九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題
九年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要不斷的在練習(xí)中積累，下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題，希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試題：
一、選擇題(本大題共8小題，每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題3分，共24分)
1.已知∠A為銳角且tanA= ，則∠A=( )
A.30° B.45° C.60° D.不能確定
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解.
【解答】解：∵∠A為銳角，tanA= ，
∴∠A=60°.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值.
2.一元二次方程x2=﹣2x的根是( )
A.x=2 B.x=﹣2 C.x1=0，x2=2 D.x1=0，x2=﹣2
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【專題】計(jì)算題.
【分析】先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程.
【解答】解：x2+2x=0，
x(x+2)=0，
x=0或x+2=0，
所以x1=0，x2=﹣2.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).
3.下列各點(diǎn)中，在函數(shù)y= 的圖象上的點(diǎn)是( )
A.(1，0.5) B.(2，﹣1) C.(﹣1，﹣2) D.(﹣2，1)
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】需把所給點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相乘，結(jié)果是2的，就在此函數(shù)圖象上.
【解答】解：∵反比例函數(shù)y= 中，k=2，
∴只需把各點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相乘，結(jié)果為2的點(diǎn)在函數(shù)圖象上，
四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)符合.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù).
4.為估計(jì)某地區(qū)黃羊的只數(shù)，先捕捉20只黃羊給它們分別作上標(biāo)志，然后放回，待有標(biāo)志的黃羊完全混合于黃羊群后，第二次捕捉60只黃羊，發(fā)現(xiàn)其中2只有標(biāo)志.由這些信息，我們可以估計(jì)該地區(qū)有黃羊( )
A.400只 B.600只 C.800只 D.1000只
【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】捕捉60只黃羊，發(fā)現(xiàn)其中2只有標(biāo)志.說(shuō)明有標(biāo)記的占到 ，而有標(biāo)記的共有20只，根據(jù)所占比例解得.
【解答】解：20 =600(只).
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】統(tǒng)計(jì)的思想就是用樣本的信息來(lái)估計(jì)總體的信息，本題體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)思想，考查了用樣本估計(jì)總體.
5.△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠A=35°，則∠BCD的度數(shù)是( )
A.55° B.65° C.70° D.75°
【考點(diǎn)】圓周角定理.
【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠DBC、∠D的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.
【解答】解：連接BD，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DBC=90°，
∵∠A=35°，
∴∠D=∠A=35°，
則∠BCD=90°﹣∠A=55°.
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵.
6.兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊分別是15cm和23cm，它們的周長(zhǎng)相差40cm，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是( )
A.75cm，115cm B.60cm，100cm C.85cm，125cm D.45cm，85cm
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意兩個(gè)三角形的相似比是15：23，可得周長(zhǎng)比為15：23，計(jì)算出周長(zhǎng)相差8份及每份的長(zhǎng)，可得兩三角形周長(zhǎng).
【解答】解：根據(jù)題意兩個(gè)三角形的相似比是15：23，周長(zhǎng)比就是15：23，
大小周長(zhǎng)相差8份，所以每份的周長(zhǎng)是40÷8=5cm，
所以兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為5×15=75cm，5×23=115cm.故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解：
(1)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;
(2)相似三角形面積的比等于相似比的平方;
(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
7.用配方法將函數(shù)y= x2﹣2x+1寫成y=a(x﹣h)2+k的形式是( )
A.y= (x﹣2)2﹣1 B.y= (x﹣1)2﹣1 C.y= (x﹣2)2﹣3 D.y= (x﹣1)2﹣3
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的三種形式.
【專題】配方法.
【分析】利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，在加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來(lái)湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式.
【解答】解：y= x2﹣2x+1= (x2﹣4x+4)﹣2+1= (x﹣2)2﹣1
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)的解析式有三種形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù));
(2)頂點(diǎn)式：y=a(x﹣h)2+k;
(3)交點(diǎn)式(與x軸)：y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
8.根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值：
x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
x2+5x﹣3 ﹣3.00 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3.00
可得方程x2+5x﹣3=0一個(gè)解x的范圍是( )
A.0
【考點(diǎn)】估算一元二次方程的近似解.
【分析】由于x=0.50時(shí)，x2+5x﹣3=﹣0.25;x=0.75時(shí)，x2+5x﹣3=1.31，則在0.50和0.75之間有一個(gè)值能使x2+5x﹣3的值為0，于是可判斷方程x2+5x﹣3=0一個(gè)解x的范圍為0.50
【解答】解：∵x=0.50時(shí)，x2+5x﹣3=﹣0.25;x=0.75時(shí)，x2+5x﹣3=1.31，
∴方程x2+5x﹣3=0一個(gè)解x的范圍為0.50
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計(jì)算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時(shí)，說(shuō)明未知數(shù)的值愈接近方程的根.
二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
9.△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則△ADE與△ABC的面積比為 1：4 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);三角形中位線定理.
【分析】根據(jù)三角形的中位線得出DE= BC，DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可.
【解答】解：∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE= BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =( )2= ，
故答案為：1：4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方.
10.某家用電器經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每臺(tái)零售價(jià)由1000元下降到810元.若兩次降價(jià)的百分率相同，則這個(gè)百分率為 10% .
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】增長(zhǎng)率問(wèn)題.
【分析】設(shè)家用電器平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格=降價(jià)前的價(jià)格(1﹣降價(jià)的百分率)，則第一次降價(jià)后的價(jià)格是1000(1﹣x)，第二次后的價(jià)格是1000(1﹣x)2，據(jù)此即可列方程求解.
【解答】解：設(shè)這個(gè)百分率為x，根據(jù)題意得：
1000×(1﹣x)2=810，
解得：x1=0.1=10%或x2=﹣1.9(舍去)，
則這個(gè)百分率為10%.
故答案為：10%.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找出等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.
11.某水果店一次購(gòu)進(jìn)蘋果200箱，已經(jīng)賣出6箱，質(zhì)量分別是(單位：kg)15.5，16，14.5，13.5，15，15.5.你估計(jì)該商店這次進(jìn)貨 3000 kg.
【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體.
【分析】首先求出6箱蘋果的平均質(zhì)量，然后利用樣本估計(jì)總體的思想就可以求出200箱蘋果的總質(zhì)量.
【解答】解：抽取6箱蘋果的平均質(zhì)量為 =15千克，
所以估計(jì)200箱蘋果的總質(zhì)量為200×15=3000千克.
故答案為3000.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了用樣本估計(jì)總體，首先利用平均數(shù)的計(jì)算公式求出抽取蘋果質(zhì)量的平均數(shù)，然后利用樣本估計(jì)總體的思想求出所有蘋果的質(zhì)量.
12.已知拋物線y=x2﹣4x+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則c= 4 .
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】利用拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則b2﹣4ac=0進(jìn)而求出c的值即可.
【解答】解：∵函數(shù)y=x2﹣4x+c拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac=16﹣4c=0，
解得：c=4，
故答案為4.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確把握拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定方法是解題關(guān)鍵.
13.將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移1個(gè)單位，在向上平移2個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是 y=(x﹣1)2+2 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】拋物線平移不改變a的值.
【解答】解：原拋物線的頂點(diǎn)為(0，0)，向右平移1個(gè)單位，在向上平移2個(gè)單位后，那么新拋物線的頂點(diǎn)為(1，2).可設(shè)新拋物線的解析式為：y=(x﹣h)2+k，代入得：y=(x﹣1)2+2.故所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是：y=(x﹣1)2+2.
【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
14.已知梯形護(hù)坡壩AB的坡度為i=1：4，坡高BC=2m，則斜坡AB的長(zhǎng)為 2 m.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.
【專題】推理填空題.
【分析】根據(jù)梯形護(hù)坡壩AB的坡度為i=1：4，坡高BC=2m，可以得到AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理可以得到AB的長(zhǎng)，從而可以解答本題.
【解答】解：∵梯形護(hù)坡壩AB的坡度為i=1：4，坡高BC=2m，
∴ ，
∴AC=8m，
根據(jù)勾股定理，得
AB= m.
故答案為：2 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確什么是坡度，根據(jù)坡度可以計(jì)算所求邊的長(zhǎng).
15.一個(gè)圓錐的母線是15cm，側(cè)面積是75πcm2，這個(gè)圓錐底面半徑是 5 cm.
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【專題】計(jì)算題.
【分析】設(shè)這個(gè)圓錐底面半徑為rcm，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形面積公式得到 •2π•r•15=75π，然后解方程求出r即可.
【解答】解：設(shè)這個(gè)圓錐底面半徑為rcm，
根據(jù)題意得 •2π•r•15=75π，解得r=5，
即這個(gè)圓錐底面半徑是5cm.
故答案為5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).
16.在函數(shù)y= (k為常數(shù))的圖象上有三個(gè)點(diǎn)(﹣2，y1)，(﹣1，y2)，( ，y3)，函數(shù)值y1，y2，y3的大小為 y3
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】先判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)其坐標(biāo)特點(diǎn)解答即可.
【解答】解：∵﹣k2﹣2<0，∴函數(shù)應(yīng)在二四象限，若x1<0，x2>0，說(shuō)明橫坐標(biāo)為﹣2，﹣1的點(diǎn)在第二象限，橫坐標(biāo)為 的在第四象限，∵第二象限的y值總比第四象限的點(diǎn)的y值大，∴那么y3最小，在第二象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∴y1
即y3
【點(diǎn)評(píng)】在反比函數(shù)中，已知各點(diǎn)的橫坐標(biāo)，比較縱坐標(biāo)的大小，首先應(yīng)區(qū)分各點(diǎn)是否在同一象限內(nèi).在同一象限內(nèi)，按同一象限內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)來(lái)比較，不在同一象限內(nèi)，按坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)來(lái)比較.
三、解答題(本題共9小題，共72分，解答題要求寫出證明步驟或解答過(guò)程)
17.解方程：(x+2)2﹣10(x+2)=0.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.
【專題】計(jì)算題;一次方程(組)及應(yīng)用.
【分析】方程變形后，利用因式分解法求出解即可.
【解答】解：方程分解得：(x+2﹣10)(x+2)=0，
可得x﹣8=0或x+2=0，
解得：x1=﹣2，x2=8.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
18.已知：∠1=∠2，AB•AC=AD•AE.
求證：∠C=∠E.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】先根據(jù)AB•AC=AD•AE可得出 = ，再由∠1=∠2可得出△ABE∽△ADC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得出結(jié)論.
【解答】證明：在△ABE和△ADC中，
∵AB•AC=AD•AE，
∴ =
又∵∠1=∠2，
∴△ABE∽△ADC
∴∠C=∠E.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.
19.某校準(zhǔn)備選出甲、乙兩人中的一人參加縣里的射擊比賽，他們?cè)谙嗤瑮l件下各射靶5次，成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：
命中環(huán)數(shù)/環(huán) 7 8 9 10
甲命中的頻數(shù)/次 1 1 0 3
乙命中的頻數(shù)/次 0 1 3 1
(1)求甲、乙兩人射擊成績(jī)的方差分別是多少?
(2)已知該校選手前三年都取得了縣射擊比賽的第一名，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)選擇誰(shuí)去參加比賽?
【考點(diǎn)】方差.
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)先計(jì)算出甲乙兩人的平均成績(jī)，然后根據(jù)方差公式計(jì)算他們的方差;
(2)根據(jù)方差的意義判斷選擇誰(shuí)去參加比賽.
【解答】解：(1)甲的平均數(shù)為 =9(環(huán))，乙的平均數(shù)為 =9(環(huán))，
所以甲的方差= [(7﹣9)2+(8﹣9)2+3(10﹣9)2]=1.6，
乙的方差= [(8﹣9)2+3(9﹣9)2+(10﹣9)2]=0.4;
(2)因?yàn)榧椎姆讲畋纫业姆讲畲螅?/p>
所以乙的成績(jī)比較穩(wěn)定，應(yīng)選擇乙去參加比賽.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差，計(jì)算公式是：s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2];方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量.方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小;反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.
20.⊙O是△ABC的外接圓，∠A=45°，BD是直徑，且BD=2，連接CD，求BC的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】圓周角定理;勾股定理;等腰直角三角形;銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】先根據(jù)圓周角定理可求出∠D=45°，∠BCD=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知△BCD是等腰直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義即可求出BC的長(zhǎng).
【解答】解：在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD•sin45°，
∵BD=2，
∴ .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是圓周角定理、等腰直角三角形的判定及銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是求出△BCD是等腰直角三角形.
21.已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB分別與x，y軸交于點(diǎn)B、A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C、D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，tan∠ABO= ，OB=8，OE=4.求該反比例函數(shù)的解析式.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【分析】根據(jù)已知條件求出c點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出反比例的函數(shù)解析式.
【解答】解：∵OB=8，OE=4，
∴BE=4+8=12.
∵CE⊥x軸于點(diǎn)E.tan∠ABO= = .
∴CE=6.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(﹣4，6).
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ，(m≠0)
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得6= .
∴m=﹣24.
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.
22.某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測(cè)量祁陽(yáng)縣文昌古塔BD的高度，他們先在A處測(cè)得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為45°，再沿著B(niǎo)A的方向后退12米至C處，測(cè)得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為30°.求該古塔BD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.
【分析】先根據(jù)題意得出∠BAD、∠BCD的度數(shù)及AC的長(zhǎng)，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出BD的長(zhǎng).
【解答】解：根據(jù)題意可知：
∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=12m.
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=∠BDA=45°，
∴AB=BD.
在Rt△BDC中，
∵tan∠BCD= ，
∴ = ，
則BC= BD，
又∵BC﹣AB=AC，
∴ BD﹣BD=12，
解得：BD=6 +6.
答：古塔BD的高度為(6 +6)米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.
23.已知AB為⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，線段OP與弦AC垂直并相交于點(diǎn)D，OP與⊙O相交于點(diǎn)E，連接BC.
(1)求證：△PAD∽△ABC;
(2)若PA=10，AD=6，求AB和PE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)由PA為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到AP垂直于AB，可得出∠PAO為直角，得到∠PAD與∠DAO互余，再由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得出∠ACB為直角，得到∠DAO與∠B互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠PAC=∠B，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形APD與三角形ABC相似;
(2)在直角三角形APD中，利用勾股定理求出PD的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AC的長(zhǎng)，由第一問(wèn)兩三角形相似得到的比例式，將各自的值代入求出AB的上，求出半徑AO的長(zhǎng)，在直角三角形APO中，由AP及AO的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OP的長(zhǎng)，用OP﹣OE即可求出PE的長(zhǎng).
【解答】(1)證明：∵PA是⊙O的切線，AB是直徑，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD∽△ABC;
(2)解：∵∠PAO=90°，PA=10，AD=6，
∴PD= =8，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC=6，
∴AC=12，
∵△PAD∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴AB=15，
∴OE= AB= ，
∵OP= = ，
∴PE=OP﹣OE= ﹣ =5.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.
24.如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.
(1)當(dāng)x為何值時(shí)，BP=CQ;
(2)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能否與以C、Q、B為頂點(diǎn)的三角形相似?若能，求出x的值;若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】相似形綜合題.
【專題】綜合題;圖形的相似.
【分析】(1)根據(jù)題意表示出BP與CQ，由BP=CQ列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值;
(2)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能與以C、Q、B為頂點(diǎn)的三角形相似，分兩種情況考慮：①當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí);②當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，由相似得比例求出x的值即可.
【解答】解：(1)依題意可得：BP=20﹣4x，CQ=3x，
當(dāng)BP=CQ時(shí)，20﹣4x=3x，
∴x= (秒)，
答：當(dāng)x= 秒時(shí)，BP=CQ;
(2)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能否與以C、Q、B為頂點(diǎn)的三角形相似，
?、佼?dāng)△APQ∽△CQB時(shí)，有 = ，即 = ，
解得：x= (秒);
②當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，有 = ，即 = ，
解得：x=5(秒)或x=﹣10(秒)(舍去)，
答：當(dāng)x= 或x=5秒時(shí)，△APQ與△CQB相似.
【點(diǎn)評(píng)】此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的性質(zhì)，一元一次方程的解法，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
25.拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接BC、BD.
(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)是 (1，4) ;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)若點(diǎn)P在x軸上且位于點(diǎn)B右側(cè)，且點(diǎn)P是線段AQ的中點(diǎn)，連接QD，且∠BDQ=45°，求點(diǎn)P坐標(biāo)(請(qǐng)利用備用圖解決問(wèn)題).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得PA=PB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得P在線段BC上，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BC的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案;
(3)根據(jù)勾股定理，可得BD的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得QN與BN的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得DN與QN的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得BQ的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得AQ的長(zhǎng)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AP的長(zhǎng)，根據(jù)線段的差，可得OP的長(zhǎng)，可得P點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解：(1)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4);
(2)如圖1 ，
連結(jié)BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，此時(shí)M為所求點(diǎn)，使得MA+MC達(dá)到最小值.
當(dāng)x=0時(shí)，y=3.
∴C(0，3).
當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴B(3，0).
設(shè)BC所在直線的解析式為：y=kx+3，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
3k+3=0，
∴k=﹣1，
∴BC所在直線的解析式為：y=﹣x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2;
∴M(1，2);
(3)如圖2 ，
連接QD，作QN⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于N，
設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)H.
∵點(diǎn)D坐標(biāo)是(1，4)
∴點(diǎn)H坐標(biāo)是(1，0)
∴DH=4，BH=2，
∴在Rt△BDH中，BD= =2
又∵∠QNB=∠DHB，∠QBN=∠DBH，
∴△QBN∽△DBH，
∴ = ，
∴ = = =2，
∴QN=2BN.
又∵∠BDQ=45°，
∴在Rt△DNQ中，∠DQN=45°，
∴DN=QN=2BN，
∴BN=BD=2 ，
∴QN=4 .
∴在Rt△QBN中，BQ= =10.
∵AB=4，
∴AQ=AB+BQ=14.
∴AP= AQ=7
OP=AP﹣AO=7﹣1=6，
∴P(6，0).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用配方法得出頂點(diǎn)坐標(biāo);利用線段垂直平分線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)得出P點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵;利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BQ與BQ的關(guān)系是解題關(guān)鍵，又利用了等腰直角三角形的性質(zhì)得出QN的長(zhǎng)，利用勾股定理得出BQ的長(zhǎng).
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