九年級數(shù)學上期末考試卷帶答案(2)
九年級數(shù)學上期末考試卷帶答案
九年級數(shù)學上期末考試卷參考答案
一、選擇題(每題3分，共18分)
1.數(shù)據(jù)：2，3，3，5，7的極差是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】極差.
【專題】計算題;壓軸題.
【分析】根據(jù)極差的定義解答，即用7減去2即可.
【解答】解：數(shù)據(jù)2，3，3，5，7的極差是7﹣2=5.
故選D.
【點評】極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.
2.如圖，在平面直角坐標系中，直線OA過點(2，1)，則tanα的值是( )
A.2 B. C. D.
【考點】銳角三角函數(shù)的定義;坐標與圖形性質(zhì).
【分析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的正切為對邊比鄰邊，可得答案.
【解答】解：如圖： ，
tanα= = .
故選：B.
【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.
3.在比例尺是1：46000的城市交通游覽圖上，某條道路的圖上距離長約8cm，則這條道路的實際長度約為( )
A.368×103cm B.36.8×104cm C.3.68×105cm D.3.68×106cm
【考點】比例線段;科學記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離：實際距離，依題意列比例式直接求解即可.
【解答】解：設這條道路的實際長度為xcm，則：
= ，
解得x=368000.
368000cm=3.68×105cm.
所以這條道路的實際長度為3.68×105cm.
故選C.
【點評】本題主要考查了比例線段，比例尺的意義，能夠根據(jù)比例尺正確進行計算.也考查了科學記數(shù)法.
4.關于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是( )
A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1且m≠0 D.m≥﹣1且m≠0
【考點】根的判別式.
【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根，得出△≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍即可.
【解答】解：由題意知，△=4+4m≥0，
∴m≥﹣1，
故選A.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c為常數(shù))根的判別式.當△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0，方程沒有實數(shù)根.以及一元二次方程的意義.
5.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠OAB=40°，則∠ACB的度數(shù)為( )
A.45° B.40° C.80° D.50°
【考點】圓周角定理.
【分析】由OA=OB，可求得∠OBA=∠OAB=40°，繼而求得∠AOB的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得答案.
【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=40°，
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=100°，
∴∠ACB= ∠AOB=50°.
故選：D.
【點評】本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用.
6.關于二次函數(shù) 的圖象與性質(zhì)，下列結論錯誤的是( )
A.拋物線與x軸有兩個交點
B.當x=1時，函數(shù)有最大值
C.拋物線可由 經(jīng)過平移得到
D.當﹣1
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得求解.
【解答】解：A、∵a=﹣ <0，頂點(1，2)，
∴拋物線與x軸有兩個交點;
B、∵拋物線開口向下，頂點(1，2)∴當x=1時，函數(shù)有最大值2;
C、拋物線可由 向右平移1個單位，向上平移2個單位得到;
D、∵當﹣1
綜上所述，結論錯誤的是D.
故選D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，以及二次函數(shù)的增減性.
二、填空題(每題3分，共30分)
7.若x=0是關于x的方程x2﹣x﹣a2+9=0的一個根，則a的值為±3.
【考點】一元二次方程的解.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=0代入原方程得到關于a的一元二次方程，然后解此方程即可.
【解答】解：把x=0代入x2﹣x﹣a2+9=0得﹣a2+9=0，解得a=±3.
故答案為±3.
【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.
8.人數(shù)相同的九年級甲、乙兩班學生在同一次數(shù)學單元測試中，班級平均分和方差如下： =90，S甲2=1.234，S乙2=2.001，則成績較為穩(wěn)定的班級是甲班(填甲班或乙班).
【考點】方差.
【分析】由于S甲2
【解答】解：∵ =90，S甲2=1.234，S乙2=2.001，
∴S甲2
∴甲班的成績較為穩(wěn)定.
故答案為甲班.
【點評】本題考查了方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差，計算公式是：s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2];方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小;反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.
9.已知⊙O的半徑為5cm，點O到直線MN的距離為4，則⊙O與直線MN的位置關系為相交.
【考點】直線與圓的位置關系.
【分析】根據(jù)圓心O到直線MN的距離小于半徑即可判定直線MN與⊙O的位置關系為相交.
【解答】解：∵圓心O到直線MN的距離是4cm，小于⊙O的半徑為5cm，
∴直線MN與⊙O相交.
故答案為：相交.
【點評】此題考查的是直線與圓的位置關系，根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系解答.若d
10.如圖，一個圓形轉盤被分成6個圓心角都為60°的扇形，任意轉動這個轉盤1次，當轉盤停止轉動時，指針指向陰影區(qū)域的概率是 .
【考點】幾何概率.
【分析】設圓的面積為6，易得到陰影區(qū)域的面積為4，然后根據(jù)概率公式計算即可.
【解答】解：設圓的面積為6，
∵圓被分成6個相同扇形，
∴每個扇形的面積為1，
∴陰影區(qū)域的面積為4，
∴指針指向陰影區(qū)域的概率 = ;
故答案為： .
【點評】本題考查了求幾何概率的方法：先利用幾何性質(zhì)求出整個幾何圖形的面積n，再計算出其中某個區(qū)域的幾何圖形的面積m，然后根據(jù)概率的定義計算出落在這個幾何區(qū)域的事件的概率= .
11.已知△ABC∽△DEF，且 ，則 = .
【考點】相似三角形的性質(zhì).
【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方進而得出答案.
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且 ，
∴ = .
故答案為： .
【點評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關鍵.
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB= ，則AC的長為6.
【考點】銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理.
【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)值計算出BC長，再利用勾股定理可計算出AC長.
【解答】解：∵AB=10，cosB= ，
∴BC=10× =8，
∴AC= =6，
故答案為：6.
【點評】此題主要考查了三角函數(shù)，以及勾股定理，關鍵是掌握銳角三角函數(shù)定義.
13.一個圓錐的底面半徑為1厘米，母線長為2厘米，則該圓錐的側面積是2π厘米2(結果保留π).
【考點】圓錐的計算.
【分析】根據(jù)圓錐側面積的求法：S側= •2πr•l=πrl，把r=1厘米，l=2厘米代入圓錐的側面積公式，求出該圓錐的側面積是多少即可.
【解答】解：該圓錐的側面積是：
S側= •2πr•l=πrl=π×1×2=2π(厘米2).
故答案為：2π.
【點評】此題主要考查了圓錐的側面積的計算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：S側= •2πr•l=πrl.
14.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠DAB=60°，則∠BCD的度數(shù)是120°.
【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補解答即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCD+∠DAB=180°，又∠DAB=60°，
∴∠BCD=120°，
故答案為：120°.
【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵.
15.如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1： ，點A的坐標為(1，0)，則E點的坐標為( ， ).
【考點】位似變換;坐標與圖形性質(zhì).
【分析】由題意可得OA：OD=1： ，又由點A的坐標為(1，0)，即可求得OD的長，又由正方形的性質(zhì)，即可求得E點的坐標.
【解答】解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1： ，
∴OA：OD=1： ，
∵點A的坐標為(1，0)，
即OA=1，
∴OD= ，
∵四邊形ODEF是正方形，
∴DE=OD= .
∴E點的坐標為：( ， ).
故答案為：( ， ).
【點評】此題考查了位似變換的性質(zhì)與正方形的性質(zhì).此題比較簡單，注意理解位似變換與相似比的定義是解此題的關鍵.
16.如圖，在直角坐標系xOy中，若拋物線y= +2x交x軸的負半軸于A，以O為旋轉中心，將線段OA按逆時針方向旋轉α(0°<α≤360°)，再沿水平方向向右或向左平移若干個單位長度，對應線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處，請直接寫出所有符合題意的α的值是30°或150°.
【考點】拋物線與x軸的交點;坐標與圖形變化-平移;坐標與圖形變化-旋轉.
【分析】首先求出拋物線的頂點坐標以及AO的長，再利用平移的性質(zhì)結合AO只是左右平移，進而得出旋轉的角度.
【解答】解：由題意可得：y= +2x= (x+2)2﹣2，
故拋物線的頂點坐標為：(2，﹣2)，
當y=0時，0= (x+2)2﹣2
解得：x1=0，x2=4，
故AO=4，
∵將線段OA按逆時針方向旋轉α(0°<α≤360°)，再沿水平方向向右或向左平移若干個單位長度，對應線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處，
∴旋轉后對應點A′到x軸的距離為：2，
如圖，過點A′作A′C⊥x軸于點C，
當∠COA′=30°，
則CA′= A′O=2，
故α為30°時符合題意，
同理可得：α為150°時也符合題意，
綜上所述：所有符合題意的α的值是30°或150°.
故答案為：30°或150°.
【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點以及旋轉與平移變換，正確得出對應點的特點是解題關鍵.
三、解答題(共102分)
17.計算或解方程：
(1)|2﹣tan60°|﹣(π﹣3.14)0+ + .
(2)x2﹣6x+5=0(配方法)
【考點】實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負整數(shù)指數(shù)冪;解一元二次方程-配方法;特殊角的三角函數(shù)值.
【專題】計算題;實數(shù).
【分析】(1)原式第一項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，第二項利用零指數(shù)冪法則計算，第三項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算，最后一項化為最簡二次根式，計算即可得到結果;
(2)方程利用完全平方公式變形，開方即可求出解.
【解答】解：(1)原式=2﹣ ﹣1+4+ =5;
(2)方程整理得：x2﹣6x=﹣5，
配方得：x2﹣6x+9=4，即(x﹣3)2=4，
開方得：x﹣3=2或x﹣3=﹣2，
解得：x1=5，x2=1.
【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
18.前不久，我校初一、初二兩個年級舉行作文競賽，根據(jù)初賽成績，每個年級各選出5名選手分別組成初一代表隊和初二代表隊參加學校決賽.兩個隊各選出的5名選手的決賽成績?nèi)鐖D所示.
(1)根據(jù)圖示填寫下表;
平均數(shù)(分) 中位數(shù)(分) 眾數(shù)(分)
初一 85 85 85
初二 85 80 100
(2)結合兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個隊的決賽成績較好.
【考點】條形統(tǒng)計圖;加權平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù).
【分析】(1)根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的定義即可解答;
(2)首先比較平均數(shù)，然后根據(jù)中位數(shù)的大小判斷.
【解答】解：(1)初一隊的成績的平均數(shù)是： (75+80+85+85+100)=85，
初一隊成績的眾數(shù)是85分;
初二隊的成績從小到大排列是：70，75，80，100，100.則中位數(shù)是80分.
平均數(shù)(分) 中位數(shù)(分) 眾數(shù)(分)
初一 85 85 85
初二 85 80 100
(2)兩隊的平均成績相同，而初一隊的中位數(shù)較大，因而初一隊成績較好.
【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù).
19.如圖，有5張形狀、大小和質(zhì)地都相同的卡片，正面分別寫有字母：A，B，C，D，E和一個等式，背面完全一致.現(xiàn)將5張卡片分成兩堆，第一堆：A，B，C;第二堆：D，E，并從第一堆中抽出第一張卡片，再從第二堆中抽出第二張卡片.
(1)請用畫樹狀圖或列表法表示出所有可能結果;(卡片可用A，B，C，D，E表示)
(2)將“第一張卡片上x的值是第二張卡片中方程的解”記作事件M，求事件M的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【專題】計算題.
【分析】(1)畫出樹狀圖展示所有6種等可能的結果數(shù);
(2)根據(jù)方程解得定義，找出第一張卡片上x的值是第二張卡片中方程的解的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解：(1)畫樹狀圖為：
共有6種等可能的結果數(shù);
(2)因為第一張卡片上x的值是第二張卡片中方程的解的結果數(shù)為2，
所以事件M的概率= = .
【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.
20.某商店6月份的利潤是2000元，要使8月份的利潤達到3380元，平均每月利潤增長的百分率是多少?
【考點】一元二次方程的應用.
【專題】增長率問題.
【分析】如果設平均每月增長的百分率是x，那么7月份的利潤是2000(1+x)元，8月份的利潤是2000(1+x)2元，而此時利潤是3380元，根據(jù)8月份的利潤不變，列出方程.
【解答】解：設平均每月增長的百分率是x，依題意，得
2000(1+x)2=3380，
解得x1=0.3，x2=﹣2.3(不合題意，舍去).
答：平均每月增長的百分率應該是30%.
【點評】本題考查的是平均增長率問題.明確增長前的量×(1+平均增長率)增長的次數(shù)=增長后的量是解題的關鍵.
21.為了弘揚“社會主義核心價值觀”，市政府在廣場樹立公益廣告牌，如圖所示，為固定廣告牌，在兩側加固鋼纜，已知鋼纜底端D距廣告牌立柱距離CD為3米，從D點測得廣告牌頂端A點和底端B點的仰角分別是60°和45°.
(1)求公益廣告牌的高度AB;
(2)求加固鋼纜AD和BD的長.(注意：本題中的計算過程和結果均保留根號)
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.
【分析】(1)根據(jù)已知和tan∠ADC= ，求出AC，根據(jù)∠BDC=45°，求出BC，根據(jù)AB=AC﹣BC求出AB;
(2)根據(jù)cos∠ADC= ，求出AD，根據(jù)cos∠BDC= ，求出BD.
【解答】解：(1)在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
∵tan∠ADC= ，
∴AC=3•tan60°=3 ，
在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=(3 ﹣3)米.
(2)在Rt△ADC中，∵cos∠ADC= ，
∴AD= = =6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC= ，
∴BD= = =3 米.
【點評】本題考查的是解直角三角形的知識，掌握仰角的概念和銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵.
22.如圖，△ABC中，AC=BC，以BC上一點O為圓心，OB為半徑作⊙O交AB于點D.已知經(jīng)過點D的⊙O切線恰好經(jīng)過點C.
(1)試判斷CD與AC的位置關系，并證明;
(2)若△ACB∽△CDB，且AC=3，求圖中陰影部分的面積.
【考點】切線的判定;扇形面積的計算;相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】計算題.
【分析】(1)連結OD，如圖，由OD=OB得∠ODB=∠B，由AC=CB得∠A=∠B，則∠A=∠ODB，于是可判斷OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ACD=∠ODC，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ODC=90°，則∠DCA=90°，所以CD⊥AC;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由△ACB∽△CDB得到∠BCD=∠A，理由三角形外角性質(zhì)易得∠ADC=2∠B，則∠ADC=2∠A，再利用三角形內(nèi)角和定理得∠A+∠ADC=90°，可計算出∠A=30°，則∠CDB=∠B=30°，∠COD=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△ACD中可計算出CD= AC= ，再在Rt△ODC中計算出OD= CD=1，然后利用三角形的面積減去扇形的面積可得到圖中陰影部分的面積.
【解答】解：(1)CD⊥AC.理由如下：
連結OD，如圖，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=CB，
∴∠A=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ACD=∠ODC，
∵CD是⊙O切線，
∴∠ODC=90°，
∴∠DCA=90°，
∴CD⊥AC;
(2)∵△ACB∽△CDB，
∴∠BCD=∠A，
∴∠ADC=2∠B，
而∠A=∠B，
∴∠ADC=2∠A，
∵∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠CDB=∠B=30°，
∴∠COD=60°，
在Rt△ACD中，CD= AC= ，
在Rt△ODC中，OD= CD=1，
∴圖中陰影部分的面積= ×1× ﹣ = ﹣ .
【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑.也考查了扇形的面積計算和相似三角形的性質(zhì).
23.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延長
線交AB于H.
(1)求證：△CAG∽△ABC;
(2)求S△AGH：S△ABC的值.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);三角形的重心.
【分析】(1)證明：CG交AB于D，如圖，設GD=a，根據(jù)重心的性質(zhì)得CG=2DG=2a，根據(jù)重心的定義得CD為AB邊上的中線，接著根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CD=AD=BD=3a，則∠1=∠3，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠B=∠3，加上∠ACB=∠AGC=90°，于是根據(jù)相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC;
(2)由點G是△ABC的重心，得到CG=2HG，于是得到HG= CH，求得S△AHG= S△ACH，根據(jù)CH為AB邊上的中線，于是得到S△ACH= S△ABC，推出S△AHG= S△ABC，即可得到結論.
【解答】(1)證明：如圖，設GH=a，
∵點G是△ABC的重心，
∴CG=2HG=2a，CH為AB邊上的中線，
∴CH=AH=BH=3a，
∴∠1=∠3，
∵AG⊥CG，
∴∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠B=∠3，
而∠ACB=∠AGC=90°，
∴△CAG∽△ABC;
(2)∵點G是△ABC的重心，
∴CG=2HG，
∴HG= CH，
∴S△AHG= S△ACH，
∵CH為AB邊上的中線，
∴S△ACH= S△ABC，
∴S△AHG= S△ABC，
∴S△AGH：S△ABC=1：6.
【點評】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點;重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.也考查相似三角形的判定與性質(zhì).
24.某水果店出售某種水果，已知該水果的進價為6元/千克，若以9元/千克的價格銷售，則每天可售出200千克;若以11元/千克的價格銷售，則每天可售出120千克.通過調(diào)查驗證，我發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(千克)與銷售單價x(元)之間存在一次函數(shù)關系.
(1)求y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關系式;
(2)當銷售單價為何值時，該水果店銷售這種水果每天獲取的利潤達到280元?(利潤=銷售量×(銷售單價﹣進價))
(3)該水果店在進貨成本不超過720元時，銷售單價定為多少元可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
【考點】二次函數(shù)的應用.
【分析】(1)以9元/千克的價格銷售，那么每天可售出200千克;以11元/千克的價格銷售，那么每天可售出120千克，就相當于直線過點(9，200)，(11，120)，然后列方程組解答即可;
(2)根據(jù)利潤=銷售量×(銷售單價﹣進價)寫出方程求出即可;
(3)根據(jù)利潤=銷售量×(銷售單價﹣進價)寫出解析式，然后利用配方法求最大值，再結合二次函數(shù)性質(zhì)得出答案.
【解答】解：(1)設y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關系式為：y=kx+b，
根據(jù)題意可得： ，
解得： .
故y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關系式為：y=﹣40x+560;
(2)∵W=280元，
∴280=(﹣40x+560)×(x﹣6)
解得：x1=7，x2=13.
答：當銷售單價為7元或13元時，每天可獲得的利潤達到W=280元;
(3)∵利潤=銷售量×(銷售單價﹣進價)
∴W=(﹣40x+560)(x﹣6)
=﹣40x2+800x﹣3360
=﹣40(x﹣10)2+640，
當售價為10元，則y=560﹣400=160，
160×6=960(元)>720元，
則當(﹣40x+560)×6=720，
解得：x=11.
即當銷售單價為11元時，每天可獲得的利潤最大，最大利潤是600元.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，在解答時理清題意設出一次函數(shù)的解析式建立方程組是關鍵.
25.如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是(﹣8，0)，點B的坐標是(0，n)(n>0).P是直線AB上的一個動點，作PC⊥x軸，垂足為C.記點P關于y軸的對稱點為P′(點P′不在y軸上)，連接PP′，P′A，P′C.設點P的橫坐標為m.
(1)若點P在第一象限，記直線AB與P′C的交點為D.當P′D：DC=5：13時，求m的值;
(2)若∠ACP′=60°，試用m的代數(shù)式表示n;
(3)若點P在第一象限，是否同時存在m，n，使△P′CA為等腰直角三角形?若存在，請求出所有滿足要求的m，n的值;若不存在，請說明理由.
【考點】一次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)由條件可得△P′PD∽△CAD，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關于m的方程，可求得m的值;
(2)過P′H⊥AC于H，設直線AB的解析式為y=kx+n，把x=﹣8，y=0代入得：﹣8k+n=0，于是得到直線的解析式是：y= x+n，求得PC=P′H= +n，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到 = ，即可得到結論;
(3)分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分別為直角進行討論，由等腰三角形可先求得m的值，再根據(jù)相似三角形可得到關于n的方程，可求得n的值.
【解答】解：(1)∵PP′∥AC，
∴△P′PD∽△CAD，
∴ = = ，
∴ = ，
解得：m= ;
(2)過P′H⊥AC于H，設直線AB的解析式為y=kx+n，
把x=﹣8，y=0代入得：﹣8k+n=0，
∴k= ，
∴直線的解析式是：y= x+n，
把x=m代入得y= +n，
∴PC=P′H= +n，
∵∠ACP′=60°，
∴ = ，
∴ = ，
∴n= ;
(3)當點P在第一象限且△P′CA為等腰直角三角形時，分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分別為直角進行討論.
第一種情況：
若∠AP′C=90°，P′A=P′C，
過點P′作P′H⊥x軸于點H.
∴PP′=CH=AH=P′H= AC.
∴2m= (m+8)，
∴m= ，P′H= ，
∵△AOB∽△ACP，
∴ ，
∴n=4;
第二種情況：
若∠P′AC=90°，P′A=AC，則PP′=AC，
∴2m=m+8，
∴m=8，
∵△P′AC為等腰直角三角形，
∴四邊形P′ACP為正方形，
∴PC=AC=16，
∵△AOB∽△ACP，
∴ ，即 = ，
∴n=8;
第三種情況：
若∠P′CA=90°，則點P′，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾.
∴△P′CA不可能是以C為直角頂點的等腰直角三角形.
∴所有滿足條件的m= ，n=4或m=8，n=8.
【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標與圖形等知識點的綜合應用，在(1)中由條件證明三角形相似，利用相似三角形對應邊成比例得到關于m的方程是解題的關鍵;在(3)中分三種情況分別討論是解題的關鍵;屬于基礎知識的綜合考查，難度不大，注意對基礎知識的熟練應用.
26.(14分)已知點A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象上，當x1=1、x2=3時，y1=y2.
(1)①求m;②若拋物線與x軸只有一個公共點，求n的值.
(2)若P(a，b1)，Q(3，b2)是函數(shù)圖象上的兩點，且b1>b2，求實數(shù)a的取值范圍.
(3)若對于任意實數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2，求n的范圍.
【考點】拋物線與x軸的交點;二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【專題】計算題.
【分析】(1)①利用拋物線的對稱性可得拋物線的對稱軸為直線x=2，則根據(jù)拋物線對稱軸方程得到﹣ =2，然后解方程即可得到m的值;
?、诶谩?b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)得到△=m2﹣4n=0，然后解方程即可得到n的值;
(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)，由于x1=1、x2=3時，y1=y2，點P到直線x=2的距離比點Q到直線x=2的距離要大，于是可得到a<1或a>3;
(3)由于對于任意實數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2，則判斷二次函數(shù)y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，根據(jù)頂點坐標公式得到 ≥1，然后解不等式即可.
【解答】解：(1)①∵當x1=1、x2=3時，y1=y2，
∴點A與點B為拋物線上的對稱點，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
即﹣ =2，
∴m=﹣4;
②∵拋物線與x軸只有一個公共點，
∴△=m2﹣4n=0，
而m=﹣4，
∴n=4;
(2)∵x1=1、x2=3時，y1=y2，
而拋物線開口向上，
∴當a>3時，b1>b2，或a<1時，b1>b2，
即實數(shù)a的取值范圍為a<1或a>3;
(3)∵對于任意實數(shù)x1、x2都有y1+y2≥2，
∴二次函數(shù)y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，
即 ≥1，
∴n≥5.
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)與x軸的交點坐標轉化為解關于x的一元二次方程;△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).利用數(shù)形結合的思想是解決本題的關鍵.
看了“九年級數(shù)學上期末考試卷”的人還看了：