人教版九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷
為即將到來的九年級數(shù)學(xué)期末考試，教師們要準(zhǔn)備哪些期末試卷供學(xué)生們練習(xí)從而提升成績呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于人教版九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
人教版九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷：
一、選擇題(本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上).
1.一元二次方程x2﹣2x=0的根是( )
A.x1=0，x2=﹣2 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=﹣2 D.x1=0，x2=2
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.
【解答】解：x2﹣2x=0，
x(x﹣2)=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故選D.
【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，難度適中.
2.將拋物線y=2x2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，所得拋物線的表達(dá)式為( )
A.y=2(x+2)2+3 B.y=(2x﹣2)2+3 C.y=(2x+2)2﹣3 D.y=2(x﹣2)2+3
【考點】二次函數(shù)象與幾何變換.
【分析】先確定拋物線y=2x2的頂點坐標(biāo)為(0，0)，把點(0，0)向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到的點的坐標(biāo)為(2，3)，然后根據(jù)頂點式寫出平移后拋物線的解析式.
【解答】解：拋物線y=2x2的頂點坐標(biāo)為(0，0)，把點(0，0)向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到的點的坐標(biāo)為(2，3)，
所以平移后拋物線的解析式為y=2(x﹣2)2+3.
故選D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.
3.在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其它均相同的3個紅球和2個白球，從中任意摸出一個球，則摸出白球的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】概率公式.
【分析】由在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其它均相同的3個紅球和2個白球，直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：∵在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其它均相同的3個紅球和2個白球，
∴從中任意摸出一個球，則摸出白球的概率是： = .
故選B.
【點評】此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
4.在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，若S△ADE：S△ABC=4：9，則AD：BD=( )
A.2：1 B.1：2 C.2：3 D.4：9
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 =( )2= ，求得 = ，即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =( )2= ，
∴ = ，
∴AD：BD=2：1，
故選A.
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的象所示，下列說法正確的個數(shù)是( )
?、賏>0;②b>0;③c<0;④b2﹣4ac>0;⑤a+b+c=0.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】二次函數(shù)象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)拋物線開口方向?qū)Β龠M(jìn)行判斷;根據(jù)拋物線的對稱軸位置對②進(jìn)行判斷;根據(jù)拋物線與y軸的交點位置對③進(jìn)行判斷;根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)對④進(jìn)行判斷;當(dāng)x=1時，y>0，則a+b+c>0對⑤進(jìn)行判斷.
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a<0，所以①錯誤;
∵拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，
∴﹣ >0，
∴b>0，所以②正確;
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c>0，所以③錯誤;
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴△=b2﹣4ac>0，所以④正確;
∵x=1時，y>0，
∴a+b+c>0，所以⑤錯誤.
故選B.
【點評】本題考查了二次函數(shù)象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a>0時，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時，拋物線向下開口;一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右.(簡稱：左同右異);常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于(0，c).拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
6.半徑為2的⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE、CD相切于點A、C，則劣弧 長度為( )
A. π B. π C. π D. π
【考點】弧長的計算;正多邊形和圓.
【分析】連接OA、OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAE=90°，∠OCD=90°，根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，求出∠AOC的度數(shù)，利用弧長公式計算即可.
【解答】解：連接OA、OC，
∵AE、CD切⊙O于點A、C，
∴∠OAE=90°，∠OCD=90°，
正五邊形ABCDE的每個內(nèi)角的度數(shù)為 =108°，
∴∠AOC=540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°=144°，
∴ 長度= = ，
故選：C.
【點評】本題考查的是弧長的計算和正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，掌握弧長的計算公式：l= 是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(本大題共10小題，每題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)
7.樣本﹣1、0、1、2、3的極差是 4 .
【考點】極差.
【分析】根據(jù)極差的公式：極差=最大值﹣最小值計算.
【解答】解：極差=3﹣(﹣1)=4.
故答案為：4.
【點評】此題主要考查了極差的定義，注意極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.
8.果 = ≠0，那么 = .
【考點】比例的性質(zhì).
【分析】直接利用已知將比例式變形得出答案.
【解答】解：∵ = ≠0，
∴ = .
故答案為： .
【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將比例式變形是解題關(guān)鍵.
9.要制作一個高為8cm，底面圓直徑是12cm的圓錐形小漏斗，若不計接縫，不計損耗，則她所需紙板的面積是 60π cm2.
【考點】圓錐的計算.
【分析】易得圓錐的底面半徑是6，那么利用勾股定理可得圓錐的母線長為10，那么圓錐的側(cè)面積=π×底面半徑×母線長，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解.
【解答】解：圓錐的半徑為12÷2=6cm，高為8cm，
∴圓錐的母線長為10cm.
∴所需紙板的面積為π×6×10=60πcm2.
【點評】考查圓錐的側(cè)面展開公式;用到的知識點為：圓錐的底面半徑，母線長，高組成直角三角形，可利用勾股定理求解.
10.已知方程x2+mx+3=0的一個根是1，則它的另一個根是 3 .
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，兩個根的積是3，即可求解.
【解答】解：設(shè)方程的另一個解是a，則1×a=3，
解得：a=3.
故答案是：3.
【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解根與系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵.
11.是某拱形大橋的示意，橋拱與橋面的交點為O，B，以點O為原點，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可以近似看成拋物線y=﹣ (x﹣80)2+16，橋拱與橋墩AC的交點C恰好在水面，有AC⊥x軸.若OA=10米，則橋面離水面的高度AC為 米.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】先確定C點的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)特征求出C點的縱坐標(biāo)，從而可得到AC的長.
【解答】解：∵AC⊥x軸，OA=10米，
∴點C的橫坐標(biāo)為﹣10，
當(dāng)x=﹣10時，y=﹣ (x﹣80)2+16=﹣ (﹣10﹣80)2+16=﹣ ，
∴C(﹣10，﹣ )，
∴橋面離水面的高度AC為 m.
故答案為： .
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題.
12.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中，其函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 2 ﹣1 ﹣2 m 2 …
則m的值為 ﹣1 .
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】先把x=﹣1，y=2和x=0，y=﹣1代入二次函數(shù)解析式求出b、c，確定二次函數(shù)解析式，然后計算出自變量為2的函數(shù)值即可.
【解答】解：把x=﹣1，y=2和x=0，y=﹣1代入y=x2+bx+c ，解得 ，
所以二次函數(shù)為y=x2﹣2x﹣1，
當(dāng)x=2時，y=4﹣4﹣1=﹣1，
所以m=﹣1.
故答案為﹣1.
【點評】本題考查了二次函數(shù)象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)象上點的坐標(biāo)滿足其解析式.
13.直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C;直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn).AC與DF相交于點H，且AH=2，HB=1，BC=5，則 的值為 .
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】求出AB=3，由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果.
【解答】解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=AH+BH=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴ = ;
故答案為： .
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理;熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵.
14.若m是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一個根，則2015﹣m2+3m= 2016 .
【考點】一元二次方程的解.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2﹣3m+1=0，即m2﹣3m=﹣1，再變形得到2015﹣m2+3m=2015﹣(m2﹣3m)，然后利用整體代入的方法計算.
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一個根，
∴m2﹣3m+1=0，即m2﹣3m=﹣1，
∴2015﹣m2+3m=2015﹣(m2﹣3m)=2015﹣(﹣1)=2016.
故答案為2016.
【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.
15.在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P經(jīng)過點A(0， )、O(0，0)、B(1，0)，點C在第一象限的 上，則∠BCO的度數(shù)為 30° .
【考點】圓周角定理;垂徑定理;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】連接AB，根據(jù)A(0， )、B(1，0)可得出OA及OB的長，再由銳角三角函數(shù)的定義求出∠OAB的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.
【解答】解：連接AB，
∵A(0， )、B(1，0)，
∴OA= ，OB=1，
∴tan∠AOB= = = ，
∴∠OAB=30°，
∴∠BCO=∠OAB=30°.
故答案為：30°.
【點評】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解答此題的關(guān)鍵.
16.在直角形坐標(biāo)系中有兩點A(6，0)、B(0，8)，點C為AB的中點，點D在x軸上，當(dāng)點D的坐標(biāo)為 (3，0)或(﹣ ，0) 時，由點A、C、D組成的三角形與△AOB相似.
【考點】相似三角形的判定;坐標(biāo)與形性質(zhì).
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，進(jìn)而可得出AC的長，再根據(jù)△AOB∽△ADC與△AOB∽△ACD兩種情況進(jìn)行討論.
【解答】解：∵在直角形坐標(biāo)系中有兩點A(6，0)、B(0，8)，
∴OA=6，OB=8，
∴AB= =10.
∵點C為AB的中點，
∴AC=5.
當(dāng)△AOB∽△ADC時，
= ，即 = ，解得AD=3，
∴OD=OA﹣AD=6﹣3=3，
∴D(3，0);
當(dāng)△AOB∽△ACD時，
= ，即 = ，解得AD= ，
∵AD﹣OA= ﹣6= ，
∴D(﹣ ，0).
綜上所述，D點坐標(biāo)為(3，0)或(﹣ ，0).
【點評】本題考查的是相似三角形的判定定理，在解答此題時要進(jìn)行分類討論，不要漏解.
三、解答題(本大題共11題，計88分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.解方程：2x2+3x﹣1=0.
【考點】解一元二次方程-公式法.
【專題】計算題.
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解.
【解答】解：這里a=2，b=3，c=﹣1，
∵△=9+8=17，
∴x= .
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵.
18.某校學(xué)生會正籌備一個“迎新年”文藝匯演活動，現(xiàn)準(zhǔn)備從4名(其中兩男兩女)節(jié)目主持候選人中，隨機(jī)選取兩人擔(dān)任節(jié)目主持人，請列舉出所有等可能的不同的選取搭配方法，并求選出的兩名主持人“恰好為一男一女”的概率.
【考點】列表法與樹狀法.
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀，然后由樹狀求得所有等可能的結(jié)果與選出的兩名主持人“恰好為一男一女”的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：畫樹狀得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，其中“恰好為一男一女”的有8種;
∴選出的兩名主持人“恰好為一男一女”的概率為： = .
【點評】此題考查了列表法或樹狀法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
19.一次安全知識測驗中，學(xué)生得分均為整數(shù)，滿分10分，這次測驗中甲、乙兩組學(xué)生人數(shù)都為6人，成績下：
甲：7，9，10，8，5，9;
乙：9，6，8，10，7，8
(1)請補(bǔ)充完整下面的成績統(tǒng)計分析表：
平均分 方差 眾數(shù) 中位數(shù)
甲組 8
9 8.5
乙組 8
8 8
(2)甲組學(xué)生說他們的眾數(shù)高于乙組，所以他們的成績好于乙組，但乙組學(xué)生不同意甲組學(xué)生的說法，認(rèn)為他們組的成績要好于甲組，請你給出一條支持乙組學(xué)生觀點的理由. 兩隊平均分相同，但乙的方差小于甲的方差，所以乙的成績更穩(wěn)定 .
【考點】方差;加權(quán)平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù).
【分析】(1)利用平均數(shù)、方差的計算公式即可求得乙組平均數(shù)與甲組方差，然后根據(jù)中位數(shù)的定義，求出甲組中位數(shù)即可求出答案;
(2)根據(jù)已知條件以及(1)中表格所求數(shù)據(jù)，可知兩組平均分相同，但乙組的方差小于甲組的方差，所以乙的成績更穩(wěn)定，乙組的成績要好于甲組.
【解答】解：(1)乙組平均數(shù)為：(9+6+8+10+7+8)÷6=8;
甲組方差為： [(7﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2+(8﹣8)2+(5﹣8)2+(9﹣8)2]= ，
甲組成績按從小到大的順序排列為5，7，8，9，9，10，第三個與第四個數(shù)據(jù)分別是8，9，所以中位數(shù)是：(8+9)÷2=8.5.
填表下：
平均分 方差 眾數(shù) 中位數(shù)
甲組 8
9 8.5
乙組 8
8 8
(2)兩隊平均分相同，但乙的方差小于甲的方差，所以乙的成績更穩(wěn)定.
故答案為 ，8.5，8;兩隊平均分相同，但乙的方差小于甲的方差，所以乙的成績更穩(wěn)定.
【點評】本題考查方差的定義與意義：一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為 ，則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.也考查了平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù).
20.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有兩個實數(shù)根.
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若方程的兩個實數(shù)根為x1、x2，且x1•x2=2m2﹣1，求實數(shù)m的值.
【考點】根的判別式;根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】(1)若一元二次方程有兩實數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍;
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x1•x2=﹣m=2m2﹣1，據(jù)此即可求得m的值.
【解答】解：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有兩個實數(shù)根，
∴b2﹣4ac=4+4m≥0，
解得m≥﹣1;
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1•x2=﹣m，
∵x1•x2=2m2﹣1，
∴﹣m=2m2﹣1，
整理得：2m2+m﹣1=0，
解得：m= 或m=﹣1.
∵ ，﹣1都在(1)所求m的取值范圍內(nèi)，
∴所求m的值為 或﹣1.
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有下關(guān)系：
?、佼?dāng)△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根;
?、诋?dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根;
?、郛?dāng)△<0時，方程無實數(shù)根.
也考查了根與系數(shù)的關(guān)系.
21.在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，對角線BD⊥DC.
(1)求證：△ABD∽△DCB;
(2)果AD=4，BC=9，求BD的長.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【專題】幾何綜合題;壓軸題.
【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得∠ADB=∠DBC，已知∠BAD=∠BDC=90°，從而可得到△ABD∽△DCB.
(2)根據(jù)相似三角形的相似比即可求得BD的長.
【解答】解：(1)△ABD與△DCB相似，理由下：
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°.
∵∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BDC.
∴△ABD∽△DCB.
(2)∵△ABD∽△DCB，
∴ = .
∴BD2=AD•CB.
∵AD=4，BC=9，
∴BD=6.
【點評】此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定及性質(zhì)的理解及運(yùn)用能力.
22.以40m/s的速度將小球沿與地面成某一角度的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線.果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系h=20t﹣5t2.請解答以下問題：
(1)小球的飛行高度能否達(dá)到15m?果能，需要多少飛行時間?
(2)小球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?為什么?
(3)小球從飛出到落地要用多少時間?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)當(dāng)h=15米時，15=20t﹣5t2，解方程即可解答;
(2)當(dāng)h=20.5，得方程20.5=20t﹣5t2，解方程即可解答;
(3)當(dāng)h=0時，0=20t﹣5t2，解方程即可解答.
【解答】解：(1)令h=15，得方程15=20t﹣5t2，
解這個方程得：t1=1，t2=3，
當(dāng)小球的飛行1s和3s時，高度達(dá)到15 m;
(2)令h=20.5，得方程20.5=20t﹣5t2，
整理得：t2﹣4 t+4.1=0，
因為(﹣4)2﹣4×4.1<0，
所以方程無實數(shù)根，
所以小球的飛行高度不能達(dá)到20.5 m;
(3)小球飛出和落地時的高度都為0，令h=0，
得方程 0=20t﹣5t2，
解這個方程得：t1=0，t2=4，
所以小球從飛出到落地要用4s.
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)題意建立方程是解決問題的關(guān)鍵.
23.把長為40cm，寬30cm的長方形硬紙板，剪掉2個小正方形和2個小長方形(陰影部分即剪掉的部分)，將剩余的部分拆成一個有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm(紙板的厚度忽略不計)
(1)長方體盒子的長、寬、高分別為多少?(單位：cm)
(2)若折成的一個長方體盒于表面積是950cm2，求此時長方體盒子的體積.
【考點】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】幾何形問題.
【分析】(1)根據(jù)所給出的形可直接得出長方體盒子的長、寬、高;
(2)根據(jù)示，可得2(x2+20x)=30×40﹣950，求出x的值，再根據(jù)長方體的體積公式列出算式，即可求出答案.
【解答】解：(1)長方體盒子的長是：(30﹣2x)cm;
長方體盒子的寬是(40﹣2x)÷2=20﹣x(cm)
長方體盒子的高是xcm;
(2)根據(jù)示，可得2(x2+20x)=30×40﹣950，
解得x1=5，x2=﹣25(不合題意，舍去)，
長方體盒子的體積V=(30﹣2×5)×5×=20×5×15=1500(cm3).
答：此時長方體盒子的體積為1500cm3.
【點評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，用到的知識點是長方體的表面積和體積公式，關(guān)鍵是根據(jù)形找出等量關(guān)系列出方程，要注意把不合題意的解舍去.
24.在ABC中，∠A=∠B=30°，過點C作CD⊥AC，交AB于點D.
(1)作△ACD外接圓⊙O(尺規(guī)作，保留作痕跡，不寫作法);
(2)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
【考點】作—復(fù)雜作;切線的判定.
【專題】作題.
【分析】(1)先作線段AD的垂直平分線交AD于O點，然后以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓即可;
(2)連接CO，利用三角形外角性質(zhì)得到∠COB=2∠A=60°，則∠COB+∠B=90°，所以∠OCB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷BC與⊙O相切.
【解答】解：(1)⊙O為所作;
(2)BC與⊙O相切.
證明下：連接CO，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠COB=2∠A=60°，
∴∠COB+∠B=30°+60°=90°，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
又BC經(jīng)過半徑OC的外端點C，
∴BC與⊙O相切.
【點評】本題考查了作﹣復(fù)雜作：復(fù)雜作是在五種基本作的基礎(chǔ)上進(jìn)行作，一般是結(jié)合了幾何形的性質(zhì)和基本作方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何形的性質(zhì)，結(jié)合幾何形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作拆解成基本作，逐步操作.也考查了切線的判定定理.
25.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的象過點A(﹣1，0)和點C(0，3)，對稱軸為直線x=1.
(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式和頂點坐標(biāo);
(2)結(jié)合象，解答下列問題：
?、佼?dāng)﹣1
②當(dāng)y<3時，求x的取值范圍.
【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的性質(zhì).
【專題】計算題.
【分析】(1)把A點和C點坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c得到兩個方程，再加上對稱軸方程即可得到三元方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式，再把解析式配成頂點式即可得到頂點坐標(biāo);
(2)①先分別計算出x為﹣1和2時的函數(shù)值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出對應(yīng)的函數(shù)值的范圍;
?、谙扔嬎愠龊瘮?shù)值為3所對應(yīng)的自變量的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出y<3時，x的取值范圍.
【解答】解：(1)根據(jù)題意得 ，解得 ，
所以二次函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+2x+3，
因為y=﹣(x﹣1)2+4，
所以拋物線的頂點坐標(biāo)為(1，4);
(2)①當(dāng)x=﹣1時，y=0;x=2時，y=3;
而拋物線的頂點坐標(biāo)為(1，4)，且開口向下，
所以當(dāng)﹣1
?、诋?dāng)y=3時，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或2，
所以當(dāng)y<3時，x<0或x>2.
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解;當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).
26.已知：在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延長線于點P.
(1)求證：∠BCP=∠BAN
(2)求證： = .
【考點】切線的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)由AC為⊙O直徑，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根據(jù)PC是⊙O的切線，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到結(jié)論.
(2)由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠PBC=∠AMN，證出△BPC∽△MNA，即可得到結(jié)論.
【解答】(1)證明：∵AC為⊙O直徑，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠ACN=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+∠PCB=90°，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠BCP=∠BAN;
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，
∴∠PBC=∠AMN，
由(1)知∠BCP=∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴ .
【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握定理.
27.某批發(fā)商以40元/千克的價格購入了某種水果500千克.據(jù)市場預(yù)測，該種水果的售價y(元/千克)與保存時間x(天)的函數(shù)關(guān)系為y=60+2x，但保存這批水果平均每天將損耗10千克，且最多能保存8天.另外，批發(fā)商保存該批水果每天還需40元的費用.
(1)若批發(fā)商保存1天后將該批水果一次性賣出，則賣出時水果的售價為 62 (元/千克)，獲得的總利潤為 10340 (元);
(2)設(shè)批發(fā)商將這批水果保存x天后一次性賣出，試求批發(fā)商所獲得的總利潤w(元)與保存時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)求批發(fā)商經(jīng)營這批水果所能獲得的最大利潤.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)將x=1代入水果的售價y(元/千克)與保存時間x(天)的函數(shù)關(guān)系為y=60+2x即可求得該種水果的售價，然后乘以水果質(zhì)量求得利潤即可;
(2)根據(jù)利潤=售價×銷售量﹣成本列出函數(shù)關(guān)系式即可;
(2)利用配方法即可求出利潤最大值.
【解答】解：(1)當(dāng)x=1時，y=60+2x=62(元)，
利潤為：62×(500﹣10)﹣500×40﹣40=10340(元);
(2)由題意得：w=(60+2x)(500﹣10x)﹣40x﹣500×40
=﹣20x2+360x+10000;
(3)w=﹣20x2+360x+10000=﹣20(x﹣9)2+11620
∵0≤x≤8，x為整數(shù)，當(dāng)x≤9時，w隨x的增大而增大，
∴x=8時，w取最大值，w最大=11600.
答：批發(fā)商所獲利潤w的最大值為11600元.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，將實際問題用函數(shù)表示出來，注意掌握配方法求二次函數(shù)最值得應(yīng)用.
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