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上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中試題

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  在初三的時(shí)候我們要做準(zhǔn)備好我們的數(shù)學(xué)去考試哦,今天小編就給大家參考一下九年級(jí)數(shù)學(xué),希望大家來(lái)收藏閱讀哦

  九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中試題參考

  一、選擇題(共10小題,每小題3分,本大題滿分30分. 每一道小題有A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)最符合題目要求,把最符合題目要求的選項(xiàng)的代號(hào)直接填涂在答題卡內(nèi)相應(yīng)題號(hào)下的方框中,不涂、涂錯(cuò)或一個(gè)方框內(nèi)涂寫的代號(hào)超過一個(gè),一律得0分.)

  1.二次函數(shù)y=x2-2x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

  A.(1,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,3)

  2.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與點(diǎn)P(-2,3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

  A.(3,-2) B.(2,3) C.(2,-3) D.(-3,-3)

  3.已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c,則下列說法中錯(cuò)誤的是

  A.a確定拋物線的開口方向與大小

  B.若將拋物線C沿y軸平移,則a,b的值不變

  C.若將拋物線C沿x軸平移,則a的值不變

  D.若將拋物線C沿直線l:y=x+2平移,則a、b、c的值全變

  4.如圖,B,C是⊙O上兩點(diǎn),且∠α=96°,A是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),則∠A為

  A.48° B.132° C.48°或132° D.96°

  5.如圖,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以點(diǎn)C為圓心的圓與AB相切,則⊙C的半徑為

  A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6

  6.如圖,將半徑為6cm的圓折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心,則折痕的長(zhǎng)為

  A. B. C. 2 D. 3

  4題圖 5題圖 6題圖

  7.若二次函數(shù)y=mx2-4x+m有最大值-3,則m等于

  A.m=4 B.m=-4 C.m=1 D.m=-1

  8.在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)P(-3,2)繞點(diǎn)A(0,1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為

  A.(-1,-2) B.(3,-2) C.(1,4) D.(1,3)

  9.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC= ,將△ACB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AC′B′,則CB′的長(zhǎng)為

  A. B. C.3 D.

  9題圖 10題圖

  10.如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,3),(x1,0),其中,2

  A.②③④ B.①②③ C.②④ D.②③

  二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分)

  11.已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(-1,0),則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)

  的坐標(biāo)是    .

  12.拋物線的部分圖象如圖所示,則當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍是_________________.

  13.如圖,將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B'C,連接AA',若∠1= 20°,則∠B的度數(shù)為    .

  14.如圖,C是⊙O的弦BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),已知∠COB=130°,∠C=20°,OB=2,則AB的長(zhǎng)為________.

  第12題圖 第13題圖 第14題圖 第15題圖 第16題圖

  15.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4 cm,以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓,再過點(diǎn)A作半圓的切線,與半圓切于點(diǎn)F,與CD交于點(diǎn)E,則S梯形ABCE= cm2.

  16.如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,E,F(xiàn)分別在邊AC,BC,若以EF為直徑作圓經(jīng)過AB上某點(diǎn)D,則EF長(zhǎng)的取值范圍為 .

  三、解答題(共8小題,共72分)

  17.(5分)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-4),與y軸的交點(diǎn)是(0,-3),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

  18.(8分)如圖所示,△ABC與點(diǎn)O在10×10

  的網(wǎng)格中的位置如圖所示.

  (1) 畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形.

  (2) 若⊙M能蓋住△ABC,則⊙M的半徑最小值為________.

  19. (7分)河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋(如圖1),

  水面寬6m時(shí),水面離橋孔頂部3m,因降暴雨水面上升1m.

  (1)建立如下的坐標(biāo)系,求暴雨后水面的寬;

  (2)一艘裝滿物資的小船,露出水面部分高為0.5m、寬4m(橫斷面如圖2所示),暴雨后

  這艘船能從這座拱橋下通過嗎?(注:結(jié)果保留根號(hào).)

  圖1 圖2

  20.(7分)已知y關(guān)于x二次函數(shù)y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)與x軸有交點(diǎn).

  (1)求k的取值范圍;

  (2)若x1,x2是關(guān)于x的方程x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且x12+x22=39,

  求k的值.

  21.(7分)如圖,臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)A,并沿東北方向AC移動(dòng),已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為50

  千米/時(shí),受影響區(qū)域的半徑為130千米,B市位于點(diǎn)A的

  北偏東75°方向上,距離A點(diǎn)240千米處.

  (1)說明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市;

  (2)求這次臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間.

  22.(8分)某賓館有50個(gè)房間供游客居住,當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)120元時(shí),房間會(huì)全部住滿,當(dāng)每

  個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)有一個(gè)房間空閑,如果游客居住房間,賓館需對(duì)每

  個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用,設(shè)每個(gè)房間定價(jià)為x元(x為整數(shù)).

  (1)直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)解析式.

  (2)設(shè)賓館每天的利潤(rùn)為W元,當(dāng)每間房?jī)r(jià)定價(jià)為多少元時(shí),賓館每天所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?

  23.(8分)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,D是⊙O上一點(diǎn),且 ,CE⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

  (1)求證:∠CAB=∠CAE;

  (2)求證:CE是⊙O的切線;

  (3)若AE=1,BD=4,求⊙O的半徑長(zhǎng).

  24.(10分)如圖1,已知△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,點(diǎn)D,E分別在CB,CA上,且CD=CE,連AD,BE,F(xiàn)為AD的中點(diǎn),連CF.

  (1)求證:CF= BE,且CF⊥BE;

  (2)將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角(如圖2),其它條件不變,此時(shí)(1)中的結(jié)論

  是否仍成立?并證明你的結(jié)論.

  圖1 圖2

  25.(12分)如圖1,拋物線y=ax2+bx+c 的圖象與x軸交于A(-3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=OA.

  (1)求拋物線解析式;

  (2)過直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)M作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)N.已知M點(diǎn)

  的橫坐標(biāo)為m,試用含m的式子表示MN的長(zhǎng)及△ACM的面積S,并求當(dāng)MN的

  長(zhǎng)最大時(shí)S的值;

  (3)如圖2,D(0,-2),連接BD,將△OBD繞平面內(nèi)的某點(diǎn)(記為P)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

  180°得到△O′B′D′,O、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O′、B′、D′.若點(diǎn)B′、D′兩點(diǎn)恰好落

  在拋物線上,求旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P的坐標(biāo).

  圖1 圖2

  答案:

  1-10 A C D C B A B C B D

  11、(-3,0);12、-1

  17、y=(x+1)2-4

  18、(1)略;(2) (以AC為直徑)

  19、因?yàn)楫?dāng)水面寬AB=6m時(shí),水面離橋孔頂部3m,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,-3).

  把x=3,y=-3代入y=ax2得-3=a×32,解得 a= .

  把y=-2代入y= x2,得, .

  解得, .

  所以,點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為( ,-2)、(- ,-2),

  CD=2 .

  答:水位上升1m時(shí),水面寬約為2 m.

  (2)當(dāng)x=2時(shí),y= ,

  因?yàn)榇县浳镒罡唿c(diǎn)距拱頂1.5米,且| |<1.5,所以這艘船能從橋下通過.

  20、解:(1)∵y關(guān)于x二次函數(shù)y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)與x軸有交點(diǎn),

  ∴△≥0,即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+5k+9)≥0,

  解得k≤ ;

  (2)根據(jù)題意可知x1+x2=2k+1,x1x2=k2+5k+9,

  ∵x12+x22=39,

  ∴(x1+x2)2-2x1x2=39,

  ∴(2k+1)2-2(k2+5k+9)=39,解得k=7或k=-4,

  ∵k≤ ,

  ∴k=-4.

  21、解:(1)作BD⊥AC于點(diǎn)D.

  在Rt△ABD中,由條件知,AB=240,∠BAC=75°﹣45°=30°,

  ∴BD=240× =120<130,

  ∴本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市.

  (2)如圖,以點(diǎn)B為圓心,以130為半徑作圓交AC于E,F(xiàn),

  若臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到E時(shí),臺(tái)風(fēng)開始影響B(tài)市,臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到F時(shí),臺(tái)風(fēng)影響結(jié)束.

  由(1)得BD=240,由條件得BE=BF=130,

  ∴EF=2 =100,

  ∴臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間t= =2(小時(shí)).

  故B市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為2小時(shí).

  22、解:(1)y=50- =-0.1x+62;

  (2)w=(x-20)(-0.1x+62)

  =-0.1x2+64x-1240

  =-0.1(x-320)2+9000,

  ∴當(dāng)x=320時(shí),w取得最大值,最大值為9000,

  答:當(dāng)每間房?jī)r(jià)定價(jià)為320元時(shí),賓館每天所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是9000元.

  23、證明:(1)∵ ,∴∠CDB=∠CBD,

  ∵∠CAE=∠CBD,∠CAB=∠CDB,

  ∴∠CAB=∠CAE;

  (2)連接OC

  ∵AB為直徑,∴∠ACB=90°=∠AEC,

  又∵∠CAB=∠CAE,∴∠ABC=∠ACE,

  ∵OB=OC,∴∠BCO=∠CBO,∴∠BCO=∠ACE,∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°,

  ∴EC⊥OC,

  ∵OC是⊙O的半徑,

  ∴CE是⊙O的切線.

  (3)過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,

  ∵∠CAB=∠CAE,CE⊥DA,

  ∴AE=AF,

  在△CED和△CFB中,

  ,

  ∴△CED≌△CFB,

  ∴ED=FB,

  設(shè)AB=x,則AD=x-2,

  在△ABD中,由勾股定理得,x2=(x-2)2+42,

  解得,x=5,

  ∴⊙O的半徑的長(zhǎng)為2.5.

  24、解:(1)在△ACD和△BCE中,

  ∵ ,

  ∴△ACD≌△BCE(SAS),

  ∴AD=BE、∠CAD=∠CBE,

  ∵F為AD中點(diǎn),∠ACD=90°,

  ∴FC=AF= AD,

  ∴CF= BE,∠CAD=∠ACF,

  ∴∠CBE=∠ACF,

  ∴∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠BCE=90°,

  ∴CF⊥BE;

  (2)此時(shí)仍有CF= BE、CF⊥BE,

  延長(zhǎng)CF至G,使FG=CF,連接GA,

  在△CDF和△GAF中,

  ∵ ,

  ∴△DFC≌△AFG(SAS),

  ∴GA=CD,∠FDC=∠FAG,

  ∴AG∥DC,AG=CE,

  ∴∠GAC+∠DCA=180°,

  又∵∠BCE+∠DCA=∠BCA+∠ACD+∠ECA=∠BCA+∠ECD=180°,

  ∴∠GAC=∠BCE,

  在△BCE和△CAG中,

  ∵ ,

  ∴△BCE≌△CAG(SAS),

  ∴CG=BE,∠CBE=∠ACG,

  ∴CF= BE,∠CBE+∠BCF=∠BCA=90°,

  ∴CF⊥BE.

  解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x-1),

  將C(0,3)代入解析式得,-3a=3,解得a=-1,

  ∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3.

  (2)如圖1中,

  ∵A(﹣3,0),C(0,3),

  ∴直線AC解析式為y=x+3,OA=OC=3,

  設(shè)M(m,-m2-2m+3),則N(m,m+3),

  則MN=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m(-3

  ,

  MN=-m2-3m=-(m+ )2+ ,

  ∵a=-1<0, -3

  ∴m=- 時(shí),MN最大,此時(shí)S= ;

  (3)如圖2中,旋轉(zhuǎn)180°后,對(duì)應(yīng)線段互相平行且相等,則BD與B′D′互相平行且相等.

  設(shè)B′(t,-t2-2t+3),則D′(t+1,-t2-2t+3+2)

  ∵B′在拋物線上,則-(t+1)2-2(t+1)+3=-t2-2t+3+2,

  解得,t= ,則B′的坐標(biāo)為( , ),

  P是點(diǎn)B和點(diǎn)B′的對(duì)稱中心,

  ∴P( , ).

  初三九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

  一、選擇題(每題4分,共40分).

  1.下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是(  )

  A. B. C. D.

  2.下列計(jì)算,正確的是(  )

  A. B. C. D.

  3.若 是方程 的一個(gè)根,則 的值為(  )

  A. B. C. D.

  4.用配方法解方程 時(shí),配方結(jié)果正確的是( )

  A. B. C. D.

  5.已知 ,則 的值為(  )

  A. B. C. D.

  6.下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是(  )

  A.2cm,3cm,4cm,5cm B.1cm, cm,2cm, cm

  C.1.5cm,2.5cm,4.5cm,6.5cm D.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm

  7.如圖,某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為 ,寬為 的矩形空地上修建三條同樣寬的道路,剩余的空地上種植草坪,使草坪的面積為 .若設(shè)道路的寬為 ,則下面所列方程正確的是( )

  A. B.

  C. D.

  8.我們知道:四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為2的正方形 的邊 在 軸上, 的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) 固定點(diǎn) , ,把正方形沿箭頭方向推,使點(diǎn) 落在 軸正半軸上點(diǎn) 處,則點(diǎn) 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為( )

  A. B. C. D.

  9.如圖,已知∠1=∠2,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定△ABC∽△ADE的是(  )

  A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C. D.

  10.如圖,已知△ABC的周長(zhǎng)為1,連結(jié)△ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形,再連結(jié)第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形,依此類推,則第2016個(gè)三角形的周長(zhǎng)為(  )

  A. B. C. D.

  二、填空題(每題4分,共24分).

  11.使 有意義的 的取值范圍是   .

  12.方程 的根是

  13.小明的身高為1.6米,他的影長(zhǎng)是2米,同一時(shí)刻某古塔的影長(zhǎng)是5米,則古塔的高度是  米.

  14.已知2

  15.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)G為△ABC的重心,AG=2,則DG=  .

  16.如圖,點(diǎn)B、C是線段AD上的點(diǎn),△ABE、△BCF、△CDG都是等邊三角形,且AB=4,BC=6,已知△ABE與△CDG的相似比為2:5.則①CD=  ; ②圖中陰影部分面積為  .

  三、解答題(共86分).

  17.計(jì)算:(8分)

  (1)(212-418+348)×52; (2)18-22-82+(5-1)0.

  18.解方程: (8分)

  19.先化簡(jiǎn),再求值: ,其中 (8分)

  20.已知:關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.求證:不論m取何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(8分)

  21.求證:兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。(請(qǐng)根據(jù)題意畫出圖形,寫出已知, 求證并證明) (8分)

  22. (8分)受益于國(guó)家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重利好因素,我市某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤(rùn)逐年提高,據(jù)統(tǒng)計(jì),2014年利潤(rùn)為2億元,2016年利潤(rùn)為2.88億元.

  (1)求該企業(yè)從2014年到2016年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率;

  (2)若2017年保持前兩年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率不變,該企業(yè)2017年的利潤(rùn)能否超過3.4億元?

  23.(8分)如圖,線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,﹣1),B(3,1),將線段AB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到對(duì)應(yīng)線段CD(點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng),點(diǎn)B與D對(duì)應(yīng)).

  (1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段CD;

  (2)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)C(______,______),D(______,______);

  (3)在x軸上求作一點(diǎn)P,使△PCD的周長(zhǎng)最小,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(___,___).

  24.(8分)如圖,已知E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn),BF⊥AE于F.

  (1)求證:△ABF∽△EAD;

  (2)當(dāng)AD= , 時(shí),求AF的長(zhǎng).

  25. (10分) 某地大力發(fā)展經(jīng)濟(jì)作物,其中果樹種植已初具規(guī)模,今年受氣候、雨水等因素的影響,櫻桃較去年有小幅度的減產(chǎn),而枇杷有所增產(chǎn).

  (1)該地某果農(nóng)今年收獲櫻桃和枇杷共400千克,其中枇杷的產(chǎn)量不超過櫻桃產(chǎn)量的7倍,求該果農(nóng)今年收獲櫻桃至少多少千克?

  (2)該果農(nóng)把今年收獲的櫻桃、枇杷兩種水果的一部分運(yùn)往市場(chǎng)銷售,該果農(nóng)去年櫻桃的市場(chǎng)銷售量為100千克,銷售均價(jià)為30元/千克,今年櫻桃的市場(chǎng)銷售量比去年減少了 %,銷售均價(jià)與去年相同,該果農(nóng)去年枇杷的市場(chǎng)銷售量為200千克,銷售均價(jià)為20元/千克,今年枇杷的市場(chǎng)銷售量比去年增加了 %,但銷售均價(jià)比去年減少了 %,該果農(nóng)今年運(yùn)往市場(chǎng)銷售的這部分櫻桃和枇杷的銷售總金額與他去年櫻桃和枇杷的市場(chǎng)銷售總金額相同,求 的值.

  26. (12分) 閱讀下面材料:

  小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC邊上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足為E,求證:BC=2AE.小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn),過點(diǎn)A作AF⊥BC,垂足為F,得到∠AFB=∠BEA,從而可證△ABF≌△BAE(如圖2),使問題得到解決.

  (1)根據(jù)閱讀材料回答:△ABF與△BAE全等的條件是 (填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個(gè))參考小明思考問題的方法,解答下列問題:

  (2)如圖3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC的中點(diǎn),E為DC的中點(diǎn),點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的長(zhǎng);

  (3)如圖4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上,且AD= DB(其中0< < ),∠AED=∠BCD,求 的值(用含k的式子表示).

  秋九年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)科試卷參考答案

  一、選擇題(每題4分,共40分).

  1.下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是(C)

  A. B. C. D.

  2.下列計(jì)算,正確的是(D)

  A. B. C. D.

  3.若 是方程 的一個(gè)根,則 的值為(D)

  A. B. C. D.

  4.用配方法解方程 時(shí),配方結(jié)果正確的是( B )

  A. B. C. D.

  5.已知 ,則 的值為( D )

  A. B. C. D.

  6.下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是( B )

  A.2cm,3cm,4cm,5cm B.1cm, cm,2cm, cm

  C.1.5cm,2.5cm,4.5cm, 6.5cm D.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm

  7.如圖,某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為 ,寬為 的矩形空地上修建三條同樣寬的道路,剩余的空地上種植草坪,使草坪的面積為 .若設(shè)道路的寬為 ,則下面所列方程正確的是( A )

  A. B.

  C. D.

  8.我們知道:四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為2的正方形 的邊 在 軸上, 的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) 固定點(diǎn) , ,把正方形沿箭頭方向推,使點(diǎn) 落在 軸正半軸上點(diǎn) 處,則點(diǎn) 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 的坐標(biāo)為( D )

  A. B. C. D.

  9.如圖,已知∠1=∠2,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定△ABC∽△ADE的是(D)

  A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C. D.

  10.如圖,已知△ABC的周長(zhǎng)為1,連結(jié)△ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形,再連結(jié)第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形,依此類推,則第2016個(gè)三角形的周長(zhǎng)為(C)

  A. B. C. D.

  二、填空題(每題4分,共24分).

  11.使 有意義的 的取值范圍是  x≥6  .

  12.方程 的根是 ,

  13.小明的身高為1.6米,他的影長(zhǎng)是2米,同一時(shí)刻某古塔的影長(zhǎng)是5米,則古塔的高度是 4 米.

  14.已知2

  15.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)G為△ABC的重心,AG=2,則DG= 1 .

  16.如圖,點(diǎn)B、C是線段AD上的點(diǎn),△ABE、△BCF、△CDG都是等邊三角形,且AB=4,BC=6,已知△ABE與△CDG的相似比為2:5.則①CD= 10 ; ②圖中陰影部分面積為   .

  三、解答題(共86分).

  17.計(jì)算:

  (1)(212-418+348)×52; (2)18-22-82+(5-1)0.

  (1)原式=806-10;

  (2)原式=2+1.

  18.解方程:

  解:(x-3)(x-1)=3

  x2-4x+3=3,

  x2-4x=0,

  x(x-4)=0,

  x1=0,x2=4.

  19.先化簡(jiǎn),再求值: ,其中

  解:原式=x2﹣2+x﹣x2=x﹣2,

  當(dāng)x= +2時(shí),

  原式= +2﹣2= .

  20.已知:關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.求證:不論m取何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

  證明:∵△=[﹣(2m+1)]2﹣4(m2+m﹣2)

  =4m2+4m+1﹣4m2﹣4m+8=9>0,

  ∴不論m取何值,方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

  21.求證:兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。(請(qǐng)根據(jù)題意畫出圖形,寫出已知, 求證并證明)

  22.受益于國(guó)家支持新能 源汽車發(fā)展和“一帶一路”發(fā)展戰(zhàn)略等多重 利好因素,我市某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤(rùn)逐年提高,據(jù)統(tǒng)計(jì),2014年利潤(rùn)為2億元,2016年利潤(rùn)為2.88億元.

  (1)求該企業(yè)從2014年到2016年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率;

  (2)若2017年保持前兩年利潤(rùn)的年平 均增長(zhǎng)率不變,該企業(yè)2017年的利潤(rùn)能否超過3.4億元?

  解:(1)設(shè)這兩年該企業(yè)年利潤(rùn)平均增長(zhǎng)率為x.根據(jù)題意得

  2(1+x)2=2.88,

  解得 x1 =0.2=20%,x2 =﹣2.2 (不合題意,舍去).

  答:這兩年該企業(yè)年利潤(rùn)平均增長(zhǎng)率為20%.

  (2)如果2017年仍保持相同的年平均增長(zhǎng)率,那么2017年該企業(yè)年利潤(rùn)為:2.88(1+20%)=3.456,3.456>3.4

  答:該企業(yè)2017年的利潤(rùn)能超過3.4億元.

  23.如圖,線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,﹣1),B(3,1),將線段AB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到對(duì)應(yīng)線段CD(點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng),點(diǎn)B與D對(duì)應(yīng)).

  (1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段CD;

  (2)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)C(______,______),D(______,______);

  (3)在x軸上求作一點(diǎn)P,使△PCD的周長(zhǎng)最小,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(___,___).

  解:(1)如圖,CD為所作;

  (2)C(1,1),D(﹣1,4);

  (3)P(0.5,0).

  故答案為1,1;﹣1,4;0.5,0.

  24.如圖,已知E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn),BF⊥AE于F.

  (1)求證:△ABF∽△EAD;

  (2)當(dāng)AD= , 時(shí),求AF的長(zhǎng).

  【解答】(1)證明:∵正方形ABCD中,AB∥CD,

  ∴∠BAF=∠AED,

  ∵BF⊥AE,

  ∴∠AFB=90°,

  ∴∠AFB=∠D=90°,

  ∴△ABF∽△EAD.

  (2)解:∵四邊形ABCD是正方形,

  ∴AD=CD=AB=2

  ∵ = ,

  ∴DE= CD= ,

  在Rt△ADE中,AE= = = ,

  ∵△ABF∽△EAD,

  ∴ = ,

  ∴ = ,

  ∴AF=2.

  25. 某地大力發(fā)展經(jīng)濟(jì)作物,其中果樹種植已初具規(guī)模,今年受氣候、雨水等因素的影響,櫻桃較去年有小幅度的減產(chǎn),而枇杷有所增產(chǎn).

  (1)該地某果農(nóng)今年收獲櫻桃和枇杷共400千克,其中枇杷的產(chǎn)量不超過櫻桃產(chǎn)量的7倍,求該果農(nóng)今年收獲櫻桃至少多少千克?

  (2)該果農(nóng)把今年收獲的櫻桃、枇杷兩種水果的一部分運(yùn)往市場(chǎng)銷售,該果農(nóng)去年櫻桃的市場(chǎng)銷售量為100千克,銷售均價(jià)為30元/千克,今年櫻桃的市場(chǎng)銷售量比去年減少了 %,銷售均價(jià)與去年相同,該果農(nóng)去年枇杷的市場(chǎng)銷售量為200千克,銷售均價(jià)為20元/千克,今年枇杷的市場(chǎng)銷售量比去年增加了 %,但銷售均價(jià)比去年減少了 %,該果農(nóng)今年運(yùn)往市場(chǎng)銷售的這部分櫻桃和枇杷的銷售總金額與他去年櫻桃和枇杷的市場(chǎng)銷售總金額相同,求 的值.

  解:(1)設(shè)該果農(nóng)今年收獲櫻桃x千克,

  根據(jù)題意得:400﹣x≤7x,

  解得:x≥50,

  答:該果農(nóng)今年收獲櫻桃至少50千克;

  (2)由題意可得:

  100(1﹣m%)×30+200×(1+2m%)×20(1﹣m%)=100×30+200×20,

  令m%=y,原方程可化為:3000(1﹣y)+4000(1+2y)(1﹣y)=7000,

  整理可得:8y2﹣y=0

  解得:y1=0,y2=0.125

  ∴m1=0(舍去),m2=12.5

  ∴m2=12.5,

  答:m的值為12.5.

  26. 閱讀下面材料:

  小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC邊上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足為E,求證:BC=2AE.小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn),過點(diǎn)A作AF⊥BC,垂足為F,得到∠AFB=∠BEA,從而可證△ABF≌△BAE(如圖2),使問題得到解決.

  (1)根據(jù)閱讀材料回答:△ABF與△BAE全等的條件是 AAS (填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個(gè))參考小明思考問題的方法,解答下列問題:

  (2)如圖3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC的中點(diǎn),E為DC的中點(diǎn),點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的長(zhǎng);

  (3)如圖4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上,且AD= DB(其中0< < ),∠AED=∠BCD,求 的值(用含k的式子表示).

  解答證明:(1)如圖2,

  作AF⊥BC,

  ∵BE⊥AD,∴∠AFB=∠BEA,

  在△ABF和△BAE中,

  ,

  ∴△ABF≌△BAE(AAS),

  ∴BF=AE

  ∵AB=AC,AF⊥BC,

  ∴BF= BC,

  ∴BC=2AE,

  故答案為AAS

  (2)如圖3,

  連接AD,作CG⊥AF,

  在Rt△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC中點(diǎn),

  ∴AD=CD,

  ∵點(diǎn)E是DC中點(diǎn),

  ∴DE= CD= AD,

  ∴tan∠DAE= = = ,

  ∵AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D為BC中點(diǎn),

  ∴∠ADC=90°,∠ACB=∠DAC=45°,

  ∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°,

  ∵∠CDF=∠EAC,

  ∴∠F+∠EAC=45°,

  ∵∠DAE+∠EAC=45°,

  ∴∠F=∠DAE,

  ∴tan∠F=tan∠DAE= ,

  ∴ ,

  ∴CG= ×2=1,

  ∵∠ACG=90°,∠ACB=45°,

  ∴∠DCG=45°,

  ∵∠CDF=∠EAC,

  ∴△DCG∽△ACE,

  ∴ ,

  ∵CD= AC,CE= CD= AC,

  ∴ ,

  ∴AC=4;

  ∴AB=4;

  (3)如圖4,

  過點(diǎn)D作DG⊥BC,設(shè)DG=a,

  在Rt△BGD中,∠B=30°,

  ∴BD=2a,BG= a,

  ∵AD=kDB,

  ∴AD=2ka,AB=BD+AD=2a+2ka=2a(k+1),

  過點(diǎn)A作AH⊥BC,

  在Rt△ABH中,∠B=30°.

  ∴BH= a(k+1),

  ∵AB=AC,AH⊥BC,

  ∴BC=2BH=2 a(k+1),

  ∴CG=BC﹣BG= a(2k+1),

  過D作DN⊥AC交CA延長(zhǎng)線與N,

  ∵∠BAC=120°,

  ∴∠DAN=60°,

  ∴∠ADN=30°,

  ∴AN=ka,DN= ka,

  ∵∠DGC=∠AND=90°,∠AED=∠BCD,

  ∴△NDE∽△GDC.

  ∴ ,

  ∴ ,

  ∴NE=3ak(2k+1),

  ∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a(k+1)﹣2ak(3k+1)=2a(1﹣3k2),

  ∴ = .

  秋季學(xué)期九年級(jí)上數(shù)學(xué)期中試題

  一、單選題(共 10 題,每題 4 分,共 40 分)

  1.下列說法正確的是( )

  A.同圓或等圓中弧相等,則它們所對(duì)的圓心角也相等

  B.0°的圓心角所對(duì)的弦是直徑

  C.平分弦的直徑垂直于這條弦

  D.三點(diǎn)確定一個(gè)圓

  2.向上發(fā)射一枚炮彈,經(jīng) x 秒后的高度為 y 公尺,且時(shí)間與高度關(guān)系為 y  ax2  bx .若

  此炮彈在第 7 秒與第 14 秒時(shí)的高度相等,則在下列哪一個(gè)時(shí)間的高度是最高的?( )

  A.第 8 秒 B.第 10 秒 C.第 12 秒 D.第 15 秒

  3.若將函數(shù) y  2x2 的圖象向上平移 5 個(gè)單位,再向右平行移動(dòng) 1 個(gè)單位,得到的拋物線是

  ( )

  A. y  2 x  52 1

  C. y  2 x 12  5

  B. y  2 x  52 1

  D. y  2 x 12  5

  4.一個(gè)布袋里裝有 4 個(gè)只有顏色不同的球,其中 3 個(gè)紅球,1 個(gè)白球.從布袋里摸出 1 個(gè)球,記下顏色后放回,攪勻,再摸出 1 個(gè)球,則兩次摸到的球都是紅球的概率是( )

  5.已知二次函數(shù) y  ax2  bx  c 的圖象如圖所示,有以下結(jié)論:

 ?、賏+b+c<0; ②a-b+c>1; ③abc>0;

 ?、?a-2b+c<0; ⑤c-a>1. 其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )

  A.2 個(gè) B.3 個(gè)

  C.4 個(gè) D.5 個(gè)

  6.如圖,AB 是半圓 O 的直徑,點(diǎn) C 在半圓 O 上,把半圓沿弦 AC 折疊, AC 恰好經(jīng)過點(diǎn)

  O,則 BC 與 AC 的關(guān)系是( )

  A.BC  1 AC

  2

  B.

  BC  1 AC

  3

  C.

  BC  AC

  D.不能確定

  7.如圖,Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB=2,以 AB 的中點(diǎn) D 為圓心 DC 為半徑,作圓心角為 90°的扇形 DEF,則圖中陰影部分的面積為( )

  A.   2 2

  B.  1 2

  C.π-2 D.π-1

  8.已知二次函數(shù) y=﹣x2+x+6 及一次函數(shù) y=﹣x+m,將該二次函數(shù)在 x 軸上方的圖象沿 x 軸翻折到 x 軸下方,圖象的其余部分不變,得到一個(gè)新函數(shù)(如圖所示),當(dāng)直線

  y=﹣x+m 與新圖象有 4 個(gè)交點(diǎn)時(shí),m 的取值范圍是( )

  A.  25  m  3 4

  B.  25  m  2 4

  C.﹣2

  9.已知如圖,拋物線 y  x2  2x  3 交 x 軸于 A、B 兩點(diǎn),頂點(diǎn)為 C,CH⊥AB 交 x 軸于

  H,在 CH 右側(cè)的拋物線上有一點(diǎn) P,已知 PQ⊥AC,垂足為 Q,當(dāng)∠ACH=∠CPQ 時(shí), 此時(shí) CP 的長(zhǎng)為( )

  10.二維碼已經(jīng)給我們的生活帶來(lái)了很大方便,它是由大小相同的黑白兩色的小正方形(如圖 1 中 C)按某種規(guī)律組成的一個(gè)大正方形,現(xiàn)有 25×25 格式的正方形如圖 1,角上是三個(gè) 7×7 的 A 型大黑白相間正方形,中間右下一個(gè) 5×5 的 B 型黑白相間正方形,除這

  4 個(gè)正方形外,若其他的小正方形白色塊數(shù) y 與黑色塊數(shù) x 正好滿足如圖 2 所示的函數(shù)圖象,則該 25×25 格式的二維碼共有多少塊黑色的 C 型小正方形( )

  A.153 B.218 C.100 D.216

  二、填空題(共 6 題,每題 5 分,共 30 分)

  11.. 如圖, 四個(gè)函數(shù)的圖像中, 分別對(duì)應(yīng)的是: ① y  ax2 ; ② y  bx2 ; ③ y  cx2 ;

  ④ y  dx2 .則 a、b、c、d 的大小關(guān)系為 .

  第 11 題圖 第 13 題圖

  12.三名運(yùn)動(dòng)員參加定點(diǎn)投籃比賽,原定出場(chǎng)順序是:甲第一個(gè)出場(chǎng),乙第二個(gè)出場(chǎng),丙第三個(gè)出場(chǎng),由于某種原因,要求這三名運(yùn)動(dòng)員用抽簽方式重新確定出場(chǎng)順序,則抽簽后每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的出場(chǎng)順序都發(fā)生變化的概率為 .

  13.如圖,C 為半圓內(nèi)一點(diǎn),O 為圓心,直徑 AB 長(zhǎng)為 2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,將

  △BOC 繞圓心 O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′OC ′,點(diǎn) C ′ 在 OA 上,則邊 BC 掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為 cm2.(結(jié)果保留 π)

  14.平行于 x 軸的直線 l 分別與一次函數(shù) y=﹣x+3 和二次函數(shù) y=x2﹣2x﹣3 的圖象交于

  A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三點(diǎn),且 x1

  15.在平面直角坐標(biāo)系,對(duì)于點(diǎn) P(x,y)和 Q(x,y′ ),給出如下定義:若 y   y  x  0 ,

  

  則稱點(diǎn) Q 為點(diǎn) P 的“可控變點(diǎn)”.例如:點(diǎn)(1,2)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)(1,2),點(diǎn)

  ( ﹣ 1 , 3) 的“ 可控變點(diǎn)” 為點(diǎn)( ﹣ 1 ,﹣ 3) .點(diǎn)( ﹣ 5 ,﹣ 2) 的“ 可控變點(diǎn)” 坐標(biāo)為 ;若點(diǎn) P 在函數(shù) y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的圖象上,其“可控變點(diǎn)”Q 的縱坐標(biāo) y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16,實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 .

  16.某電商銷售一款夏季時(shí)裝,進(jìn)價(jià) 40 元/件,售價(jià) 110 元/件,每天銷售 20 件,每銷售一

  件需繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用 a 元(a>0).未來(lái) 30 天,這款時(shí)裝將開展“每天降價(jià) 1

  元”的夏令促銷活動(dòng),即從第 1 天起每天的單價(jià)均比前一天降 1 元.通過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)

  現(xiàn),該時(shí)裝單價(jià)每降 1 元,每天銷量增加 4 件.在這 30 天內(nèi),要使每天繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用后的利潤(rùn)隨天數(shù) t ( t 為正整數(shù)) 的增大而增大, a 的取值范圍應(yīng)為 .

  三、解答題(共 8 題,共 80 分)

  17.(8 分)某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管破裂,維修人員為更新管道,需確定管道圓形截面的半徑,如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

  (1)請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面(要求:保留作圖痕跡,標(biāo)出圓心 O);

  (2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬 AB=16cm,水面最深地方的高度為 4cm,求這個(gè)圓形截面的半徑.

  18.(8 分)已知拋物線 y  ax2  bx  c 與 x 軸交于點(diǎn) A(1,0),B(3,0),且過點(diǎn)C(0,-3)

  (1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo);

  (2)請(qǐng)你寫出一種平移的方法,使平移后拋物線的頂點(diǎn)落在直線 y=-x 上,并寫出平移后拋物線的表達(dá)式.

  19.(8 分)如圖,已知 AB 是⊙O 的弦,OB=2,∠B=30°,C 是弦 AB 上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)

  A、B 重合),連接 CO 并延長(zhǎng) CO 交⊙O 于點(diǎn) D,連接 AD.

  (1)弦長(zhǎng) AB 等于 (結(jié)果保留根號(hào));

  (2)當(dāng)∠D=20°時(shí),求∠BOD 的度數(shù).

  20.(10 分)隨著通訊技術(shù)迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式更加多樣、便捷.李老師組織數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們開展了“你最喜歡的溝通方式”問卷調(diào)查活動(dòng),并在全校范圍內(nèi)隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生(每人必選且只選一種),將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題:

  (1)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示“微信”的扇形圓心角的度數(shù)為 ;

  (2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

  (3)寒假中的某一天,張明和李響都想從“電話”、“微信”、“QQ”三種溝通方式選一種方式與李老師聯(lián)系,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出張明和李響兩名同學(xué)恰好選中同一種溝通方式的概率.

  21.(10 分)已知在△ABC 中,AB=AC,以 AB 為直徑的⊙O 分別交 AC 于 D,BC 于 E,連接 ED.

  (1)求證:ED=EC;

  (2)若 CD=3, EC  2

  ,求 AB 的長(zhǎng).

  22.(10 分)若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直且相等,則稱這個(gè)四邊形為“奇妙四邊形”.如圖 1,四邊形 ABCD 中,若 AC=BD,AC⊥BD,則稱四邊形 ABCD 為奇妙四邊形.根據(jù)“奇妙四邊形”對(duì)角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個(gè)重要性質(zhì):

  “奇妙四邊形”的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半.根據(jù)以上信息回答:

  (1)矩形 “奇妙四邊形”(填“是”或“不是”);

  (2)如圖 2,已知⊙O 的內(nèi)接四邊形 ABCD 是“奇妙四邊形”,若⊙O 的半徑為 6,

  ∠BCD=60°.“奇妙四邊形”ABCD 的面積為 ;

  (3)如圖 3,已知⊙O 的內(nèi)接四邊形 ABCD 是“奇妙四邊形”作 OM⊥BC 于 M.請(qǐng)猜測(cè)

  OM 與 AD 的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

  23.(12 分)某商家銷售一款商品,進(jìn)價(jià)每件 80 元,售價(jià)每件 145 元,每天銷售 40 件,每

  銷售一件需支付給商場(chǎng)管理費(fèi) 5 元,未來(lái)一個(gè)月(按 30 天計(jì)算),這款商品將開展

  “每天降價(jià) 1 元”的促銷活動(dòng),即從第一天開始每天的單價(jià)均比前一天降低 1 元,通過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品單價(jià)每降 1 元,每天銷售量增加 2 件,設(shè)第 x 天(1≤x≤30 且 x 為整數(shù))的銷售量為 y 件.

  (1)直接寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式;

  (2)設(shè)第 x 天的利潤(rùn)為 w 元,試求出 w 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出哪一天的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?

  24.(14 分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知 A,B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-4,0),

  (4,0),C(m,0)是線段 AB 上一點(diǎn)(與 A,B 點(diǎn)不重合),拋物線 L1: y  ax2  b x  c

  (a<0)經(jīng)過點(diǎn) A,C,頂點(diǎn)為 D,拋物線 L2: y  ax2  b x  c (a<0)經(jīng)過點(diǎn) C,B,

  頂點(diǎn)為 E,AD,BE 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F.

  (1)若 a  1 ,m=-1,求拋物線 L ,L 的解析式;

  2 1 2

  (2)若 a=-1,AF⊥BF,求 m 的值;

  (3)是否存在這樣的實(shí)數(shù) a(a<0),無(wú)論 m 取何值, 直線 AF 與 BF 都不可能互相垂直?若存在,請(qǐng)直接寫出 a 的兩個(gè)不同的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.


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