A.2 B.3 C.4 D.5

　　【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

　　【分析】①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a>0;然后根據(jù)對(duì)稱軸在y軸左邊，可得b>0;最后根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可得c>0，據(jù)此判斷出abc>0即可.

　　②根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，可得△=0，即b2﹣4a(c+2)=0，b2﹣4ac=8a>0，據(jù)此解答即可.

　?、凼紫雀鶕?jù)對(duì)稱軸x=﹣ =﹣1，可得b=2a，然后根據(jù)b2﹣4ac=8a，確定出a的取值范圍即可.

　?、芨鶕?jù)頂點(diǎn)為(﹣1，0)，可得方程ax2+bc+c=﹣2的有兩個(gè)相等實(shí)根，

　?、莞鶕?jù)點(diǎn)BC在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大來(lái)判斷即可.

　　【解答】解：∵拋物線開口向上，

　　∴a>0，

　　∵對(duì)稱軸在y軸左邊，

　　∴b>0，

　　∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，

　　∴c+2>2，

　　∴c>0，

　　∴abc>0，

　　∴結(jié)論①正確;

　　∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

　　∴△=0，

　　即b2﹣4a(c+2)=0，

　　∴b2﹣4ac=8a>0，

　　∴結(jié)論②不正確;

　　∵對(duì)稱軸x=﹣ =﹣1，

　　∴b=2a，

　　∵b2﹣4ac=8a，

　　∴4a2﹣4ac=8a，

　　∴a=c+2，

　　∵c>0，

　　∴a>2，

　　∴結(jié)論③正確;

　　∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的頂點(diǎn)為(﹣1，0)，

　　∴方程ax2+bx+c+2=0的根為x1=x2=﹣1;

　　∴結(jié)論④正確;

　　∵x>﹣1，y隨x的增大而增大，

　　∴y1>y2，

　　∴結(jié)論⑤正確.

　　綜上，可得正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2個(gè)：①③④⑤.

　　故選C.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口;②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右.(簡(jiǎn)稱：左同右異)③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn). 拋物線與y軸交于(0，c).

　　二、填空題(本題有6小題，每小題3分，共18分)

　　11.若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　k≤1且k≠0　.

　　【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義.

　　【分析】若一元二次方程有兩不等實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍.還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

　　【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

　　∴根的判別式△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，且k≠0.

　　即k≤1且k≠0.

　　故答案是：k≤1且k≠0.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件.

　　12.在一個(gè)不透明的袋子中有10個(gè)除顏色外均相同的小球，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的概率約為30%，估計(jì)袋中白球有　3　個(gè).

　　【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率.

　　【分析】根據(jù)摸到白球的概率公式 =40%，列出方程求解即可.

　　【解答】解：不透明的布袋中的小球除顏色不同外，其余均相同，共有10個(gè)小球，其中白色小球x個(gè)，

　　根據(jù)古典型概率公式知：P(白色小球)= =30%，

　　解得：x=3.

　　故答案為：3.

　　【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，一般方法為：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)= .

　　13.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1m，其中水面的寬AB為0.8m，則排水管內(nèi)水的深度為　0.8　m.

　　【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用;勾股定理.

　　【分析】過(guò)O點(diǎn)作OC⊥AB，C為垂足，交⊙O于D，連OA，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=0.5m，再在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度.

　　【解答】解：如圖，過(guò)O點(diǎn)作OC⊥AB，C為垂足，交⊙O于D、E，連OA，

　　OA=0.5m，AB=0.8m，

　　∵OC⊥AB，

　　∴AC=BC=0.4m，

　　在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，

　　∴OC=0.3m，

　　則CE=0.3+0.5=0.8m，

　　故答案為：0.8.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的運(yùn)用.

　　14.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2﹣4先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線解析式為　y=(x﹣2)2﹣1　.

　　【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

　　【分析】先確定拋物線y=x2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，﹣4)，再根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律點(diǎn)(0，﹣4)平移后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，﹣1)，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后拋物線的解析式.

　　【解答】解：拋物線y=x2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，﹣4)，把點(diǎn)(0，﹣4)先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，﹣1)，所以平移后的拋物線解析式為y=(x﹣2)2﹣1.

　　故答案為y=(x﹣2)2﹣1.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

　　15.用一個(gè)圓心角為120°，半徑為4的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為　 　.

　　【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算.

　　【分析】利用底面周長(zhǎng)=展開圖的弧長(zhǎng)可得.

　　【解答】解： ，解得r= .

　　故答案為： .

　　【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是有確定底面周長(zhǎng)=展開圖的弧長(zhǎng)這個(gè)等量關(guān)系，然后由扇形的弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式求值.

　　16.如圖，四邊形OABC是矩形，ADEF是正方形，點(diǎn)A，D在x軸的正半軸，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F再AB上，點(diǎn)B，E在反比例函數(shù)y= 的圖象上，OA=2，OC=6，則正方形ADEF的邊長(zhǎng)為　 ﹣1　.

　　【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

　　【分析】先確定B點(diǎn)坐標(biāo)(2，6)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k=12，則反比例函數(shù)解析式為y= ，設(shè)AD=t，則OD=2+t，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(2+t，t)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得(2+t)•t=12，利用因式分解法可求出t的值.

　　【解答】解：∵OA=2，OC=6，

　　∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(2，6)，

　　∴k=2×6=12，

　　∴反比例函數(shù)解析式為y= ，

　　設(shè)AD=t，則OD=2+t，

　　∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2+t，t)，

　　∴(2+t)•t=12，

　　整理為t2+2t﹣12=0，

　　解得t1=﹣1+ (舍去)，t2=﹣1﹣ ，

　　∴正方形ADEF的邊長(zhǎng)為 ﹣1.

　　故答案為： ﹣1.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k.

　　三、解答題(共9小題，滿分72分)

　　17.(1)解方程：2x2+x﹣15=0

　　(2)計(jì)算：sin30°﹣ sin45°+tan60°﹣cos30°+20160.

　　【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法;特殊角的三角函數(shù)值.

　　【分析】(1)先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可;

　　(2)先把各個(gè)角的函數(shù)值代入，再求出即可.

　　【解答】解：(1)2x2+x﹣15=0，

　　(2x﹣5)(x+3)=0，

　　2x﹣5=0，x+3=0，

　　x1= ，x2=﹣3;

　　(2)原式= ﹣ × + ﹣ +1

　　= .

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程和特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，能熟記解一元二次方程的解題思路和熟記特殊角的三角函數(shù)值是解此題的關(guān)鍵.

　　18.如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，4)，B (1，1)，C(4，3).

　　(1)請(qǐng)畫出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1BC1;

　　(2)求出圖(1)中點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到C1所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留π)

　　【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換;弧長(zhǎng)的計(jì)算.

　　【專題】計(jì)算題;作圖題.

　　【分析】(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、C1即可得到△A1BC1;

　　(2)由于點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到C1所經(jīng)過(guò)的路徑為以B為圓心，BC為半徑，圓心角為90度的弧，所以利用弧長(zhǎng)公式可計(jì)算出點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到C1所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

　　【解答】解：(1)如圖，△A1BC1為所作;

　　(2)BC= = ，

　　所以點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到C1所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)= = π.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

　　19.在“陽(yáng)光體育”活動(dòng)時(shí)間，九年級(jí)A，B，C，D四位同學(xué)進(jìn)行一次羽毛球單打比賽，要從中選出兩位同學(xué)打一場(chǎng)比賽，用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選中A，C兩位同學(xué)進(jìn)行比賽的概率.

　　【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

　　【專題】計(jì)算題.

　　【分析】先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出選中A，C兩位同學(xué)進(jìn)行比賽的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

　　【解答】解：畫樹狀圖為：

　　共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中選中A，C兩位同學(xué)進(jìn)行比賽的結(jié)果數(shù)為2，

　　所以選中A，C兩位同學(xué)進(jìn)行比賽的概率= = .

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率.

　　20.小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30°，AC長(zhǎng)2 ，釣竿AO的傾斜角∠ODC是60°，其長(zhǎng)OA為5米，若AO與釣魚線OB的夾角為60°，求浮漂B與河堤下端C之間的距離.

　　【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.

　　【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=2米，CD=2AD=3米，再證明△BOD是等邊三角形，得到BD=OD=OA+AD=7米，然后根據(jù)BC=BD﹣CD即可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離.

　　【解答】解：∵AO的傾斜角是60°，

　　∴∠ODB=60°.

　　∵∠ACD=30°，

　　∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°.

　　在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=2 × =2(米)，

　　∴CD=2AD=4米，

　　又∵∠O=60°，

　　∴△BOD是等邊三角形，

　　∴BD=OD=OA+AD=2+5=7(米)，

　　∴BC=BD﹣CD=7﹣4=3(米).

　　答：浮漂B與河堤下端C之間的距離為3米.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的傾斜角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解.

　　21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=3x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸交反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象于點(diǎn)C，連接BC.

　　(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及△ABC的面積;

　　(2)直接寫出當(dāng)x<1時(shí)，y= (k≠0)中y的取值范圍.

　　【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.

　　【分析】(1)先由一次函數(shù)y=3x+1的圖象過(guò)點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，將x=1代入y=3x+1，求出y的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y= ，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式;根據(jù)一次函數(shù)y=3x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，再將y=1代入y= ，求出x的值，那么AC=4.過(guò)B作BD⊥AC于D，則BD=yB﹣yC=4﹣1=3，然后根據(jù)S△ABC= AC•BD，將數(shù)值代入計(jì)算即可求解;

　　(2)根據(jù)x<1時(shí)，得到 ，于是得到y(tǒng)的取值范圍.

　　【解答】解：(1)∵一次函數(shù)y=3x+1的圖象過(guò)點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，

　　∴y=3×1+1=4，

　　∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，4).

　　∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

　　∴k=1×4=4，

　　∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y= ，

　　∵一次函數(shù)y=3x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)A，

　　∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1，

　　∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，

　　∵AC⊥y軸，

　　∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，是1，

　　∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

　　∴當(dāng)y=1時(shí)，1= ，解得x=4，

　　∴AC=4.

　　過(guò)B作BD⊥AC于D，則BD=yB﹣yC=4﹣1=3，

　　∴S△ABC= AC•BD= ×4×3=6;

　　(2)由圖形得：∵當(dāng)0

　　∴y>4，

　　當(dāng)x<0時(shí)，y<0.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行于y軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難度適中.求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

　　22.如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC、AB，分別交于點(diǎn)D、E，且∠CBD=∠A;

　　(1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

　　(2)若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的長(zhǎng).

　　【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系;直角三角形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).

　　【分析】(1)結(jié)論：BD是圓的切線，已知此線過(guò)圓O上點(diǎn)D，連接圓心O和點(diǎn)D(即為半徑)，再證垂直即可;

　　(2)通過(guò)作輔助線，根據(jù)已知條件求出∠CBD的度數(shù)，在Rt△BCD中求解即可.

　　【解答】解：(1)直線BD與⊙O相切.

　　證明：如圖，連接OD.

　　∵OA=OD

　　∴∠A=∠ADO

　　∵∠C=90°，

　　∴∠CBD+∠CDB=90°

　　又∵∠CBD=∠A

　　∴∠ADO+∠CDB=90°

　　∴∠ODB=90°

　　∴直線BD與⊙O相切.

　　(2)解法一：如圖，連接DE.

　　∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°

　　∵AD：AO=6：5

　　∴cosA=AD：AE=3：5

　　∵∠C=90°，∠CBD=∠A

　　cos∠CBD=BC：BD=3：5

　　∵BC=2，BD= ;

　　解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H.

　　∴AH=DH= AD

　　∵AD：AO=6：5

　　∴cosA=AH：AO=3：5

　　∵∠C=90°，∠CBD=∠A

　　∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，

　　∵BC=2，

　　∴BD= .

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì).

　　23.神農(nóng)嘗百草，泡泡青菜便是其中之一，小隨同學(xué)利用假期開網(wǎng)店批發(fā)出售泡泡青菜，他打出促銷廣告：最優(yōu)質(zhì)泡泡青菜35箱，每箱售價(jià)30元，若一次性購(gòu)買不超過(guò)10箱時(shí)，售價(jià)不變;若一次性購(gòu)買超過(guò)10箱時(shí)，沒(méi)多買1箱，所買的每箱泡泡青菜的售價(jià)均降低0.3元.已知該青菜成本是每箱20元，若不計(jì)其他費(fèi)用，設(shè)顧客一次性購(gòu)買泡泡青菜x(x為整數(shù))箱時(shí)，該網(wǎng)店從中獲利y元.

　　(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;

　　(2)顧客一次性購(gòu)買多少箱時(shí)，該網(wǎng)店從中獲利最多，最多是多少?

　　【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

　　【分析】(1)根據(jù)題意可得出銷量乘以每臺(tái)利潤(rùn)進(jìn)而得出總利潤(rùn)，進(jìn)而得出答案;

　　(2)根據(jù)銷量乘以每臺(tái)利潤(rùn)進(jìn)而得出總利潤(rùn)，即可求出即可.

　　【解答】解：(1)y= ，

　　(2)在0≤x≤10時(shí)，y=10x，當(dāng)x=10時(shí)，y有最大值100;

　　在10

　　當(dāng)x=21 時(shí)，y取得最大值，

　　∵x為整數(shù)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得x=22時(shí)，y有最大值140.8.

　　∵140.8>100，

　　∴顧客一次購(gòu)買22箱時(shí)，該網(wǎng)站從中獲利最多，最多是140.8元.

　　【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出y與x的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

　　24.如圖，E是四邊形ABCD的邊AB上一點(diǎn).

　　(1)猜想論證：如圖，分別連接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65°，試猜想圖中哪兩個(gè)三角形相似，并說(shuō)明理由.

　　(2)觀察作圖：如圖‚，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上，試在圖‚中矩形ABCD的邊AB上畫出所有滿足條件的點(diǎn)E(點(diǎn)E與點(diǎn)A，B 不重合)，分別連結(jié)ED，EC，使四邊形ABCD被分成的三個(gè)三角形相似(不證明).

　　(3)拓展探究：如圖ƒ，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好將四邊形ABCM分成的三個(gè)三角形相似，請(qǐng)直接寫出 的值.

　　【考點(diǎn)】相似形綜合題.

　　【專題】綜合題;圖形的相似.

　　【分析】(1)△ADE∽△BEC，理由為：利用三角形內(nèi)角和定理及鄰補(bǔ)角定義得到一對(duì)角相等，再由已知角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證;

　　(2)如圖②a與圖②b所示，點(diǎn)E為所求的點(diǎn);

　　(3)由點(diǎn)E恰好將四邊形ABCM分成的三個(gè)三角形相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到三個(gè)角相等，再由折疊的性質(zhì)得到∠DCM=∠MCE=∠BCE=30°，EC=CD=AB，在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求式子比值即可.

　　【解答】解：(1)△ADE∽△BEC，理由為：

　　∵∠A=65°，

　　∴∠ADE+∠DEA=115°，

　　∵∠DEC=65°，

　　∴∠BEC+∠DEA=115°，

　　∴∠ADE=∠BEC，

　　∵∠A=∠B，

　　∴△ADE∽△BEC;

　　(2)作圖如下：

　　(3)∵點(diǎn)E恰好將四邊形ABCM分成的三個(gè)三角形相似，

　　∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

　　∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，

　　由折疊可知：△ECM≌△DCM，

　　∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

　　∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，

　　∴DC=CE=AB，

　　在Rt△BCE中，cos∠BCE= =cos30°，

　　∴ = .

　　【點(diǎn)評(píng)】此題屬于相似型綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

　　25.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A (1，0)、B(0，3)及C(3，0)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D從原點(diǎn)O開始沿OB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C開始沿CO方向以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)D、E停止運(yùn)動(dòng).

　　(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo);

　　(2)若F(﹣1，0)，求△DEF的面積S與E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式;當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF的面積最大?最大面積是多少?

　　(3)當(dāng)△DEF的面積最大時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)N，使△EBN是直角三角形?若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

　　【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo);

　　(2)根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案;

　　(3)根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得N點(diǎn)坐標(biāo).

　　【解答】解：(1)將A (1，0)、B(0，3)及C(3，0)代入函數(shù)解析式，得

　　，

　　解得 ，

　　拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3，

　　配方，得y=(x﹣2)2﹣1，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，﹣1);

　　(2)如圖1 ，

　　由題意，得

　　CE=t，OE=3﹣t，F(xiàn)E=4﹣t，OD=t.

　　S= FE•OD= (4﹣t)t=﹣ t2+2t=﹣ (t﹣2)2+2，

　　當(dāng)t=2時(shí)，S最大=2;

　　(3)當(dāng)△DEF的面積最大時(shí)，E(1，0)，設(shè)N(2，a)，

　　BN2=4+(a﹣3)2，EN2=1+a2，BE2=1+9=10，

　?、佼?dāng)BN2+EN2=BE2時(shí)，4+9﹣6a+a2+a2+1=10，化簡(jiǎn)，得

　　a2﹣3a+2=0，解得a=2，a=1，N(2，2)，N(2，1);

　?、诋?dāng)BN2+BE2=EN2時(shí)，4+9﹣6a+a2+10=1+a2，化簡(jiǎn)，得

　　6a=22，解得a= ，N(2， );

　　③當(dāng)BE2+EN2=BN2時(shí)，1+a2+10=4+9﹣6a+a2，

　　化簡(jiǎn)，得

　　6a=2，解得a= ，N(2， )，

　　綜上所述：N點(diǎn)的坐標(biāo)(2，2)，(2，1)，(2， )，(2， ).

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式;利用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值;利用勾股定理的逆定理得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏

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