九年級數(shù)學(xué)上期末模擬試卷附答案(2)
九年級數(shù)學(xué)上期末模擬試卷附答案
九年級數(shù)學(xué)上期末模擬試卷參考答案
一、選擇題(每小題3分，共36分)
1.下列事件是必然事件的為( )
A.明天太陽從西方升起
B.擲一枚硬幣，正面朝上
C.打開電視機，正在播放“夏津新聞”
D.任意一個三角形，它的內(nèi)角和等于180
【考點】隨機事件.
【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念可區(qū)別各類事件.
【解答】解：A、明天太陽從西方升起是不可能事件，故A錯誤;
B、擲一枚硬幣，正面朝上是隨機事件，故B錯誤;
C、打開電視機，正在播放“夏津新聞”是隨機事件，故C錯誤;
D、任意一個三角形，它的內(nèi)角和等于180是必然事件，故D正確;
故選：D.
【點評】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
2.一元二次方程x2﹣2x=0的根是( )
A.x1=0，x2=﹣2 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=﹣2 D.x1=0，x2=2
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.
【解答】解：x2﹣2x=0，
x(x﹣2)=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故選D.
【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，難度適中.
3.二次函數(shù)y= (x﹣1)2+2的圖象可由y= x2的圖象( )
A.向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到
B.向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到
C.向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到
D.向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律.
【解答】解：y= x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到二次函數(shù)y= (x﹣1)2+2的圖象.
故選D.
【點評】考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減.
4.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，則EC的長為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得 ，代入計算即可解答.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故選：B.
【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.
5.如圖，在⊙O中，直徑CD⊥弦AB，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.∠C= ∠BOD B.AC=AB C.∠C=∠B D.∠A=∠BOD
【考點】垂徑定理.
【分析】根據(jù)垂徑定理，可得BE與AE的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠AOD=∠BOD，根據(jù)圓周角定理，可得∠C= ∠AOD，再根據(jù)等量代換，可得答案.
【解答】解：連接AO，如圖：
由垂徑定理，得
AE=BE.
在△AEO和△BEO中，
，
∴△AEO≌△BEO(SAS)，
∴∠AOD=∠BOD.
由圓周角定理，得
∠C= ∠AOD.
由等量代換，得
∠C= ∠BOD，故A正確.
故選：A.
【點評】本題考查了垂徑定理，利用垂徑定理得出BE與AE的關(guān)系是解題關(guān)鍵，又利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理.
6.如圖，點P是▱ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，則圖中相似的三角形有( )
A.0對 B.1對 C.2對 D.3對
【考點】相似三角形的判定;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質(zhì)得出即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3對相似三角形.
故選：D.
【點評】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.
7.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式錯誤的是( )
A.a<0 B.a+b+c<0 C.b2﹣4ac>0 D.b>0
【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.
【解答】解：A、拋物線開口方向向下，則a<0，故本選項錯誤;
B、∵當(dāng)x=1時，y>0，
∴a+b+c>0，故本選項正確;
C、拋物線與x軸有2個交點，則b2﹣4ac>0，故本選項錯誤;
D、對稱軸在y軸的右側(cè)，則a、b異號，即b>0，故本選項錯誤.
故選：B.
【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定.
8.如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A(4，4)，B(6，2)，以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的 后得到線段CD，則端點C和D的坐標分別為( )
A.(2，2)，(3，2) B.(2，4)，(3，1) C.(2，2)，(3，1) D.(3，1)，(2，2)
【考點】位似變換;坐標與圖形性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標乘以 得出即可.
【解答】解：∵線段AB兩個端點的坐標分別為A(4，4)，B(6，2)，
以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的 后得到線段CD，
∴端點的坐標為：(2，2)，(3，1).
故選：C.
【點評】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
9.若在“正三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形、正六邊形”這五種圖形中隨機抽取一種圖形，則抽到的圖形屬于中心對稱圖形的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】概率公式;中心對稱圖形.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義得到平行四邊形、菱形和正六邊形是中心對稱圖形，于是利用概率公式可計算出抽到的圖形屬于中心對稱圖形的概率.
【解答】解：這五種圖形中，平行四邊形、菱形和正六邊形是中心對稱圖形，
所以這五種圖形中隨機抽取一種圖形，則抽到的圖形屬于中心對稱圖形的概率= .
故選C.
【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).也考查了中心對稱圖形.
10.如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB=6，AD=5，則DE的長為( )
A.2.2 B.2.5 C.2 D.1.8
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);圓周角定理.
【分析】連接BD、CD，由勾股定理先求出BD的長，再利用△ABD∽△BED，得出 = ，可解得DE的長.
【解答】解：如圖1，連接BD、CD，
，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD= = = ，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD= ，
∴∠CBD=∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴ ，即 ，
解得DE= .
故選A.
【點評】此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)及圓周角定理，解答此題的關(guān)鍵是得出△ABD∽△BED.
11.若函數(shù)y=mx2+(m+2)x+ m+1的圖象與x軸只有一個交點，那么m的值為( )
A.0 B.0或2 C.2或﹣2 D.0，2或﹣2
【考點】拋物線與x軸的交點.
【專題】分類討論.
【分析】分為兩種情況：函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)是一次函數(shù)，求出即可.
【解答】解：分為兩種情況：
?、佼?dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時，
∵函數(shù)y=mx2+(m+2)x+ m+1的圖象與x軸只有一個交點，
∴△=(m+2)2﹣4m( m+1)=0且m≠0，
解得：m=±2，
?、诋?dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時，m=0，
此時函數(shù)解析式是y=2x+1，和x軸只有一個交點，
故選：D.
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，根的判別式的應(yīng)用，用了分類討論思想，題目比較好，但是也比較容易出錯.
12.如圖，將△ABC沿著過AB中點D的直線折疊，使點A落在BC邊上的A1處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為h1;還原紙片后，再將△ADE沿著過AD中點D1的直線折疊，使點A落在DE邊上的A2處，稱為第2次操作，折痕D1E1到BC的距離記為h2;按上述方法不斷操作下去…，經(jīng)過第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距離記為h2016，到BC的距離記為h2016.若h1=1，則h2016的值為( )
A. B.1﹣ C. D.2﹣
【考點】翻折變換(折疊問題).
【專題】規(guī)律型.
【分析】根據(jù)中點的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得DA=DA'=DB，從而可得∠ADA'=2∠B，結(jié)合折疊的性質(zhì)可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，繼而判斷DE∥BC，得出DE是△ABC的中位線，證得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2﹣1=1，同理h2=2﹣ ，h3=2﹣ × =2﹣ ，于是經(jīng)過第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距離hn=2﹣ ，求得結(jié)果h2016=2﹣ .
【解答】解：連接AA1.
由折疊的性質(zhì)可得：AA1⊥DE，DA=DA1，
又∵D是AB中點，
∴DA=DB，
∴DB=DA1，
∴∠BA1D=∠B，
∴∠ADA1=2∠B，
又∵∠ADA1=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1=2，
∴h1=2﹣1=1，
同理，h2=2﹣ ，h3=2﹣ × =2﹣
…
∴經(jīng)過第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距離hn=2﹣ .
∴h2016=2﹣ .
故選：D.
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，平行線等分線段定理，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(每小題4分，共20分)
13.方程(x+2)(x﹣3)=x+2的解是 x1=﹣2，x2=4 .
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先移項，再提取公因式，求出x的值即可.
【解答】解：原式可化為(x+2)(x﹣3)﹣(x+2)=0，
提取公因式得，(x+2)(x﹣4)=0，
故x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4.
故答案為：x1=﹣2，x2=4.
【點評】本題考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解答此題的關(guān)鍵.
14.二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的最小值是 2 .
【考點】二次函數(shù)的最值.
【分析】把函數(shù)的解析式化為頂點式的形式即可解答.
【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2﹣2x+3可化為y=(x﹣1)2+2的形式，
∴二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的最小值是2.
【點評】本題由于函數(shù)的二次項系數(shù)較小，所以可把函數(shù)解析式化為頂點式即y=a(x+h)2+k的形式解答.
15.如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，且△ABC的面積等于△DEF面積的 ，則AB：DE= 2：3 .
【考點】位似變換.
【分析】由△ABC經(jīng)過位似變換得到△DEF，點O是位似中心，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面積：△DEF面積= ，得到AB：DE═2：3.
【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面積：△DEF面積=( )2= ，
∴AB：DE=2：3，
故答案為：2：3.
【點評】此題考查了位似圖形的性質(zhì).注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應(yīng)的面積比等于相似比的平方.
16.如圖，A，B，C三點在⊙O上，且AB是⊙O的直徑，半徑OD⊥AC，垂足為F，若∠A=30°，OF=3，則BC= 6 .
【考點】三角形中位線定理;垂徑定理;圓周角定理;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)垂徑定理和30°的角易得圓的半徑為2OF，即可求得直徑;易得∠C為90°，那么BC等于直徑AB的一半.
【解答】解：∵OD⊥AC，垂足為F
∴△AFO是直角三角形，∠A=30°
∴OA=2OF=2×3=6
∴AB=2×6=12
又∵AB是圓的直徑，∠ACB為圓周角
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，A=30°
∴BC= AB= ×12=6.
【點評】本題涉及面較廣，涉及垂徑定理以及特殊角的三角函數(shù).
17.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜邊AB=2，O是AB的中點，以O(shè)為圓心，線段OC的長為半徑畫圓心角為90°的扇形OEF，弧EF經(jīng)過點C，則圖中陰影部分的面積為 ﹣ .
【考點】扇形面積的計算.
【分析】連接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC，證明△OMG≌△ONH，則S四邊形OGCH=S四邊形OMCN，求得扇形FOE的面積，則陰影部分的面積即可求得.
【解答】解：連接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，點O為AB的中點，
∴OC= AB=1，四邊形OMCN是正方形，OM= .
則扇形FOE的面積是： = .
∵OA=OB，∠AOB=90°，點D為AB的中點，
∴OC平分∠BCA，
又∵OM⊥BC，ON⊥AC，
∴OM=ON，
∵∠GOH=∠MON=90°，
∴∠GOM=∠HON，
則在△OMG和△ONH中，
，
∴△OMG≌△ONH(AAS)，
∴S四邊形OGCH=S四邊形OMCN=( )2= .
則陰影部分的面積是： ﹣ .
故答案為： ﹣ .
【點評】本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計算的綜合題，正確證明△OMG≌△ONH，得到S四邊形OGCH=S四邊形OMCN是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(共64分)
18.閱讀材料：如果是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根，那么x1+x2=﹣ ，x1x2= ，這就是著名的韋達定理.現(xiàn)在我們利用韋達定理解決問題：
已知m與n是方程2x2﹣6x+3=0的兩根
(1)填空：m+n= 3 ，m•n= ;
(2)計算 與m2+n2的值.
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】計算題.
【分析】(1)直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解;
(2)先利用代數(shù)式變形得到) = ，m2+n2=(m+n)2﹣2mn，然后利用整體代入的方法計算.
【解答】解：(1)m+n=﹣ =3，mn= ;
故答案為3， ;
(2) = = =2;
m2+n2=(m+n)2﹣2mn=32﹣2× =6.
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2=﹣ ，x1x2= .
19.為了參加中考體育測試，甲、乙、丙三位同學(xué)進行足球傳球訓(xùn)練，球從一個人腳下隨機傳到另一個人腳下，且每位傳球人傳給其余兩人的機會是均等的，由甲開始傳球，共傳球三次.
(1)請利用樹狀圖列舉出三次傳球的所有可能情況;
(2)求三次傳球后，球回到甲腳下的概率;
(3)三次傳球后，球回到甲腳下的概率大還是傳到乙腳下的概率大?
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)畫出樹狀圖，
(2)根據(jù)(1)的樹形圖，利用概率公式列式進行計算即可得解;
(3)分別求出球回到甲腳下的概率和傳到乙腳下的概率，比較大小即可.
【解答】解：(1)根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：
由樹形圖可知三次傳球有8種等可能結(jié)果;
(2)由(1)可知三次傳球后，球回到甲腳下的概率= ;
(3)由(1)可知球回到甲腳下的概率= ，傳到乙腳下的概率= ，
所以球回到乙腳下的概率大.
【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.
20.據(jù)某市車管部門統(tǒng)計，2013年底全市汽車擁有量為150萬輛，而截至到2015年底，全市的汽車擁有量已達216萬輛，假定汽車擁有量年平均增長率保持不變.
(1)求年平均增長率;
(2)如果不加控制，該市2017年底汽車擁有量將達多少萬輛?
【考點】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)假設(shè)出平均增長率為x，可以得出2013年該市汽車擁有量為150(1+x)，2015年為150(1+x)(1+x)=216，即150(1+x)2=216，進而求出具體的值;
(2)結(jié)合上面的數(shù)據(jù)2017應(yīng)該在2015年的基礎(chǔ)上增長，而且增長率相同，同理，即為216(1+20%)2.
【解答】解：設(shè)該市汽車擁有量的年平均增長率為x.
根據(jù)題意，得150(1+x)2=216.
解得：x=0.2或x=﹣2.2(不合題意，舍去).
∴年平均增長率為20%.
(2)216(1+20%)2=311.04(萬輛).
答：如果不加控制，該市2017年底汽車擁有量將達311.04萬輛.
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，以及增長率問題，正確表示出每一年的擁有汽車輛數(shù)，是解決問題的關(guān)鍵.
21.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F.
(1)求證：DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積.
【考點】切線的性質(zhì);扇形面積的計算.
【分析】(1)連接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代換得∠ODB=∠ACB，利用平行線的判定得OD∥AC，由切線的性質(zhì)得DF⊥OD，得出結(jié)論;
(2)連接OE，利用(1)的結(jié)論得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結(jié)論.
【解答】(1)證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切線，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC.
(2)解：連接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半徑為4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，
∴S陰影=4π﹣8.
【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用切線性質(zhì)和圓周角定理，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.
22.某食品零售店為儀器廠代銷一種面包，未售出的面包可退回廠家，以統(tǒng)計銷售情況發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種面包的單價定為7角時，每天賣出160個.在此基礎(chǔ)上，這種面包的單價每提高1角時，該零售店每天就會少賣出20個.考慮了所有因素后該零售店每個面包的成本是5角.
設(shè)這種面包的單價為x(角)，零售店每天銷售這種面包所獲得的利潤為y(角).
(1)用含x的代數(shù)式分別表示出每個面包的利潤與賣出的面包個數(shù);
(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)面包單價定為多少時，該零售店每天銷售這種面包獲得的利潤最大?最大利潤為多少?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)設(shè)每個面包的利潤為(x﹣5)角.
(2)依題意可知y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)把函數(shù)關(guān)系式用配方法可解出x=10時y有最大值.
【解答】解：(1)每個面包的利潤為(x﹣5)角
賣出的面包個數(shù)為[160﹣(x﹣7)×20])
(2)y=(x﹣5)=﹣20x2+400x﹣1500
即y=﹣20x2+400x﹣1500
(3)y=﹣20x2+400x﹣1500=﹣20(x﹣10)2+500
∴當(dāng)x=10時，y的最大值為500.
∴當(dāng)每個面包單價定為10角時，該零售店每天獲得的利潤最大，最大利潤為500角.
【點評】求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法.本題難度一般.
23.如圖，在△ABC中，AB=AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD=∠B.
(1)求證：AC•CD=CP•BP;
(2)若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時，求BP的長.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)易證∠APD=∠B=∠C，從而可證到△ABP∽△PCD，即可得到 = ，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP;
(2)由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，從而可證到△BAP∽△BCA，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可求出BP的長.
【解答】解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C.
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴ = ，
∴AB•CD=CP•BP.
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP;
(2)∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP.
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C.
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴ = .
∵AB=10，BC=12，
∴ = ，
∴BP= .
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識，把證明AC•CD=CP•BP轉(zhuǎn)化為證明AB•CD=CP•BP是解決第(1)小題的關(guān)鍵，證到∠BAP=∠C進而得到△BAP∽△BCA是解決第(2)小題的關(guān)鍵.
24.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，該拋物線的頂點為M.
(1)求該拋物線的解析式及點M的坐標;
(2)判斷△BCM的形狀，并說明理由;
(3)探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形與△BCM相似?若存在，請直接寫出點P的坐標;若不存在，請說明理由.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)已知拋物線圖象上的三點坐標，可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式;
(2)根據(jù)B、C、M的坐標，可求得△BCM三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可;
(3)假設(shè)存在符合條件的P點;首先連接AC，根據(jù)A、C的坐標及(2)題所得△BDC三邊的比例關(guān)系，即可判斷出點O符合P點的要求，因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或射影定理)求得OP的長，也就得到了點P的坐標.
【解答】解：(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，
∴ ，
解得： ，
則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)△BCM為直角三角形，理由為：
對于拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，即頂點M坐標為(1，﹣4)，
令x=0，得到y(tǒng)=﹣3，即C(0，﹣3)，
根據(jù)勾股定理得：BC=3 ，BM=2 ，CM= ，
∵BM2=BC2+CM2，
∴△BCM為直角三角形;
(3)若∠APC=90°，即P點和O點重合，如圖1，
連接AC，
∵∠AOC=∠MCB=90°，且 = ，
∴Rt△AOC∽Rt△MCB，
∴此時P點坐標為(0，0).
若P點在y軸上，則∠PAC=90°，如圖2，過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1，
∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM，
∴ = ，
即 = ，
∴點P1(0， ).
若P點在x軸上，則∠PCA=90°，如圖3，過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，
∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，
∴ = ，
即 = ，AP2=10，
∴點P2(9，0).
∴符合條件的點有三個：O(0，0)，P1(0， )，P2(9，0).
【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，(3)題中能夠發(fā)現(xiàn)點O是符合要求的P點，是解決此題的突破口.
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