九年級上冊數(shù)學期末測試卷及答案(2)
九年級上冊數(shù)學期末測試卷及答案
九年級上冊數(shù)學期末測試卷參考答案
一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)
1.下列各式中，正確的是( )
A. =﹣3 B.(﹣ )2=9 C.± =±3 D. =﹣2
【考點】立方根;平方根;算術(shù)平方根.
【分析】根據(jù)開方運算，可得立方根，平方根.
【解答】解：A、 = ，故A錯誤;
B、(﹣ )2=3，故B錯誤;
C、 =±3，故C正確;
D、 =2，故D錯誤;
故選：C.
【點評】本題考查了立方根，開方運算是解題關(guān)鍵，注意算術(shù)平方根都是非負數(shù).
2.方程(x﹣1)(x+3)=12化為ax2+bx+c=0的形式后，a、b、c的值為( )
A.1、2、﹣15 B.1、﹣2、﹣15 C.﹣1、﹣2、﹣15 D.﹣1、2、﹣15
【考點】一元二次方程的一般形式.
【分析】要確定方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，首先要把方程化成一元二次方程的一般形式.
【解答】解：∵原方程化成成一元二次方程的一般形式為x2+2x﹣15=0，
∴a=1，b=2，c=﹣15.
故選A.
【點評】本題比較簡單，解答此類題目時要先將方程化為ax2+bx+c=0的形式，再確定a、b、c的值.
3.已知﹣1是關(guān)于x的方程x2+4x﹣m=0的一個根，則這個方程的另一個根是( )
A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.3
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】設x2+4x﹣m=0的另一個根為x1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣1+x1=﹣4，求出x1的值即可.
【解答】解：設方程x2+4x﹣m=0的另一個根為：x1，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：﹣1+x1=﹣4，
解得：x1=﹣3，
故選：A.
【點評】此題是一元二次方程根與系數(shù)之間關(guān)系的綜合應用，關(guān)鍵是能關(guān)鍵根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣1+x1=﹣4.
4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一點，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，則BC的長為( )
A.2 B. C.2 D.4
【考點】解直角三角形.
【專題】壓軸題.
【分析】由已知可求∠A=30°，AC=4，即求BC=AC•tanA=4× = .
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°
∴∠A=30°
∵CD=2，DE=1，
∴AD=2，AC=AD+DC=4，
由∠A=∠A，∠DEA=∠C=90°，得
△ABC∽△ADE，
∴ =
∴ =
∴BC= .
故選B.
【點評】此題主要考查綜合解直角三角形的能力，也可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解.
5.一元二次方程(m﹣2)x2﹣4mx+2m﹣6=0有兩個相等的實數(shù)根，則m等于( )
A.﹣6或1 B.1 C.﹣6 D.2
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】利用一元二次方程有相等的實數(shù)根，△=0，建立關(guān)于m的等式，再根據(jù)m﹣2≠0，求出m的值.
【解答】解：∵一元二次方程(m﹣2)x2﹣4mx+2m﹣6=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=16m2﹣4×(m﹣2)(2m﹣6)=0，且m﹣2≠0，
∴m2+5m﹣6=0，m≠2，
∴(m+6)(m﹣1)=0，
解得：m1=﹣6，m2=1.
故選A.
【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;
(3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.
同時考查了一元二次方程的定義.
6.已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的兩個根，則代數(shù)式x12+x22的值是( )
A.37 B.26 C.13 D.10
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=﹣ =5，x1•x2= =﹣6，然后化簡代數(shù)式x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2，再把前面的值代入即可求出.
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的兩個根，
∴x1+x2=﹣ =5，x1•x2= =﹣6，
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=25+12=37.
故選A
【點評】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=﹣ ，x1•x2= .
7.如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形與△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【考點】相似三角形的判定.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應成比例的兩三角形相似判斷即可.
【解答】解：根據(jù)題意得：AB= = ，AC= ，BC=2，
∴AC：BC：AB= ：2： =1： ： ，
A、三邊之比為1： ：2 ，圖中的三角形與△ABC不相似;
B、三邊之比為 ： ：3，圖中的三角形與△ABC不相似;
C、三邊之比為1： ： ，圖中的三角形與△ABC相似;
D、三邊之比為2： ： ，圖中的三角形與△ABC不相似.
故選C.
【點評】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.
8.如圖，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8.則cosB的值是( )
A.1.25 B.0.8 C.0.6 D.0.625
【考點】解直角三角形.
【專題】計算題.
【分析】作AD⊥BC于D，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD= BC=4，然后在Rt△ABD中利用余弦的定義求解.
【解答】解：作AD⊥BC于D，如圖，
∵AB=AC=5，
∴BD=CD= BC= ×8=4，
在Rt△ABD中，cosB= = .
故選B.
【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.解直角三角形要用到的關(guān)系：銳角直角的關(guān)系：∠A+∠B=90°;三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2;邊角之間的關(guān)系：銳角三角函數(shù)關(guān)系.也考查了等腰三角形的性質(zhì).
9.如圖，在△ABC中，點D在AB上，在下列四個條件中：①∠ACD=∠B;②∠ADC=∠ACB;③AC2=AD•AB;④AB•CD=AD•CB，能滿足△ADC與△ACB相似的條件是( )
A.①、②、③ B.①、③、④ C.②、③、④ D.①、②、④
【考點】相似三角形的判定.
【分析】由∠A是公共角，根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似與兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，判定△ABC與△ACD相似，即可得出結(jié)果.
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴當∠ACD=∠B時，△ADC∽△ACB(有兩組角對應相等的兩個三角形相似);
當∠ADC=∠ACB時，△ADC∽△ACB(有兩組角對應相等的兩個三角形相似);
當AC2=AD•AB時，即 ，△ADC∽△ACB(兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似).
當AB•CD=AD•CB，即 時，∠A不是夾角，則不能判定△ADC與△ACB相似;
∴能夠判定△ABC與△ACD相似的條件是：①②③.
故選A.
【點評】此題考查了相似三角形的判定.此題難度不大，熟記相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.
10.如圖1，某超市從一樓到二樓有一自動扶梯，圖2是側(cè)面示意圖.已知自動扶梯AB的坡度為1：2.4，AB的長度是13米，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，C是MN上處在自動扶梯頂端B點正上方的一點，BC⊥MN，在自動扶梯底端A處測得C點的仰角為42°，則二樓的層高BC約為(精確到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( )
A.10.8米 B.8.9米 C.8.0米 D.5.8米
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題;解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】延長CB交PQ于點D，根據(jù)坡度的定義即可求得BD的長，然后在直角△CDA中利用三角函數(shù)即可求得CD的長，則BC即可得到.
【解答】解：延長CB交PQ于點D.
∵MN∥PQ，BC⊥MN，
∴BC⊥PQ.
∵自動扶梯AB的坡度為1：2.4，
∴ = = .
設BD=5k(米)，AD=12k(米)，則AB=13k(米).
∵AB=13(米)，
∴k=1，
∴BD=5(米)，AD=12(米).
在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，
∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8(米)，
∴BC=10.8﹣5≈5.8(米).
故選：D.
【點評】本題考查仰角和坡度的定義，要求學生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形.
二、填空題(本題共6小題，每小題3分，共18分)
11.將方程x2+6x﹣3=0的左邊配成完全平方后所得方程為 (x+3)2 =12 .
【考點】解一元二次方程-配方法.
【專題】方程思想.
【分析】首先移項變形成x2+6x=3的形式，然后方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方即可變形成左邊是完全平方式，右邊是常數(shù)的形式.
【解答】解：∵x2+6x﹣3=0，
∴x2+6x=3，
∴x2+8x+9=9+3，
∴(x+3)2=12.
故答案為：(x+3)2 =12.
【點評】本題主要考查用配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：
(1)把常數(shù)項移到等號的右邊;
(2)把二次項的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).
12.若 = ，且ab≠0，則 的值是 ﹣3 .
【考點】比例的性質(zhì).
【分析】首先根據(jù) = ，可得a= b，再把a= b代入 進行計算.
【解答】解：∵ = ，
∴a= b，
∴ = = =﹣3，
故答案為：﹣3.
【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確用含b的代數(shù)式表示a.
13.如果關(guān)于x的一元二次方程k2x2﹣(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是 k 且k≠0 .
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k2≠0且△=(2k+1)2﹣4k2>0，然后求出兩個不等式解的公共部分即可.
【解答】解：根據(jù)題意得k2≠0且△=(2k+1)2﹣4k2>0，
解得k>﹣ 且k≠0.
故答案為k>﹣ 且k≠0.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0，方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.
14.如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC= .
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】由平行可得到 = ，代入可求得EC，再利用線段的和可求得AC.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得EC= ，
∴AC=AE+EC=2+ = ，
故答案為： .
【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應成比例是解題的關(guān)鍵.
15.如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且 = = ，則S△ADE：S四邊形BCED的值為 1：3 .
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】首先根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似，證得△ADE∽△ACB，再由相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求得答案.
【解答】解：∵在△ADE與△ACB中， = = ，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴S△ADE：S△ACB=(AE：AB)2=1：4，
∴S△ADE：S四邊形BCED=1：3.
故答案是：1：3.
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).注意相似三角形的面積的比等于相似比的平方.
16.直角△ABC中，斜邊AB=5，直角邊BC、AC之長是一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+4(m﹣1)=0的兩根，則m的值為 4 .
【考點】一元二次方程的應用.
【分析】先利用勾股定理表示出方程兩根之間的數(shù)量關(guān)系，即兩根的平方和是25，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把有關(guān)字母的系數(shù)代入其中得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值.
【解答】解：如圖.設BC=a，AC=b.
根據(jù)題意得a+b=2m﹣1，ab=4(m﹣1).
由勾股定理可知a2+b2=25，
∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=(2m﹣1)2﹣8(m﹣1)=4m2﹣12m+9=25，
∴4m2﹣12m﹣16=0，
即m2﹣3m﹣4=0，
解得m1=﹣1，m2=4.
∵a+b=2m﹣1>0，
即m> ，
∴m=4.
故答案為：4.
【點評】本題考查了勾股定理及一元二次方程的應用，要注意的是三角形的邊長都是正數(shù)，所以最后要把解得的根代入到實際問題的條件中檢驗，將不合題意的解舍去.
三、解答題(本題共6小題，共52分)
17.計算：
(1) ﹣3 ×( ﹣ )
(2) ﹣ •
(3)sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°.
【考點】二次根式的混合運算;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】計算題.
【分析】(1)先把各二次根式化為最簡二次根式，然后把括號內(nèi)合并后進行二次根式的乘法運算，再化簡后合并即可;
(2)根據(jù)進行二次根式的乘除法則運算;
(3)先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到原式=( )2+2× +1﹣ +( )2，然后進行乘方運算后合并即可.
【解答】解：(1)原式=3 ﹣3 ( ﹣ )
=3 ﹣2 •
=3 ﹣
= ;
(2)原式= +1﹣
=2+1﹣2
=1;
(3)原式=( )2+2× +1﹣ +( )2
= + +1﹣ +
=2.
【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.
18.先化簡，再求值： ﹣ ÷(x+1﹣ )，其中x滿足x(x+2)=2+x.
【考點】分式的化簡求值;解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把求出x的值代入進行計算即可.
【解答】解：原式= ﹣ ÷
= ﹣ •
= ﹣
= ，
∵x(x+2)=2+x，
∴x1=1，x2=﹣2，
當x=﹣2時原式無意義;
當x=1時，原式= = .
【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵.
19.《中國足球改革總體方案》提出足球要進校園，為了解某校學生對校園足球喜愛的情況，隨機對該校部分學生進行了調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果分為“很喜歡”、“較喜歡”、“一般”、“不喜歡”四個等級，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖;
(1)一共調(diào)查了 30 名學生，請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)在此次調(diào)查活動中，選擇“一般”的學生中只有兩人來自初三年級，現(xiàn)在要從選擇“一般”的同學中隨機抽取兩人來談談各自對校園足球的感想，請用畫樹狀圖或列表法求選中的兩人剛好都來自初三年級的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;扇形統(tǒng)計圖;條形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)由題意即可得：一共調(diào)查的學生有：3÷10%=30(名);繼而求得：調(diào)查結(jié)果為“一般”的人數(shù)：30﹣13﹣10﹣3=4(名).則可補全統(tǒng)計圖;
(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選中的兩人剛好都來自初三年級的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：(1)根據(jù)題意得：一共調(diào)查的學生有：3÷10%=30(名);
調(diào)查結(jié)果為“一般”的人數(shù)：30﹣13﹣10﹣3=4(名).
故答案為：30;
補全統(tǒng)計圖得：
(2)用A，B分別表示來自初三年級的學生，C，D表示其他兩個學生，
畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，選中的兩人剛好都來自初三年級的有2種情況，
∴選中的兩人剛好都來自初三年級的概率為： = .
【點評】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率以及條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的知識.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
20.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥BC，BD與AC相交于點E，AB=9，BC=4，DC=3.
(1)求BE的長度;
(2)求△ABE的面積.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理.
【專題】計算題.
【分析】(1)由CD⊥BC，得到∠DCB為直角，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BD的長，根據(jù)AB與CD平行，得到三角形ABE與三角形CDE相似，由相似得比例，求出BE的長即可;
(2)作EF垂直于AB，EH垂直于CD，由三角形ABE與三角形CDE相似，得比例，把BC的長代入求出EF的長，即可求出三角形ABE面積.
【解答】解：(1)∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，BC=4，DC=3，
根據(jù)勾股定理得：BD= =5，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴DC：AB=DE：BE=3：9=1：3，
又∵BD=5，
∴BE= BD= ;
(2)作EF⊥AB，EH⊥CD，
∵△ABE∽△CDE，
∴EF：EH=DC：AB=1：3，
又∵BC=4，
∴FE= BC=3，
則S△ABE=AB×EF× = .
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
21.如圖，在△ABC中，AD是△ABC的中線，tanB= ，cosC= ，AC=2 ，求sin∠ADC的值.
【考點】解直角三角形.
【分析】過點A作AH⊥BC，根據(jù)余弦定理和正切值分別求出AH、BH，再根據(jù)AD是△ABC的中線，求出DH，再根據(jù)勾股定理求出AD，從而求出sin∠ADC的值.
【解答】解：過點A作AH⊥BC交BC與點H，
∵cosC= ，AC=2 ，
∴AH=2，
∵tanB= ，
∴BH=4，
∵AD是△ABC的中線，
∴DH=1，
∴AD= = = ，
∴sin∠ADC= = = .
【點評】此題考查了解直角三角形，用到的知識點是銳角三角函數(shù)值、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形.
22.某工程隊修建一條總長為1860米的公路，在使用舊設備施工17天后，為盡快完成任務，工程隊引進了新設備，從而將工作效率提高了50%，結(jié)果比原計劃提前15天完成任務.
(1)工程隊在使用新設備后每天能修路多少米?
(2)在使用舊設備和新設備工作效率不變的情況下，工程隊計劃使用舊設備m天，使用新設備n(16≤n≤26)天修建一條總長為1500米的公路，使用舊設備一天需花費16000元，使用新設備一天需花費25000元，當m、n分別為何值時，修建這條公路的總費用最少，并求出最少費用.
【考點】一次函數(shù)的應用;分式方程的應用.
【分析】(1)設使用舊設備每天能修路x米，則使用新設備后每天能修路(1+50)x=1.5x(米)，根據(jù)題意，列出方程 ，即可解答;
(2)設修建這條公路的總費用為W元，則W=16000m+25000n，由30m+45n=1500，得到m= ，則W=16000× +25000n=800000+1000n，根據(jù)16≤n≤26，利用一次函數(shù)的增減性即可解答.
【解答】解：(1)設使用舊設備每天能修路x米，則使用新設備后每天能修路(1+50)x=1.5x(米)，
根據(jù)題意得： ，
解得：x=30，
當x=30時，1.5x≠0，
∴x=30是分式方程的解，
1.5x=45，
答;工程隊在使用新設備后每天能修路45米.
(2)設修建這條公路的總費用為W元，
則W=16000m+25000n，
∵30m+45n=1500，
∴m= ，
把m= 代入W=16000m+25000n得;
W=16000× +25000n=800000+1000n，
∵k=1000>0，
∴W隨n的增大而增大，
∵16≤n≤26，
∴當n=16時，W有最小值，最小值為;800000+16000=816000(元)，
m= =26，
答：當m=26，n=16時，修建這條公路的總費用最少，最少費用為816000元.
【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用，解決本題的關(guān)鍵是利用一次函數(shù)的增減性解決最值問題.
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