2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷答案(2)
2017九年級(jí)數(shù)學(xué)上期末試卷參考答案
一、選擇題(本題共12小題，每小題3分，共36分)
1.下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解.
【解答】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確;
C、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形的概念.注意中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.
2.不透明的袋子中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的6個(gè)球，其中4個(gè)黑球、2個(gè)白球，從袋子中一次摸出3個(gè)球，下列事件是不可能事件的是( )
A.摸出的是3個(gè)白球 B.摸出的是3個(gè)黑球
C.摸出的是2個(gè)白球、1個(gè)黑球 D.摸出的是2個(gè)黑球、1個(gè)白球
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.
【分析】根據(jù)白色的只有兩個(gè)，不可能摸出三個(gè)進(jìn)行解答.
【解答】解：A.摸出的是3個(gè)白球是不可能事件;
B.摸出的是3個(gè)黑球是隨機(jī)事件;
C.摸出的是2個(gè)白球、1個(gè)黑球是隨機(jī)事件;
D.摸出的是2個(gè)黑球、1個(gè)白球是隨機(jī)事件，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
3.反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上有P1(x1，﹣2)，P2(x2，﹣3)兩點(diǎn)，則x1與x2的大小關(guān)系是( )
A.x1>x2 B.x1=x2 C.x1
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】直接利用反比例函數(shù)的增減性進(jìn)而分析得出答案.
【解答】解：∵反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上有P1(x1，﹣2)，P2(x2，﹣3)兩點(diǎn)，
∴每個(gè)分支上y隨x的增大而增大，
∵﹣2>﹣3，
∴x1>x2，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確掌握反比例函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵.
4.半徑為6，圓心角為120°的扇形的面積是( )
A.3π B.6π C.9π D.12π
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算.
【分析】根據(jù)扇形的面積公式S= 計(jì)算即可.
【解答】解：S= =12π，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，掌握扇形的面積公式S= 是解題的關(guān)鍵.
5.如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可.
【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)正確;
D、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.
6.如圖，將△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)20°，B點(diǎn)落在B′位置，A點(diǎn)落在A′位置，若AC⊥A′B′，則∠BAC的度數(shù)是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BCB′=∠ACA′=20°，又因?yàn)锳C⊥A′B′，則∠BAC的度數(shù)可求.
【解答】解：∵△ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)20°，B點(diǎn)落在B′位置，A點(diǎn)落在A′位置
∴∠BCB′=∠ACA′=20°
∵AC⊥A′B′，
∴∠BAC=∠A′=90°﹣20°=70°.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等.要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點(diǎn)﹣旋轉(zhuǎn)中心;②旋轉(zhuǎn)方向;③旋轉(zhuǎn)角度.
7.拋物線y=2x2﹣2 x+1與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解答】解：根據(jù)題意得△=(2 )2﹣4×2×1=0，
所以拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b2﹣4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).
8.邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓的半徑為( )
A. a B. a C. a D. a
【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.
【分析】根據(jù)等邊三角形的三線合一，可以構(gòu)造一個(gè)由其內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成的30°的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出內(nèi)切圓半徑即可.
【解答】解：∵內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成一個(gè)30°的直角三角形，
則∠OBD=30°，BD= ，
∴tan∠BOD= = ，
∴內(nèi)切圓半徑OD= × = a.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，注意：根據(jù)等邊三角形的三線合一，可以發(fā)現(xiàn)其內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊正好組成了一個(gè)30°的直角三角形.
9.如圖，過(guò)反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上一點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連接AO，若S△AOB=2，則k的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可得出關(guān)于k的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解方程求出k值，再結(jié)合反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)有圖象即可確定k值.
【解答】解：∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y= 圖象上一點(diǎn)，且AB⊥x軸于點(diǎn)B，
∴S△AOB= |k|=2，
解得：k=±4.
∵反比例函數(shù)在第一象限有圖象，
∴k=4.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是找出關(guān)于k的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義找出關(guān)于k的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程是關(guān)鍵.
10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(﹣3，6)、B(﹣9，﹣3)，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為 ，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是( )
A.(﹣1，2) B.(﹣9，18) C.(﹣9，18)或(9，﹣18) D.(﹣1，2)或(1，﹣2)
【考點(diǎn)】位似變換;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k解答.
【解答】解：∵點(diǎn)A(﹣3，6)，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為 ，把△ABO縮小，
∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(﹣1，2)或(1，﹣2)，
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k.
11.如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論：①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③BC平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點(diǎn)】圓周角定理;三角形中位線定理;垂徑定理.
【分析】由圓周角定理可判斷①，利用圓的性質(zhì)結(jié)合外角可判斷②，利用平行線的性質(zhì)可判斷③，由垂徑定理可判斷④，由中位線定理可判斷⑤，可求得答案.
【解答】解：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，故①正確;
∵∠ACE=∠DAB+∠EBA，∠AOC=2∠EBA，
∴∠AOC≠∠AEC，故②不正確;
∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠CBD，即BC平分∠ABD，故③正確;
∴OC⊥AD，
∴AF=FD，故④正確;
∴OF為△ABD的中位線，
∴BD=2OF，故⑤正確，
綜上可知正確的有4個(gè)，
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理及圓的有關(guān)性質(zhì)，掌握?qǐng)A中有關(guān)的線段、角的相等是解題的關(guān)鍵，特別注意垂徑定理的應(yīng)用.
12.已知拋物線y=x2+bx+c(其中b，c是常數(shù))經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，6)，且拋物線的對(duì)稱軸與線段BC有交點(diǎn)，其中點(diǎn)B(1，0)，點(diǎn)C(3，0)，則c的值不可能是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì);一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】根據(jù)拋物線y=x2+bx+c(其中b，c是常數(shù))過(guò)點(diǎn)A(2，6)，且拋物線的對(duì)稱軸與線段BC(1≤x≤3)有交點(diǎn)，可以得到c的取值范圍，從而可以解答本題.
【解答】解：
∵拋物線y=x2+bx+c(其中b，c是常數(shù))過(guò)點(diǎn)A(2，6)，且拋物線的對(duì)稱軸與線段y=0(1≤x≤3)有交點(diǎn)，
∴ ，
解得6≤c≤14，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式，明確題意，列出相應(yīng)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(本題共6小題，每小題3分，共18分)
13.二次函數(shù)y=2(x﹣3)2﹣4的最小值為 ﹣4 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值.
【分析】題中所給的解析式為頂點(diǎn)式，可直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出解答.
【解答】解：二次函數(shù)y=2(x﹣3)2﹣4的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，﹣4)，
所以最小值為﹣4.
故答案為：﹣4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，若題目給出是一般式則需進(jìn)行配方化為頂點(diǎn)式或者直接運(yùn)用頂點(diǎn)公式.
14.△ABC與△DEF的相似比為1：4，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為 1：4 .
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比解答.
【解答】解：∵△ABC與△DEF的相似比為1：4，
∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為1：4.
故答案為：1：4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.
15.若反比例函數(shù)y= 在第一，三象限，則k的取值范圍是 k>1 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)在第一，三象限得到k﹣1>0，求解即可.
【解答】解：根據(jù)題意，得k﹣1>0，
解得k>1.
故答案為：k>1.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象位于第一、三象限，當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象位于第二、四象限.
16.如圖，若以平行四邊形一邊AB為直徑的圓恰好與對(duì)邊CD相切于點(diǎn)D，則∠C= 45 度.
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】連接OD，只要證明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A=45°，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等即可解決問(wèn)題.
【解答】解;連接OD.
∵CD是⊙O切線，
∴OD⊥CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴AB⊥OD，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=45°，
∴∠C=∠A=45°.
故答案為45.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.
17.如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF= EH，那么EH的長(zhǎng)為 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì).
【分析】設(shè)EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的邊EH上的高，根據(jù)三角形AEH與三角形ABC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比求出x的值，即為EH的長(zhǎng).
【解答】解：如圖所示：
∵四邊形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴ ，
設(shè)EH=3x，則有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，
∴ ，
解得：x= ，
則EH= .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
18.如圖所示，△ABC與點(diǎn)O在10×10的網(wǎng)格中的位置如圖所示，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.
(1)畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的圖形;
(2)若⊙M能蓋住△ABC，則⊙M的半徑最小值為 .
【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換.
【分析】(1)延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D使OD=OA，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，同樣方法作出點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E、F，則△DEF與△ABC關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱;
(2)作AB和AC的垂值平分線，它們的交點(diǎn)為△ABC的外心，而△ABC的外接圓為能蓋住△ABC的最小圓，然后利用勾股定理計(jì)算出MA即可.
【解答】解：(1)如圖，△DEF為所作;
(2)如圖，點(diǎn)M為△ABC的外心，MA= = ，
故答案為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.
三、解答題(本題共7小題，共66分)
19.已知正比例函數(shù)y1=kx的圖象與反比例函數(shù)y2= (k為常數(shù)，k≠5且k≠0)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2.
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)求這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【分析】(1)把交點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，列出一元一次方程，解方程即可;
(2)根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可.
【解答】解：(1)∵正比例函數(shù)y1=kx的圖象與反比例函數(shù)y2= (k為常數(shù)，k≠5且k≠0)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，
∴y1=2k，y2= ，
∵y1=y2，
∴2k= ，
解得，k=1，
則正比例函數(shù)y1=x的圖象與反比例函數(shù)y2= ;
(2) ，
解得， ， ，
∴這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)和(﹣2，﹣2).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式、掌握正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)的求法是解題的關(guān)鍵.
20.在校園文化藝術(shù)節(jié)中，九年級(jí)一班有1名男生和2名女生獲得美術(shù)獎(jiǎng)，另有2名男生和2名女生獲得音樂(lè)獎(jiǎng).
(1)從獲得美術(shù)獎(jiǎng)和音樂(lè)獎(jiǎng)的7名學(xué)生中選取1名參加頒獎(jiǎng)大會(huì)，求剛好是男生的概率;
(2)分別從獲得美術(shù)獎(jiǎng)、音樂(lè)獎(jiǎng)的學(xué)生中各選取1名參加頒獎(jiǎng)大會(huì)，用列表或樹(shù)狀圖求剛好是一男生一女生的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法;概率公式.
【分析】(1)直接根據(jù)概率公式求解;
(2)畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出剛好是一男生一女生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解：(1)從獲得美術(shù)獎(jiǎng)和音樂(lè)獎(jiǎng)的7名學(xué)生中選取1名參加頒獎(jiǎng)大會(huì)，剛好是男生的概率= = ;
(2)畫(huà)樹(shù)狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中剛好是一男生一女生的結(jié)果數(shù)為6，
所以剛好是一男生一女生的概率= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法和樹(shù)狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率.
21.(10分)(2016秋•天津期末)如圖，矩形ABCD中，AB= ，BC= ，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且BE=1.8，連接AE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F.
(1)求CF的長(zhǎng);
(2)求 的值.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出BD，得到DE的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入計(jì)算即可求出DF的長(zhǎng)，求出CF的長(zhǎng)度;
(2)利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出答案.
【解答】解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，又AB= ，BC= ，
∴BD= =3，
∵BE=1.8，
∴DE=3﹣1.8=1.2，
∵AB∥CD，
∴ = ，即 = ，
解得，DF= ，
則CF=CD﹣DF= ﹣ = ;
(2)∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BEA，
∴ =( )2=( )2= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)定理和相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
22.(10分)(2016•南寧)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)若OB=10，CD=8，求BE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的判定.
【分析】(1)連接OD，由BD為角平分線得到一對(duì)角相等，根據(jù)OB=OD，等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證;
(2)過(guò)O作OG垂直于BE，可得出四邊形ODCG為矩形，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，由垂徑定理可得BE=2BG.
【解答】(1)證明：連接OD，
∵BD為∠ABC平分線，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
則AC為圓O的切線;
(2)解：過(guò)O作OG⊥BC，連接OE，
∴四邊形ODCG為矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，
∵OG⊥BE，OB=OE，
∴BE=2BG=12.
解得：BE=12.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵.
23.(10分)(2014•塘沽區(qū)二模)某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具.設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元(x>40)，銷售量為y件，銷售該品牌玩具獲得的利潤(rùn)為w元.
(Ⅰ)根據(jù)題意，填寫(xiě)下表：
銷售單價(jià)x(元) 40 55 70 … x
銷售量y(件) 600 450 300 … 1000﹣10x
銷售玩具獲得利潤(rùn)w(元) 6000 11250 12000 … (1000﹣10x)(x﹣30)
(Ⅱ)在(Ⅰ)問(wèn)條件下，若商場(chǎng)獲得了10000元銷售利潤(rùn)，求該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元?
(Ⅲ)在(Ⅰ)問(wèn)條件下，求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少?此時(shí)玩具的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用;一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】(Ⅰ)利用銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具，再結(jié)合每件玩具的利潤(rùn)乘以銷量=總利潤(rùn)進(jìn)而求出即可;
(Ⅱ)利用商場(chǎng)獲得了10000元銷售利潤(rùn)，進(jìn)而得出等式求出即可;
(Ⅲ)利用每件玩具的利潤(rùn)乘以銷量=總利潤(rùn)得出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最值即可.
【解答】解：(1)填表：
銷售單價(jià)x(元) 40 55 70 … x
銷售量y(件) 600 450 300 … 1000﹣10x
銷售玩具獲得利潤(rùn)w(元) 6000 11250 12000 … (1000﹣10x)(x﹣30)
(Ⅱ)[600﹣10(x﹣40)](x﹣30)=10000，
解得：x1=50，x2=80，
答：該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為50元或80元;
(Ⅲ)w=[600﹣10(x﹣40)](x﹣30)=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10(x﹣65)2+12250，
∵a=﹣10<0，
∴對(duì)稱軸為x=65，
∴當(dāng)x=65時(shí)，W最大值=12250(元)
答：商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是12250元，此時(shí)玩具的銷售單價(jià)應(yīng)定為65元.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，得出w與x的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.
24.(10分)(2016秋•天津期末)如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的長(zhǎng)方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形ABEF，現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)當(dāng)邊CD′恰好經(jīng)過(guò)EF的中點(diǎn)H時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的大小;
(2)如圖2，G為BC中點(diǎn)，且0°<α<90°，求證：GD′=E′D;
(3)小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，△DCD′與△BCD′能否全等?若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的大小;若不能，說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=CH=1，即可得出結(jié)論;
(2)由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，則∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，則GD′=E′D;
(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)?，?dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出α=135°，當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算得到α=315°.
【解答】(1)解：
∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，
∴CE=CH=1，
∴△CEH為等腰直角三角形，∴∠ECH=45°，∴∠α=30°;
(2)證明：∵G為BC中點(diǎn)，
∴CG=1，
∴CG=CE，
∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中 ，
∴△GCD′≌△E′CD(SAS)，
∴GD′=E′D;
(3)解：能.
理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，
∵CD′=CD′，
∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，
當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時(shí)，△BCD′≌△DCD′，
當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角α= =135°，
當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，∠BCD′=∠DCD′= ∠BCD=45°
則α=360°﹣ =315°，
即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時(shí)，△BCD′與△DCD′全等
【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了正方形、矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì).
25.(10分)(2016•昆明)如圖1，對(duì)稱軸為直線x= 的拋物線經(jīng)過(guò)B(2，0)、C(0，4)兩點(diǎn)，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值;
(3)如圖2，若M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)由對(duì)稱軸的對(duì)稱性得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡(jiǎn)后是一個(gè)關(guān)于S的二次函數(shù)，求最值即可;
(3)畫(huà)出符合條件的Q點(diǎn)，只有一種，①利用平行相似得對(duì)應(yīng)高的比和對(duì)應(yīng)邊的比相等列比例式;②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程;兩方程式組成方程組求解并取舍.
【解答】解：(1)由對(duì)稱性得：A(﹣1，0)，
設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x﹣2)，
把C(0，4)代入：4=﹣2a，
a=﹣2，
∴y=﹣2(x+1)(x﹣2)，
∴拋物線的解析式為：y=﹣2x2+2x+4;
(2)如圖1，設(shè)點(diǎn)P(m，﹣2m2+2m+4)，過(guò)P作PD⊥x軸，垂足為D，
∴S=S梯形+S△PDB= m(﹣2m2+2m+4+4)+ (﹣2m2+2m+4)(2﹣m)，
S=﹣2m2+4m+4=﹣2(m﹣1)2+6，
∵﹣2<0，
∴S有最大值，則S大=6;
(3)存在這樣的點(diǎn)Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形，
理由是：
分以下兩種情況：
?、佼?dāng)∠BQM=90°時(shí)，如圖2：
∵∠CMQ>90°，
∴只能CM=MQ.
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b(k≠0)，
把B(2，0)、C(0，4)代入得： ，
解得： ，
∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+4，
設(shè)M(m，﹣2m+4)，
則MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m，
在Rt△OBC中，BC= = =2 ，
∵M(jìn)Q∥OC，
∴△BMQ∽BCO，
∴ ，即 ，
∴BM= (2﹣m)=2 ﹣ m，
∴CM=BC﹣BM=2 ﹣(2 ﹣ m)= m，
∵CM=MQ，
∴﹣2m+4= m，m= =4 ﹣8.
∴Q(4 ﹣8，0).
②當(dāng)∠QMB=90°時(shí)，如圖3：
同理可設(shè)M(m，﹣2m+4)，
過(guò)A作AE⊥BC，垂足為E，
則AE的解析式為：y= x+ ，
則直線BC與直線AE的交點(diǎn)E(1.4，1.2)，
設(shè)Q(﹣x，0)(x>0)，
∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM，
∴ ①，
由勾股定理得：x2+42=2×[m2+(﹣2m+4﹣4)2]②，
由以上兩式得：m1=4(舍)，m2= ，
當(dāng)m= 時(shí)，x= ，
∴Q(﹣ ，0).
綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4 ﹣8，0)或(﹣ ，0).
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，綜合性較強(qiáng);考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并利用方程組求圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，將函數(shù)和方程有機(jī)地結(jié)合，進(jìn)一步把函數(shù)簡(jiǎn)單化;同時(shí)還考查了相似的性質(zhì)：在二次函數(shù)的問(wèn)題中，如果利用勾股定理不能求的邊可以考慮利用相似的性質(zhì)求解.
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