2017年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測(cè)試卷(2)
2017年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測(cè)試卷
2017年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測(cè)試卷參考答案
一、選擇題(本大題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.下列計(jì)算正確的是( )
A. =2 B. ﹣ = C. × = D.( )=﹣3
【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)A、C進(jìn)行判斷;根據(jù)二次根式的加減法對(duì)B進(jìn)行判斷;根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷.
【解答】解：A、原式=2 ，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、原式=2﹣ ，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、原式= = ，所以C選項(xiàng)正確;
D、原式=3，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.
2.下列說法正確的是( )
A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時(shí)間都在降雨
B.“拋一枚硬幣正面朝上的概率為 ”表示每拋2次就有一次正面朝上
C.“彩票中獎(jiǎng)的概率為1%”表示買100張彩票肯定會(huì)中獎(jiǎng)
D.“拋一枚正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)為2的概率為 ”表示隨著拋擲次數(shù)的增加，“拋出朝上的點(diǎn)數(shù)為2”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在 附近
【考點(diǎn)】概率的意義.
【分析】概率是反映事件發(fā)生機(jī)會(huì)的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會(huì)的大小，機(jī)會(huì)大也不一定發(fā)生.
【解答】解：A、“明天下雨的概率為80%”指的是明天下雨的可能性是80%，錯(cuò)誤;
B、這是一個(gè)隨機(jī)事件，拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先無法預(yù)料，錯(cuò)誤;
C、這是一個(gè)隨機(jī)事件，買這種彩票，中獎(jiǎng)或者不中獎(jiǎng)都有可能，但事先無法預(yù)料，錯(cuò)誤.
D、正確
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】正確理解概率的含義是解決本題的關(guān)鍵.
3.使 有意義的x的取值范圍是( )
A.x>2 B.x<﹣2 C.x≤2 D.x≥2
【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.
【分析】二次根式有意義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).
【解答】解：依題意，得
x﹣2≥0，
解得，x≥2.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件.概念：式子 (a≥0)叫二次根式.性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.
4.將一元二次方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到的結(jié)果是( )
A.(x+4)2=1 B.(x﹣4)2=3 C.(x+2)2=4 D.(x﹣2)2=5
【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.
【分析】移項(xiàng)，配方，變形后即可得出選項(xiàng).
【解答】解：x2﹣4x﹣1=0，
x2﹣4x=1，
x2﹣4x+4=1+4，
(x﹣2)2=5，
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確配方是解此題的關(guān)鍵.
5.在四張完全相同的卡片上分別印有等邊三角形、平行四邊形、等腰梯形、圓的圖案，現(xiàn)將印有圖案的一面朝下，混合后從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的卡片上印有的圖案是軸對(duì)稱圖形的概率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】概率公式;軸對(duì)稱圖形.
【分析】先求出是軸對(duì)稱圖形的圖形的個(gè)數(shù)，再除以圖形總數(shù)即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵等邊三角形、平行四邊形、等腰梯形、圓共有3個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，
∴抽到的卡片上的圖案是軸對(duì)稱圖形的概率是 ，
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了概率的計(jì)算方法，在解題時(shí)根據(jù)題意列出式子是本題的關(guān)鍵.
6.2011年初中畢業(yè)生診斷考試)某校2016屆九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送了2450張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為( )
A.x(x﹣1)=2450 B.x(x+1)=2450 C.2x(x+1)=2450 D.
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程.
【分析】根據(jù)題意得：每人要贈(zèng)送(x﹣1)張相片，有x個(gè)人，然后根據(jù)題意可列出方程：(x﹣1)x=2450.
【解答】解：根據(jù)題意得：每人要贈(zèng)送(x﹣1)張相片，有x個(gè)人，
∴全班共送：(x﹣1)x=2450，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，本題要注意讀清題意，弄清楚每人要贈(zèng)送x﹣1張相片，有x個(gè)人是解決問題的關(guān)鍵.
7.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，下列各式成立的是( )
A.b=a•sinB B.a=b•cosB C.a=b•tanB D.b=a•tanB
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷.
【解答】解：A、∵sinB= ，∴b=c•sinB，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、∵cosB= ，∴a=c•cosB，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、∵tanB= ，∴a= ，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、∵tanB= ，∴b=a•tanB，故選項(xiàng)正確.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊.
8.如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形與△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可.
【解答】解：根據(jù)題意得：AB= = ，AC= ，BC=2，
∴AC：BC：AB= ：2： =1： ： ，
A、三邊之比為1： ：2 ，圖中的三角形與△ABC不相似;
B、三邊之比為 ： ：3，圖中的三角形與△ABC不相似;
C、三邊之比為1： ： ，圖中的三角形與△ABC相似;
D、三邊之比為2： ： ，圖中的三角形與△ABC不相似.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.
9.如果y= + +2，那么2x+y=( )
A.4 B.5 C.6 D.無法確定
【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.
【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式求出x的值，代入已知式子求出y的值，計(jì)算即可.
【解答】解：由題意得，2x﹣3≥0，3﹣2x≥0，
解得，x= ，
則y=2，
∴2x+y=5，
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.
10.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為OD的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則DF：FC=( )
A.1：4 B.1：3 C.2：3 D.1：2
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】首先證明△DFE∽△BAE，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例，E為OD的中點(diǎn)，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值.
【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，
則△DFE∽△BAE，
∴ = ，
∵O為對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴DO=BO，
又∵E為OD的中點(diǎn)，
∴DE= DB，
則DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行證明△DFE∽△BAE，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求值.
11.若關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+2x+3=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是( )
A.2 B.1 C.0 D.﹣1
【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】由關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+2x+3=0有實(shí)數(shù)根，則a﹣1≠0，且△≥0，即△=22﹣4(a﹣1)×3=16﹣12a≥0，解不等式得到a的取值范圍，最后確定整數(shù)a的最大值.
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+2x+3=0有實(shí)數(shù)根，
∴a﹣1≠0，且△≥0，即△=22﹣4(a﹣1)×3=16﹣12a≥0，解得a≤ ，
∴a的取值范圍為a≤ 且a≠1，
所以整數(shù)a的最大值是0.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c為常數(shù))根的判別式△=b2﹣4ac.當(dāng)△>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0，方程沒有實(shí)數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義和不等式的特殊解.
12.如圖，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AD上，DF=CD，BF交CA于E點(diǎn)，過點(diǎn)A作DA的垂線交CF的延長線于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①CF2=EF•BF;②AG=2DC;③AE=EF;④AF•EC=EF•EB.其中正確的結(jié)論有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出∠DCF=∠DFC，然后求出DF=DB，根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出△BCF和△CEF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得到①正確;根據(jù)互余關(guān)系求出∠G=∠ACG，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)求出AG=AC，然后求出AG=BC，然后利用“角角邊”證明△BCE和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=BC，從而判斷②正確;根據(jù)角的互余關(guān)系可以求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°再根據(jù)∠ADC的正切值為2可知∠ADC≠60°，然后求出∠FDC≠∠DFC，然后求出∠EAF≠∠EFA，從而得到AE≠EF，判斷出③錯(cuò)誤;根據(jù)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出△CEF和△BCE相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出EC2=EF•EB，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CE，從而判斷出④正確.
【解答】解：∵DF=CD，
∴∠DCF=∠DFC，
∵AC=BC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴DF=DB=DC，
∴∠DBF=∠DFB，
又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，
∴∠BFC= ×180°=90°，
∴CF⊥BE，
∴Rt△BCF∽R(shí)t△CEF，
∴ = ，
∴CF2=EF•BF，故①正確;
∵AG⊥AD，
∴∠G+∠AFG=90°，
又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵AC=BC，
∴AG=BC，
又∵∠CBE=∠ACG，
∴∠CBE=∠G，
在△BCE和△AGF中，
∵ ，
∴△BCE≌△AGF(AAS)，
∴AG=BC，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BC=2DC，
∴AG=2DC，故②正確;
根據(jù)角的互余關(guān)系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，
∵tan∠ADC=2，
∴∠ADC≠60°，
∵∠DCF=∠DFC，
∴∠FDC≠∠DFC，
∴∠EAF≠∠EFA，
∴AE≠EF，故③錯(cuò)誤;
∵∠ACB=90°，CF⊥BE，
∴△CEF∽△BCE，
∴ = ，
∴EC2=EF•EB，
∵△BCE≌△AGF(已證)，
∴AF=EC，
∴AF•EC=EF•EB，故④正確;
所以，正確的結(jié)論有①②④.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)等角對(duì)等邊以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出AG=AC，然后證明△BCE和△AGF全等是證明的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，請(qǐng)將最后答案直接填在題中橫線上)
13.化簡 = .
【考點(diǎn)】分母有理化.
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案.
【解答】解： = = .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分母有理化，正確找出有理化因式是解題關(guān)鍵.
14.有5張撲克牌，牌面朝下，隨機(jī)抽出一張記下花色后放回，洗牌后再這樣抽，經(jīng)歷多次試驗(yàn)后，得到隨機(jī)抽出一張牌是紅桃的頻率是0.2，則紅桃大約有 1 張.
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率.
【專題】計(jì)算題;概率及其應(yīng)用.
【分析】根據(jù)概率的頻率定義可知，由于抽到紅桃的概率為0.2，根據(jù)概率公式即可求出紅桃的張數(shù).
【解答】解：由題意可得，紅桃大約有：5×0.2=1(張)
故答案為：1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解部分的具體數(shù)目=總體數(shù)目×相應(yīng)頻率，屬基礎(chǔ)題.
15.若x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，則(x1﹣1)(x2﹣1)= 3 .
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得出x1+x2，x1x2，再整體代入即可得出答案.
【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1，
∴(x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1=﹣1+3+1=3，
故答案為3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.
16.如圖，放置的△OA1B1、△B1A2B2、△B2A3B3，…，都是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)O，B1，B2，B3，…都在直線l上，則點(diǎn)A2015的坐標(biāo)為 (1008，1007 ) .
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;等邊三角形的性質(zhì).
【專題】規(guī)律型.
【分析】根據(jù)題意得出直線B2B1的解析式為：y= x，進(jìn)而得出B1，B2，B3坐標(biāo)，進(jìn)而得出坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案.
【解答】解：過B1向x軸作垂線B1C，垂足為C，
由題意可得：A(1，0)，AO∥A1B1，∠B1OC=30°，
∴CB1=OB1cos30°= ，
∴B1的橫坐標(biāo)為： ，則B1的縱坐標(biāo)為： ，
∴點(diǎn)B1，B2，B3，…都在直線y= x上，
∴B1( ， )，
同理可得出：A1的橫坐標(biāo)為：1，
∴y= ，
∴A1(2， )，
…
An(1+ ， ).
∴A2015(1008，1007 ).
故答案為(1008，1007 ).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及數(shù)字變化類，得出A點(diǎn)橫縱坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.
三、解答題(本大題共6小題，共56分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟
17.(1)計(jì)算：4cos30°﹣ ﹣ +(﹣ )﹣2
(2)解方程：x2﹣2x﹣1=0.
【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;解一元二次方程-配方法;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)得意義得到原式=4× ﹣(2﹣ )﹣3 +9，然后合并即可;
(2)利用配方法解方程.
【解答】解：(1)原式=4× ﹣(2﹣ )﹣3 +9
=2 ﹣2+ ﹣3 +9
=7;
(2)x2﹣2x=1，
x2﹣2x+1=2，
(x﹣1)2=2，
x﹣1= ，
所以x1=1+ ，x2=1﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.也考查了配方法解一元二次方程.
18.小明與小亮玩游戲：他們將牌面數(shù)字分別是2，3，4的三張撲克牌充分洗勻后，背面朝上放在桌面上，規(guī)定游戲規(guī)則如下：先從中隨機(jī)抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后將該牌放回并重新洗勻，再從中隨機(jī)抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為個(gè)位上的數(shù)字.如果組成的兩位數(shù)是2的倍數(shù)，則小明勝;否則，小亮勝.
(1)請(qǐng)用樹狀圖或列表法表示能組成哪些兩位數(shù)?
(2)這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎?請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】游戲公平性;列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)根據(jù)題意直接列出樹形圖或列表即可;
(2)游戲是否公平，關(guān)鍵要看是否游戲雙方贏的機(jī)會(huì)是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等.
【解答】解：(1)列表得：
第一次 第二次 2 3 4
2 (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，2) (4，3) (4，4)
由表格可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，分別是：22，23，24，32，33，34，42，43，44，而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相同;
(2)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平
由(1)可知：P(小明獲勝)= ，P(小亮獲勝)= ，
，
所以游戲不公平.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件.游戲雙方獲勝的概率相同，游戲就公平，否則游戲不公平.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
19.一數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量河對(duì)岸樹AB的高，在河岸邊選擇一點(diǎn)C，從C處測(cè)得樹梢A的仰角為45°，沿BC方向后退10米到點(diǎn)D，再次測(cè)得A的仰角為30°，求樹高.(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： ≈1.414， ≈1.732)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】先設(shè)AB=x米，根據(jù)題意分析圖形：本題涉及到兩個(gè)直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，應(yīng)利用其公共邊BA構(gòu)造等量關(guān)系，解三角形可求得CB、DB的數(shù)值，再根據(jù)CD=BD﹣BC=10，進(jìn)而可求出答案.
【解答】解：∵設(shè)AB=x米，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠D=30°，∠ACB=45°，CD=10，
∴CB=x，AD=2x，BD= = x，
∵CD=BD﹣BC=10，
x﹣x=10，
∴x=5( +1)≈13.7.
答：該樹高是13.7米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.
20.如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E是AB的中點(diǎn).
(1)求證：△ADC∽△ACB;
(2)求證：CE∥AD;
(3)若AB=6，AD=4，求 的值.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得答案;
(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得CE與AE的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠EAC=∠ECA，根據(jù)角平分線的定義，可得∠CAD=∠CAB，根據(jù)平行線的判定，可得答案;
(3)由(2)知CE∥AD，進(jìn)而得到△AFD∽△CFE，AD：CE=AF：CF;求得CE=3，AD=4，即可解決問題.
【解答】證明：(1)∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB.
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB;
(2)∵E是AB的中點(diǎn)，
∴CE= AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA.
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠ECA，
∴CE∥AD;
(3)解：由(2)知CE∥AD;
∴△AFD∽△CFE，
∴ AD：CE=AF：CF;
∵CE= AB=3，AD=4，
，
∴ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，(1)利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì);(2)利用了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，牢固掌握直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
21.某超市準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電，每個(gè)進(jìn)價(jià)是40元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)：銷售價(jià)定為50元，可售出400個(gè)，定價(jià)每增加1元，銷售量將減少10個(gè).超市若要保證獲得利潤6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每個(gè)定價(jià)應(yīng)該是多少元?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】銷售問題.
【分析】設(shè)每個(gè)定價(jià)增加x元，根據(jù)總利潤=每個(gè)的利潤×銷售量，銷售量為400﹣10x，列方程求解，根據(jù)題意取舍，即可得出答案.
【解答】解：設(shè)每個(gè)定價(jià)增加x元，根據(jù)題意得：
(x+10)(400﹣10x)=6000，
整理得：x2﹣30x+200=0
解得x1=10，x2=20，
∵顧客要實(shí)惠，
∴x=10，
∴x+50=60.
答：當(dāng)定價(jià)為60元時(shí)利潤達(dá)到6000元;
【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠表示每個(gè)的銷售利潤和所有的銷售量，從而列出方程求解即可.
22.如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重合)，∠ADE=∠B=α，且cosα= ，DE交AC于點(diǎn)E.
(1)求證：△ABD∽△DCE;
(2)探究：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE能否構(gòu)成等腰三角形?若能，求出BD的長;若不能，請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定;解直角三角形.
【專題】動(dòng)點(diǎn)型.
【分析】(1)由AB=AC，易得∠B=∠C，又由∠ADE=∠B=α，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可證得∠BAD=∠EDC，繼而證得結(jié)論;
(2)分別從DE=AD與DE=AE去分析求解即可求得答案.
【解答】(1)證明：∵在△ABC中，AB=AC=10，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B=α，∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE;
(2)解：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，
①若DE=AD，則△ABD≌△DCE，
∴CD=AB=10，
∵∠ADE=∠B=α，且cosα= ，
∴BF=AB•cosα=10× =8，
∵AB=AC，
∴BC=2BF=16，
∴BD=BC﹣CD=6;
②若DE=AE，則∠EAD=∠ADE，
∵∠B=∠C=∠ADE=α，
∴∠B=∠ADE，∠EAD=∠C，
∴△ABC∽△EAD，
∴ = = ，
∵△ABD∽△DCE，
∴ ，
∴CD= ，
∴BD= ;
綜上所述：△ADE能夠成等腰三角形，BD=6或 .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線，利用分類討論思想求解是解此題的關(guān)鍵.
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