為( )
A.23 B.25
C.35 D.910
解析：從甲、乙、丙、丁、戊5人中錄 用3人的所有事件為：甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、乙丙丁、乙丙戊、丙丁戊、乙丁戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊，共10種，其中甲或乙被錄用包含9個(gè)基本事件，故甲或乙被錄用的概率為910.故選D.
答案：D
7.若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m， n，則點(diǎn)P(m，n)在直線x+y=4上的概率是( )
A.13 B.14
C.16 D.112
解析：由題意知(m，n)的取值情況有(1,1)，(1,2)，…，(1,6);(2,1)，(2,2)，…，(2,6);…;(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36種情況.而滿足點(diǎn)P(m，n)在直線x+y=4上的取值情況有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3種情況，故所求概率為336=112.
答案：D
8.在面積為S的△ABC的邊AC上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于S4的概率是( )
A.13 B.12
C.34 D.14
解析：如圖，在△ABC中，點(diǎn)F是AC邊的四等分點(diǎn)，設(shè)△ABC的高為AD，△FBC的高為FE，則FE=14AD，
∴S△FBC=14S△ABC=S4，要使△PBC的面積大于S4，則點(diǎn)P需在線段FA上選取，故P=FACA=34.
答案：C
9.(2013•湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為12，則ADAB=( )
A.12 B.14
C.32 D.74
解析：不妨設(shè)AB=1，AD=x，則ADAB=x，由圖形的對(duì)稱性和題意知，點(diǎn)P應(yīng)在EF之間，EF=12.DE=CF=14，當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)時(shí)，BP最大為 x2+916，所以x2+916=1，∴x=74.
答案：D
10.(2013•陜西卷)對(duì)一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品，在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三 等品.用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為二等品的概率是( )
A.0.09 B.0.20
C.0.25 D.0.45
解析：利用統(tǒng)計(jì)圖表可知在區(qū)間[25,30)上的頻率為1-(0.02+0.04+0.06+0.03)×5=0.25，在區(qū)間[15,20)上的頻率為0.04×5=0.2，故所求二等品的概率為0.45.
答案：D
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第Ⅱ卷(非選擇題，共70分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
11.(2013•湖北卷)在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為56，則m=__________.
解析：因?yàn)閤滿足|x|≤m的概率為56，所以由幾何概型得，當(dāng)-m≤-2，即m≥2時(shí)，m--24--2=56， 解得m=3;當(dāng)-m>-2，即0≤m<2時(shí)，m--m4--2=56，解得m=52，不符合0≤m<2應(yīng)舍去.故m=3.
答案：3
12.(2013•重慶卷)若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為__________.
解析： 三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共6種不同的排法 ，其中甲乙相鄰有4種排法，所以甲、乙相鄰而站的概率為46=23.
答案：23
13.(2013•新課標(biāo)全國卷Ⅱ)從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是__________.
解析：從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)的基本事件總數(shù)為10，其和為5有兩個(gè)基本事件，所以其概率為0.2.
答案：0.2
14.(2013•福建卷)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a-1<0”發(fā)生的概率為__________.
解析：設(shè)事件A：“3a-1<0”，則a∈0，13，所以P (A)=13-01=13.
答案：13
三、解答題：本大題共4小題，滿分50分.
15.(12分)(2013•遼寧卷)現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答.試求：
(1)所取的2道題都是甲類題的概率;
(2)所取的2道題不是同一類題的概率.
解：(1)將4道甲類題依次編號(hào)為1,2,3,4;2道乙類題依次編號(hào)為5,6.任取2道題，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15個(gè)，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.
用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個(gè)，所以P(A)=615=25.(6分)
(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8個(gè)，所以P(B)=815.(12分)
16.(12分)(2013•新課標(biāo)全國卷Ⅱ)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.
(1)將T表示為X的函數(shù);
( 2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57 000元的概率.
解：(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí)，
T=500X-300(130-X)
=800X-39 000.
當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，
T=500×130=65 000.
所以T=800X-39 000，100≤X<130，65 000，130≤X≤150.(6分)
(2)由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.
由直方圖知需求量X∈[120,15 0]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.(12分)
17.(12分)(2013•湖南卷)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的藥物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.
(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量;
Y 51 48 45 42
頻數(shù) 4
(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株， 求它的年收獲量至少為48 kg的概率.解：(1)所種作物的總株數(shù)為1+2+3+4+5=15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株.列表如下：
Y 51 48 45 42
頻數(shù) 2 4 6 3
所種作物的平均年收獲量為
51×2+48×4+45×6+42×315=
102+192+270+12615=69015=46.(6分)
(2)由(1)知，P(Y=51)=215，P(Y=48)=415.
故在所種作物中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48 kg的概率為P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=215+415=25.(12分)
18.(14分)(2013•廣東卷)從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量(單位：克)的頻數(shù)分布表如下：
分組(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
頻數(shù)(個(gè)) 5 10 20 15
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在[90,95)的頻率;
(2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在[80,85)的有幾個(gè)?
(3)在(2)中抽出的4個(gè)蘋果中，任取2個(gè)，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1個(gè)的概率.
解：(1)蘋果重量在[90,95)的頻率為2050=25=0.4;(4分)
(2)重量在[80,85)的蘋果有55+15×4=1個(gè);(8分)
(3)在(2)中抽出的4個(gè)蘋果中，有1個(gè)重量在[80,85)中，3個(gè)在[95,100)中.設(shè)“在[80,85)和[95,100)中各有1個(gè)蘋果”為事件A，則P(A)=36=12.
故重量在[80,85)和[95,100)中各有1個(gè)蘋果的概率為12.(14分)
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