高一年級數學下學期期末試題
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高一數學下期末試題帶答案
第Ⅰ卷(選擇題)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.
1.某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為
A. 100 B. 150 C. 200 D.250
2.已知變量 與 正相關，且由觀測數據算得樣本平均數為 ，則由該觀測數據得到的回歸直線方程可能是
A. B. C. D.
3.設集合 ，則
A. B. C. D.
4.已知點 落在角 的終邊上，且 ，則 的值為
A. B. C. D.
5.函數 的零點所在的一個區(qū)間是
A. B. C. D.
6.右圖是求樣本 平均數 的程序框圖，圖中空白框應填入的內容是
A. B. C. D.
7.已知直線 ，平面 ，且 ，給出下列四個命題：
?、偃?，則 ;②若 ，則 ;
?、廴?，則 ;④ ，則 .
其中正確命題的個數是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.光線沿直線 射到直線 上，被 反射后的光線所在直線的方程為
A. B . C. D.
9.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的值是
A. 2 B. C. D. 3
10.已知P是邊長為2的正三角形ABC的BC上的動點，則
A. 有最大值8 B. 有最小值2 C. 是定值6 D.與P點的位置有關
11.已知函數 的圖象的一部分如左圖，則右圖的函數圖象所對應的函數解析式為
A. B.
C. D.
12.函數 的定義域為 ，其圖象上任意一點 滿足 ，給出以下四個命題：①函數 一定是偶函數;②函數 可能是奇函數;③函數 在 上單調遞增;④若函數 是偶函數，則其值域為 ，其中正確的命題個數為
A.1個 B. 2個 C. 3個 D.4個
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出S的值為 .
14.在如圖所示的方格紙上，向量 的起點和終點均在格點(小正方形的頂點)上，若 與 ( 為非零實數)共線，則 的值為 .
15.已知直線 與圓心為C的圓 相交于A,B兩點， 為等邊三角形，則實數 .
16.已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使 的最大邊是AB” 發(fā)生的概率為 ，則 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17.(本題滿分10分)已知函數
(1)求函數 的定義域;
(2)討論函數 的奇偶性.
18.(本題滿分12分)
某實驗室一天的溫度(單位： )隨時間(單位： )的變化近似滿足函數關系：
(1)求實驗室這一天的最大溫差;
(2)若要求實驗室溫度不低于 ，則在哪段時間實驗室需要降溫?
19.(本題滿分12分)
某產品的三個質量指標分別為 ，用綜合指標 評價該產品的等級.若 ，則該產品為一等品，現從一批該產品中，隨機抽取10件產品作為樣本，其質量指標列表如下：
(1)利用上表提供的樣本數據估計該批產品的一等品率;
(2)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產品.
?、儆卯a品編號列出所有可能的結果;
?、谠O事件B為“在取出的2件產品中，每件產品的綜合指標S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率.
20.(本題滿分12分)已知向量
(1)若 ，求證： ;
(2)設 ，若 ，求 的值.
21.(本題滿分12分)如圖，在四棱錐 中， 平面 ，
(1)求證： ;
(2)求點A到平面PBC的距離.
22.(本題滿分12分)
已知圓 上存在兩點關于直線 對稱.
(1)求實數 的值;
(2)若直線 與圓C交于A,B兩點， (O為坐標原點)，求圓C的方程.
參考答案及評分標準
一.選擇題(每小題5分，共60分)
1-5 ABCDB 6-10 ACBDC 11-12 BA
二.填空題(每小題5分，共20分)
13. -3; 14. ; 15. ; 16. .
三.解答題(17小題10分，其余每小題12分，共70分)
17.(本小題滿分10分)
解：(Ⅰ)
∴定義域是 .--------------------------------------3分
(Ⅱ)∵
∵定義域關于原點對稱，∴ 是偶函數 ----------------------10分
18.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)因為 ，-----3分
又 ，所以 ， .
當 時， ;當 時， ;
于是 在 上取得最大值12，取得最小值8.
故實驗室這一天最高溫度為 ，最低溫度為 ，最大溫差為 .---------7分
(Ⅱ)依題意，當 時實驗室需要降溫.
由(Ⅰ)得 ，
所以 ，即 .
又 ，因此 ，即 ，
故在10時至18時實驗室需要降溫. -------------------------12分
19.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)計算10件產品的綜合指標S，如下表:
產品編號
4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中S≤4的有 ， ， ， ， ， ，共6件，
故該樣本的一等品率為 ，
從而可估計該批產品的一等品率為 . ----------------------------------6分
(Ⅱ)①在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產品的所有可能結果為 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15種. ------------8分
?、谠谠摌颖镜囊坏绕分?，綜合指標S等于4的產品編號分別為 ， ， ， ，則事件B發(fā)生的所有可能結果為 ， ， ， ， ， 共6種。
所以 . -----------------------------------12分
---------------------------12分
21.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)因為PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC.----------------2分
由∠BCD=90°，得BC⊥DC，
又PD DC=D，PD 平面PCD，
DC 平面PCD，所以BC⊥平面PCD.
因為PC 平面PCD，所以PC⊥BC.-------------------------6分
(Ⅱ)連結AC.設點A到平面PBC的距離為h.
因為AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°.
從而由AB=2，BC=1，得 的面積 .
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積 .----------8分
因為PD⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，所以PD⊥DC.
又PD=DC=1，所以 .
由PC⊥BC，BC=1，得 的面積 . ------------------------10分
由 ，得 ，
因此，點A到平面PBC的距離為 . ------------------------------------12分
22.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)圓C的方程為 圓心C(-1，0).
∵圓C上存在兩點關于直線 對稱，
∴直線 過圓心C. -------------------------------------3分
∴ 解得 =1. -------------------------------------5分
(Ⅱ)聯立 消去 ，得
.
設 ，
. ----------------------------------------7分
由 得
. -----------------9分
∴OA→•OB→= .
∴圓C的方程為 . ------------------------------12分
高一數學下期末聯考考試試題
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
(1) 已知兩直線m、n和平面α，若m⊥α，n∥α，則直線m、n的關系一定成立的是
(A)m與n是異面直線 (B)m⊥n
(C)m與n是相交直線 (D)m∥n
(2) 已知數據x1，x2，x3，…，xn是普通職工n(n≥3，n∈N*)個人的年收入，設這n個數據的中位數為x，平均數為y，方差為z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，則這n+1個數據中，下列說法正確的是
(A)年收入平均數大大增大，中位數一定變大，方差可能不變
(B)年收入平均數大大增大，中位數可能不變，方差變大
(C)年收入平均數大大增大，中位數可能不變，方差也不變
(D)年收入平均數可能不變，中位數可能不變，方差可能不變
(3) 若直線l1：mx﹣3y﹣2=0與直線l2：(2﹣m)x﹣3y+5=0互相平行，則實數m的值為
(A) 2 (B)﹣1
(C)1 (D)0
(4) 利用計算機在區(qū)間( ，2)內產生隨機數a，則不等式ln(3a﹣1)<0成立的概率是
(A) (B) (C) (D)
(5) 函數y=2cos2(x+ )-1是
(A)最小正周期為π的奇函數
(B)最小正周期為 的奇函數
(C)最小正周期為 的偶函數
(D)最小正周期為π的偶函數
(6) 已知程序框圖如圖所示，如果上述程序運行的結果為S=132，那么
判斷框中應填入
(A)k<11? (B)k<12?
(C)k<13? (D)k<14?
(7) 已知函數f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)的對應表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) -8 2 ﹣3 5 6 8
則函數f(x)存在零點的區(qū)間有
(A)區(qū)間[2，3]和[3，4] (B)區(qū)間[3，4]、[4，5]和[5，6]
(C)區(qū)間[2，3]、[3，4]和[4，5] (D)區(qū)間[1，2]、[2，3]和[3,4]
(8) 函數 的單調遞減區(qū)間是
(A)(1，+∞) (B)(﹣1，1]
(C)[1，3) (D)(﹣∞，1)
(9) 若函數f(x)=3ax﹣k+1(a>0，且a≠1)過定點(2，4)，且f(x)在定義域R內是增函數，則函數
g(x)=loga(x-k)的圖象是
(A) (B) (C) (D)
(10) 如果圓x2+y2+2m(x+y)+2 m2-8=0上總存在到點(0,0)的距離為 的點，則實數m的取值范圍是
(A)[﹣1，1] (B)(﹣3，3)
(C)(﹣3，﹣1)∪(1，3) (D)[﹣3，﹣1]∪[1，3]
(11) 同時具有性質：①圖象的一個零點和其相鄰對稱軸間的距離是 ;②在區(qū)間[﹣ ， ]上是增函數
的一個函數為
(A)y=cos( + ) (B)y=sin( + )
(C)y=sin(2x﹣ ) (D)y=cos(2x﹣ )
(12) 定義在區(qū)間(1，+∞)內的函數f(x)滿足下列兩個條件：
?、賹θ我獾膞∈(1，+∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立;
?、诋攛∈(1，2]時，f(x)=2﹣x.
已知函數y=f(x)的圖象與直線mx-y-m=0恰有兩個交點，則實數m的取值范圍是
(A)[1，2) (B)(1，2]
(C) (D)
第Ⅱ卷
二、填空題：本題共4小題，每小題5分。
(13) 設某總體是由編號為01，02，…，39，40的40個個體組成的，利用下面的隨機數表依次選取4個個體，選取方法是從隨機數表第一行的第三列數字開始從左到右依次選取兩個數字，則選出來的第4個個體的編號為 .
0618 0765 4544 1816 5809 7983 8619
7606 8350 0310 5923 4605 0526 6238
(14) 設m∈R，向量 =(m+1，3)， =(2，﹣m)，且 ⊥ ，則| + |= .
(15) 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 .
(16) 已知 ，則 = .
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
(17)(本小題滿分10分)
如圖，在△ABC中，已知點D，E分別在邊AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE.
(Ⅰ)用向量 ， 表示 ;
(Ⅱ)設AB=6，AC=4，A=60°，求線段DE的長.
(18)(本小題滿分12分)
某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，全校學生都參加了這次競賽.為了了解本次競賽的成績情況，從中抽取了部分學生的成績(得分取正整數，滿分為100分)作為樣本進行統計.請根據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問題：
頻率分布表
組別 分組 頻數 頻率
第1組 [50，60) 8 0.16
第2組 [60，70) a ▓
第3組 [70，80) 20 0.40
第4組 [80，90) ▓ 0.08
第5組 [90，100] 2 b
合計 ▓ ▓
(Ⅰ)寫出a，b，x，y的值;
(Ⅱ)在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上(含80分)的同學中隨機抽取2名同學到廣場參加環(huán)保知識的志愿宣傳活動.
(i)求所抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率;
(ii)求所抽取的2名同學來自同一組的概率.
(19)(本小題滿分12分)
如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P是單位圓上的動點，過點P作x軸的垂線與射線y= x(x≥0)交于點Q，與x軸交于點M.記∠MOP=α，且α∈(﹣ ， ).
(Ⅰ)若sinα= ，求cos∠POQ;
(Ⅱ)求△OPQ面積的最大值.
(20)(本小題滿分12分)
如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是線段EF的中點.
(Ⅰ)求證：AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A﹣DF﹣B的大小.
(21)(本小題滿分12分)
已知圓C經過點A(1，3)，B(2，2)，并且直線m：3x﹣2y=0平分圓C.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若過點D(0，1)，且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點M、N.
(i)求實數k的取值范圍;
(ii)若 • =12，求k的值.
(22)(本小題滿分12分)
已知函數f(x)=( )x.
(Ⅰ)當x∈[﹣1，1]時，求函數y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值g(a);
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，是否存在實數m>n>3，使得g(x)的定義域為[n，m]，值域為[n2，m2]?若存在，求出m、n的值;若不存在，請說明理由.
參考答案及解析
一、選擇題
(1)B (2)B (3)C (4)D (5)A (6)A (7)D (8)C (9)A (10)D (11)C (12)C
二、填空題
(13)09 (14) (15) (16)
三、解答題
(17)解：(Ⅰ)△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE,
∴
∴ . (5分)
(Ⅱ)若AB=6，AC=4，A=60°，
則
= ×62+ ×6×4×cos60°+ ×42=7，
∴ ，
即線段DE的長為 . (10分)
(18)解：(Ⅰ)由題意可知，a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004. (4分)
(Ⅱ)由題意可知，第4組共有4人，記為A，B，C，D，第5組共有2人，記為X，Y.
從競賽成績是80分以上(含80分)的同學中隨機抽取2名同學，則有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15種情況. (6分)
(ⅰ)設“隨機抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組”為事件E，
則事件E包含AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共9種情況.所以隨機抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率是P(E)= .(9分)
(ⅱ)設“隨機抽取的2名同學來自同一組”為事件F，則事件F包含AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY,共7種情況.
所以P(F)= . (12分)
(19)解：(Ⅰ)因為 ，且 所以 .
所以 . (5分)
(Ⅱ)由三角函數定義，得P(cosα，sinα)，從而 ，
所以
.
因為 所以當 時，取等號，
所以△OPQ面積的最大值為 . (12分)
(20)解：(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,如圖，
∵O、M分別是AC、EF的中點,ACEF是矩形,
∴四邊形AOEM是平行四邊形.∴AM∥OE.
∵OE 平面BDE,AM 平面BDE,
∴AM∥平面BDE. (4分)
(Ⅱ)在平面AFD中，過A作AS⊥DF于S,連接BS,如圖，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF,
∴AS是BS在平面ADF上的射影,
由三垂線定理得BS⊥DF，
∴ 是二面角A-DF-B的平面角.
在Rt△ASB中,
∴tan = , =60°,
∴二面角A-DF-B的大小為60°. (12分)
(21)解：(Ⅰ)設圓C的標準方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2.
∵圓C被直線m：3x﹣2y=0平分，
∴圓心C(a，b)在直線m上，可得3a﹣2b=0. ①
又∵點A(1，3)，B(2，2)在圓C上，
∴ ②
將①②聯立，解得a=2，b=3，r=1.
∴圓C的方程是(x﹣2)2+(y﹣3)2=1. (4分)
(Ⅱ)(i) 過點D(0，1)且斜率為k的直線l的方程為y=kx+1，即kx﹣y+1=0.
∵直線l與圓C有兩個不同的交點M、N，
∴點C(2，3)到直線l的距離小于半徑r，
即 ，解得 .
∴實數k的取值范圍是 . (8分)
(ii)由 消去y，得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.
設M(x1，y1)、N(x2，y2)，可得x1+x2= ，x1x2= ，
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1= + +1，
∴ =x1x2+y1y2= + + +1=12，解得k=1.
此時k∈ ，成立，∴k=1. (12分)
(22)解：(Ⅰ)∵x∈[﹣1，1]，∴f(x)=( )x∈[ ，3]， (1分)
y=[f(x)]2﹣2af(x)+3=[( )x]2﹣2a( )x+3
=[( )x﹣a]2+3﹣a2. . (3分)
由一元二次函數的性質分三種情況：
若a< ，則當 時，ymin=g(a)= ; (5分)
若 ≤a≤3，則當 時，ymin=g(a)=3﹣a2; (6分)
若a>3，則當 時，ymin=g(a)=12﹣6a. (7分)
∴g(a)= (8分)
(Ⅱ)假設存在滿足題意的m、n，
∵m>n>3，且g(x)=12﹣6x在區(qū)間(3，+∞)內是減函數， (9分)
又g(x)的定義域為[n，m]，值域為[n2，m2]，
∴ (10分)
兩式相減，得6(m﹣n)=(m+n)(m﹣n)，
∵m>n>3，∴m+n=6，但這與“m>n>3”矛盾， (11分)
∴滿足題意的m、n不存在. (12分)
高一數學下期末考試題帶答案
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
(1)已知集合P={x|﹣1
(A)(﹣1，2) (B)(0，1) (C)(﹣1，0) (D)(1，2)
(2)點 在直線 ：ax﹣y+2=0上，則直線 的傾斜角為
(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°
(3)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據(單位：件).若這兩組數據的
中位數相等，且平均值也相等，則 的值分別為
(A)3，5 (B)5，5 (C)3，7 (D)5，7
(4)若a= ，b=30.5，c=0.53，則a，b，c三個數的大小關系是
(A)a
(5)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為
(A)60 (B)30 (C)20 (D)10
(6)設α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若 n⊂α，且A∈m，
A∈α，則m，n的位置關系不可能是
(A)垂直 (B)相交 (C)異面 (D)平行
(7)某程序框圖如圖所示，若輸出的S=26，則判斷框內應填
(A)k>3? (B)k>4? (C)k>5? (D)k>6?
(8)我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”問題：糧倉開倉收糧，有人送來米1494石，檢
驗發(fā)現米內夾谷，抽樣取米一把，數得270粒內夾谷30粒，則這批米內夾谷約為
(A)17石 (B)166石 (C)387石 (D)1310石
(9)為了得到函數y=sin(2x﹣ )，x∈R的圖象，只需將函數y=sin2x，x∈R的圖象上所有的點
(A)向左平移 個單位長度 (B)向右平移 個單位長度
(C)向左平移 個單位長度 (D)向右平移 個單位長度
(10)方程ex=2﹣x的根位于區(qū)間
(A)(﹣1，0)內 (B)(0，1)內 (C)(1，2) 內 (D)(2，3)內
(11)在平面直角坐標系xOy中，以(﹣2，0)為圓心且與直線 ( ∈R)相切的
所有圓中，面積最大的圓的標準方程是
(A)(x+2)2+y2=16 (B)(x+2)2+y2=20 (C)(x+2)2+y2=25 (D)(x+2)2+y2=36
(12)將函數f(x)=2sin2x的圖象向左平移 個單位后得到函數g(x)的圖象，若函數g(x)在
區(qū)間[0， ]和[2a， ]上均單調遞增，則實數a的取值范圍是
(A) [ ， ] (B)[ ， ]
(C)[ ， ] (D)[ ， ]
第Ⅱ卷
二.填空題：本題共4小題，每小題5分。
(13)函數f(x)=ln(x2﹣2x﹣8)的單調遞增區(qū)間是 .
(14)已知 與 均為單位向量，它們的夾角為120°，那么| +3 |= .
(15) 某校高一(1)班有男生28人，女生21人，用分層抽樣的方法從全班學生中抽取一個調查小
組，調查該校學生對2017年1月1日起執(zhí)行的新交規(guī)的知曉情況，已知某男生被抽中的概率
為 ，則抽取的女生人數為 .
(16)已知 則 = .
三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
(17)(本小題滿分10分)
已知平面內三個向量 =(3，2)， =(﹣1，2)， =(4，1).
(Ⅰ)若( +k )∥(2 ﹣ )，求實數k的值;
(Ⅱ)設向量 =(x，y)，且滿足( + )⊥( ﹣ )，| ﹣ |= ，求 .
(18)(本小題滿分12分)
某校100名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區(qū)間如下：
組號 第一組 第二組 第三組 第四組 第五組
分組 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
(Ⅰ)求圖中a的值;
(Ⅱ)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生期中考試數學成績的平均分;
(Ⅲ)現用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學生，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2名，求其中恰有1人的分數不低于90分的概率.
(19)(本小題滿分12分)
已知函數f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期為π.
(Ⅰ)求f( )的值;
(Ⅱ)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間.
(20)(本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD= ，O為AC與BD的交點，E為棱PB上一點.
(Ⅰ)證明：平面EAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若PD∥平面EAC，求三棱錐P﹣EAD的體積.
(21)(本小題滿分12分)
已知點P(2，0)，且圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(Ⅰ)當直線 過點P且與圓心C的距離為1時，求直線 的方程;
(Ⅱ)設過點P的直線與圓C交于A、B兩點，若|AB|=4，求以線段AB為直徑的圓的方程.
(22)(本小題滿分12分)
某產品生產廠家根據以往銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規(guī)律：每生產產品x(百臺)，其總成本為g(x)(萬元)，其中固定成本為2萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元(總成本=固定成本+生產成本)，銷售收入R(x)(萬元)滿足 = 假設該產品產銷平衡，試根據上述資料分析：
(Ⅰ)要使工廠有盈利，產量x應控制在什么范圍內;
(Ⅱ)工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多?
(Ⅲ)當盈利最多時，求每臺產品的售價.
參考答案及解析
一、選擇題
(1)A (2)C (3)A (4)C (5)D (6)D
(7)A (8)B (9)D (10)B (11)C (12)A
二、填空題
(13)(4，+∞) (14) (15)3 (16)
三、解答題
(17)解：(Ⅰ)因為 =(3，2)， =(﹣1，2)， =(4，1)，
所以 +k =(3+4k，2+k)，2 ﹣ =(﹣5，2).
又( +k )∥(2 ﹣ )，
所以2(3+4k)+5(2+k)=0，解得 (4分)
(Ⅱ)因為 =(x，y)，且滿足( + )⊥( ﹣ )，| ﹣ |= ，
又 =(2，4)， =(x﹣4，y﹣1)，
所以 ，解得 或 .
所以 =(6，0)或者(2，2).(10分)
(18)解：(Ⅰ)由題意得，10 +0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以 =0.005.(2分)
(Ⅱ)由直方圖可知，分數在[50，60)的頻率為0.05，[60，70)的頻率為0.35，[70，80)的頻率為0.30，[80，90)的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學生期中考試數學成績的平均分的估計值為55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74. 5 . (6分)
(Ⅲ)由直方圖得，
第3組的人數為0.3×100=30人，第4組的人數為0.2×100=20人，第5組的人數為0.1×100=10人.
所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名，
第3組應抽取 人，第4組應抽取 人，第5組應抽取 =1人.(8分)
設第3組的3名學生分別為 第4組的2名學生分別為 第5組的1名學生為 ，
則從6名學生中抽取2名的情況有
,共15種.
其中恰有1人的分數不低于90分的情況有 共5種.(10分)
所以其中恰有1人的分數不低于90分的概率P= .(12分)
(19)解：(Ⅰ)由題得，
f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1= sin(2ωx+ )+1，
因為f(x)的最小正周期為π，所以 =π，解得ω=1，
所以f(x)= sin(2x+ )+1.(4分)
則f( )= sin( + )+1= (sin cos +cos sin )+1= .(6分)
(Ⅱ)由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，
所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ﹣ ，kπ+ ] .(12分)
(20)解：(Ⅰ)∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PD.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.(2分)
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD.(3分)
而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD.(5分)
(Ⅱ)∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，
∴PD∥OE，
∵O是BD的中點，∴E是PB的中點.
取AD的中點H，連接BH .(7分)
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD.又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BH⊥平面PAD， .(9分)
∴ = = .(12分)
(21)解：(Ⅰ)由題知，圓C的標準方程為(x﹣3)2+(y+2)2=9.
①設直線 的斜率為k(k存在)，
則直線方程為y﹣0=k(x﹣2)，即kx﹣y﹣2k=0.
又圓C的圓心為(3，﹣2)，
由
所以直線方程為 ，即3x+4y﹣6=0;(4分)
?、诋斝甭蔾不存在時，直線 的方程為x=2，滿足題意.
綜上所述，直線 的方程為3x+4y﹣6=0或x=2.(6分)
(Ⅱ)由于|CP|= ，而弦心距 ，即 |CP|= ，
所以點P恰為線段AB的中點，
則所求圓的圓心為P(2，0)，半徑為 |AB|=2，
故以線段AB為直徑的圓的方程為(x﹣2)2+y2=4.(12分)
(22)解：(Ⅰ)由題意，得g(x)=x+2，
設利潤函數為f(x)，
則f(x)=R(x)﹣g(x)= ，
由f(x)>0，解得1
即1
故要使工廠有盈利，產量x應控制在100臺到820臺內.(4分)
(Ⅱ)當0≤x≤5時，f(x)=﹣0.4(x﹣4)2+3.6，
即當x=4時有最大值3.6;
當x>5時，f(x)<8.2﹣5=3.2.
故當工廠生產400臺產品時，可使盈利最多為3.6萬元.(8分)
(Ⅲ)當x=4時，
R(4)=9.6(萬元)， =2.4(萬元/百臺)，
故盈利最多時，每臺產品的售價為240元.(12分)
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