九年級數(shù)學上學期期末試卷
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初三九年級數(shù)學上學期期末試卷
一、選擇題(本大題共 6 題，每小題 4 分)
1. 下列圖形中，一定相似的是( )
A. 兩個正方形 B. 兩個菱形 C. 兩個直角三角形 D. 兩個等腰三角形
2. 如圖，已知
AB CD EF / / / / ，它們依次交直線 于點A 、D 、F和點B 、C 、E ，如果
AD DF : 3:1 ， BE 10，那么CE等于( )
3. 在 RtABC中， C 90 ，如果 A BC , ，那么AC等于( )
A.
atan
B.
acot
C.
asin
D.
acos
4. 下列判斷錯誤的是( )
A.
0 0 a
B. 如果
a b c 2 ， a b c 3 ，其中
c 0，那么
a b //
C. 設
e
為單位向量，那么
e 1
D. 如果
a b 2 ，那么
a b 2
或
a b 2
5. 如圖，已知
ABC ，D 、E
分別在邊
AB 、AC
上，下列條件中，不能確定
ADE ∽ ACB
的是( )
A.
AED B
B.
BDE C 180
C.
AD BC AC DE
D.
AD AB AE AC
6. 已知二次函數(shù)
2
y ax bx c
的圖像如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是( )
A.
ac 0
B.
b 0
C.
a c 0
D.
abc 0
二、填空題(本大題共 12 題，每小題 4 分)
7. 如果
____________.
8. 計算：3 2 2 3 a b a b ____________.
9. 如果兩個相似三角形的相似比為 1:3，那么它們的周長比為____________.
10. 二次函數(shù)
2
y x x 4 1
的圖像的頂點坐標是____________.
11. 拋物線
2
y x mx m 3
的對稱軸是直線
x 1，那么
m ____________.
12. 拋物線
2
y x 2
在
y
軸右側(cè)的部分是____________.(填“上升”或“下降”)
13. 如果
是銳角，且
sin cos20 ，那么
____________度.
14. 如圖，某水庫大壩的橫斷面是梯形
ABCD，壩高為 15 米，迎水坡
CD
的坡度為 1:2.4，那么該
水庫迎水坡
CD
的長度為____________米.
15. 如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點
A 、 B 、C
都在這些小正方形的頂點上，則
tanABC
的值為____________.
16. 在
ABC
中， AB AC ，高
AH
與中線
BD
相交于點
E ，如果
BC BD 2, 3，那么
AE
____________.
17. 如圖，在 Rt
ABC
中， ACB AC CAB 90 , 1,tan 2 ，將
ABC
繞點
A
旋轉(zhuǎn)后，點
B
落在 AC 的延長線上的點 D ，點 C 落在點 E ， DE 與直線 BC 相交于點 F ，那么 CF
____________.
18. 對于封閉的平面圖形，如果圖形上或圖形內(nèi)的點
S
到圖形上的任意一點
P
之間的線段都在圖
形內(nèi)或圖形上，那么這樣的點
S
稱為“亮點”.如圖，對于封閉圖形
ABCDE ， 1 S
是“亮點”，
2 S
不是“亮點”，如果
AB DE AE DC / / , / / ，AB AE 2, 1， B C 60 ，那么該圖形中所有
“亮點”組成的圖形的面積為____________.
三、解答題(本大題共 7 題，滿分 78 分)
19. (本題滿分 10 分)
計算：
1
2
1
sin30 1 cot 30 3 tan30
cos 45
.
20. (本題滿分 10 分，第(1)題 5 分，第(2)題 5 分)
如圖，在平行四邊形
ABCD
中，點
E
在邊
BC
上，CE BE 2 ， AC 、 DE
相交于點
F .
(1)求
DF EF :
的值;
(2)如果
CB a CD b
, ，試用
a 、b
表示向量
EF .
21. (本題滿分 10 分，第(1)題 5 分， 第(2)題 5 分)
如圖，在
ABC
中，點
D 、 E
分別在邊
AB 、 AC
上，
2 AE AD AB ABE ACB , .
(1)求證：
DE BC / /
;
(2)如果
: 1:8 ADE DBCE S S四邊形
，求
: ADE BDE S S
的值.
22. (本題滿分 10 分)
如圖，在港口
A
的南偏東 37°方向的海面上，有一巡邏艇
B ， A 、 B
相距 20 海里，這時在巡
邏艇的正北方向及港口
A
的北偏東 67°方向上，有一漁船
C
發(fā)生故障.得知這一情況后，巡邏艇以
25 海里/小時的速度前往救援，問巡邏艇能否在 1 小時內(nèi)到達漁船
C
處?
(參考數(shù)據(jù)：
12 5 sin37 0.60,cos37 0.80, tan37 0.75,sin 67 ,cos67 ,
13 13
12 tan 67
5
)
23. (本題滿分 12 分，第(1)題 7 分，第(2)題 5 分)
已知：如圖，在
ABC
中，點
D 、E
分別在邊
BC 、AC
上，點
F
在
DE
的延長線上，AD AF ，
AE CE DE EF .
(1)求證：
ADE ∽ ACD
;
(2)如果
AE BD EF AF ，求證： AB AC .
24. (本題滿分 12 分，第(1)題 3 分，第(2)題 5 分，第(3)題 4 分)
在平面直角坐標系
xOy
中，將拋物線
2
y x
平移后經(jīng)過點
A1,0 、B4,0 ，且平移后的
拋物線與
y
軸交于點
C
(如圖).
(1)求平移后的拋物線的表達式;
(2)如果點
D
在線段
CB
上，且
CD 2 ，求
CAD
的正弦值;
(3)點
E
在
y
軸上且位于點
C
的上方，點
P
在直線
BC
上，點
Q
在平移后的拋物線上，如果四邊
形
ECPQ
是菱形，求點
Q
的坐標.
25. (本題滿分 14 分，第(1)題 4 分，第(2)題 6 分， 第(3)題 4 分)
如圖，在梯形
ABCD
中，AD BC BC DB DC / / , 18, 15 ，點
E 、F
分別在線段
BD、CD
上， DE DF 5. AE
的延長線交邊
BC
于點
G ， AF
交
BD
于點
N 、其延長線交
BC
的延長
線于點
H .
(1)求證：
BG CH
;
(2)設
AD x ， ADN
的面積為
y ，求
y
關(guān)于
x
的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;
(3)聯(lián)結(jié)
FG ，當
HFG
與
ADN
相似時，求
AD
的長.
參考答案
1-6、ACDDCD
7、
2
3
8、a 9、1:3 10、2, 5 11、2
12、上升 13、70 14、39 15、
1
2
16、2 3
17、
1
2
18、
3
4
19、 3
20、(1)
3: 2
;(2)
4 2
15 5
a b
21、(1)證明略;(2)
1: 2
22、 BC 21 25，能
23、(1)證明略;(2)證明略;
24、(1)
2
y x x 3 4
;(2)
5 221 sin
221
CAD
;(3)
4 2,5 2 2
25、(1)證明略;(2)
九年級數(shù)學上期末試卷閱讀
一.選擇題(共16小題)
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.x2﹣y=1 B.x2+2x﹣3=0 C.x2+=3 D.x﹣5y=6
2.方程x2﹣2x﹣3=0經(jīng)過配方法化為(x+a)2=b的形式，正確的是( )
A.(x﹣1)2=4 B.(x+1)4 C.(x﹣1)2=16 D.(x+1)2=16
3.有兩個事件，事件A：367人中至少有2人生日相同;事件B：拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點數(shù)為偶數(shù).下列說法正確的是( )
A.事件A、B都是隨機事件
B.事件A、B都是必然事件
C.事件A是隨機事件，事件B是必然事件
D.事件A是必然事件，事件B是隨機事件
4.如圖，有一電路AB是由圖示的開關(guān)控制，閉合a，b，c，d，e五個開關(guān)中的任意兩個開關(guān)，使電路形成通路，則使電路形成通路的概率是( )
A. B. C. D.
5.下列關(guān)系式中，屬于二次函數(shù)的是(x是自變量)( )
A.y= B.y= C.y= D.y=ax2+bx+c
6.下列關(guān)于函數(shù)的圖象說法：①圖象是一條拋物線;②開口向下;③對稱軸是y軸;④頂點(0，0)，其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
7.二次函數(shù)圖象上部分點的坐標對應值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
則該函數(shù)圖象的對稱軸是( )
A.x=﹣3 B.x=﹣2 C.x=﹣1 D.x=0
8.已知⊙O的直徑是10，圓心O到直線l的距離是5，則直線l和⊙O的位置關(guān)系是( )
A.相離 B.相交 C.相切 D.外切
9.如圖，已知：AB是⊙O的直徑，C、D是上的三等分點，∠AOE=60°，則∠COE是( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
10.如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為r，扇形的圓心角等于120°，則圍成的圓錐模型的高為( )
A.r B.2r C. r D.3r
11.已知反比例函數(shù)y=﹣，下列結(jié)論中不正確的是( )
A.圖象必經(jīng)過點(﹣3，2)
B.圖象位于第二、四象限
C.若x<﹣2，則0
D.在每一個象限內(nèi)，y隨x值的增大而減小
12.如圖所示，反比例函數(shù)y=(k≠0，x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC的對角線AC的中點D.若矩形OABC的面積為8，則k的值為( )
A.2 B.2 C. D.2
13.已知△ABC∽△DEF，面積比為9：4，則△ABC與△DEF的對應角平分線之比為( )
A.3：4 B.2：3 C.9：16 D.3：2
14.如圖，如果正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，那么圖形所在平面內(nèi)，可作為旋轉(zhuǎn)中心的點個數(shù)( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
15.如圖所示，長為8cm，寬為6cm的矩形中，截去一個矩形(圖中陰影部分)，如果剩下矩形與原矩形相似，那么剩下矩形的面積是( )
A.28cm2 B.27cm2 C.21cm2 D.20cm2
16.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4，BC的中點為D.將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意一個角度得到△FEC，EF的中點為G，連接DG.在旋轉(zhuǎn)過程中，DG的最大值是( )
A.4 B.6 C.2+2 D.8
二.填空題(共3小題)
17.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的實數(shù)a、b的值：a= ，b= .
18.如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線y=x2﹣1上運動，當⊙P與x軸相切時，圓心P的坐標為 .
19.如圖，PA，PB分別切⊙O于A，B，并與⊙O的切線，分別相交于C，D，已知△PCD的周長等于8cm，則PA= cm;已知⊙O的直徑是6cm，PO= cm.
三.解答題(共7小題)
20.定義新運算：對于任意實數(shù)m、n都有m☆n=m2n+n，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運算.例如：﹣3☆2=(﹣3)2×2+2=20.根據(jù)以上知識解決問題：若2☆a的值小于0，請判斷方程：2x2﹣bx+a=0的根的情況.
21.在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，從盒中隨機取出一個棋子，它是黑色棋子的概率是.
(1)試寫出y與x的函數(shù)解析式;
(2)若往盒子中再放入10顆黑色棋子，則取得黑色棋子的概率變?yōu)?，求x與y的值.
22.如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象相交于點A、點B，與X軸交于點C，其中點A(﹣1，3)和點B(﹣3，n).
(1)填空：m= ，n= .
(2)求一次函數(shù)的解析式和△AOB的面積.
(3)根據(jù)圖象回答：當x為何值時，kx+b≥(請直接寫出答案) .
23.如圖，△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉(zhuǎn)60°而得，且AB⊥BC，BE=CE，連接DE.
(1)求證：△BDE≌△BCE;
(2)試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由.
24.如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且=.
(1)求證：△ADF∽△ACG;
(2)若=，求的值.
25.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)求證：AE是⊙O的切線;
(3)當BC=4時，求劣弧AC的長.
26.如圖，已知拋物線y=﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A(﹣2，0).
(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸方程;
(2)求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形?若存在，求出符合條件的Q點坐標;若不存在，請說明理由.
2018-2019學年河北省保定市博野縣九年級(上)期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題(共16小題)
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.x2﹣y=1 B.x2+2x﹣3=0 C.x2+=3 D.x﹣5y=6
【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可.
【解答】解：A、x2﹣y=1是二元二次方程，不合題意;
B、x2+2x﹣3=0是一元二次方程，符合題意;
C、x2+=3不是整式方程，不合題意;
D、x﹣5y=6是二元一次方程，不合題意，
故選：B.
【點評】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵.
2.方程x2﹣2x﹣3=0經(jīng)過配方法化為(x+a)2=b的形式，正確的是( )
A.(x﹣1)2=4 B.(x+1)4 C.(x﹣1)2=16 D.(x+1)2=16
【分析】根據(jù)配方法即可求出答案.
【解答】解：x2﹣2x+1﹣1﹣3=0，
(x﹣1)2=4，
故選：A.
【點評】本題考查一元二次方程的配方法，解題的關(guān)鍵是熟練運用配方法，本題屬于基礎題型.
3.有兩個事件，事件A：367人中至少有2人生日相同;事件B：拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點數(shù)為偶數(shù).下列說法正確的是( )
A.事件A、B都是隨機事件
B.事件A、B都是必然事件
C.事件A是隨機事件，事件B是必然事件
D.事件A是必然事件，事件B是隨機事件
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件.首先判斷兩個事件是必然事件、隨機事件，然后找到正確的答案.
【解答】解：事件A、一年最多有366天，所以367人中必有2人的生日相同，是必然事件;
事件B、拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點數(shù)為1、2、3、4、5、6共6種情況，點數(shù)為偶數(shù)是隨機事件.
故選：D.
【點評】該題考查的是對必然事件的概念的理解;解決此類問題，要學會關(guān)注身邊的事物，并用數(shù)學的思想和方法去分析、看待、解決問題.用到的知識點為：必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
4.如圖，有一電路AB是由圖示的開關(guān)控制，閉合a，b，c，d，e五個開關(guān)中的任意兩個開關(guān)，使電路形成通路，則使電路形成通路的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】只有閉合兩條線路里的兩個才能形成通路.列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可.
【解答】解：列表得：
(a，e) (b，e) (c，e) (d，e) ﹣
(a，d) (b，d) (c，d) ﹣ (e，d)
(a，c) (b，c) ﹣ (d，c) (e，c)
(a，b) ﹣ (c，b) (d，b) (e，b)
﹣ (b，a) (c，a) (d，a) (e，a)
∴一共有20種情況，使電路形成通路的有12種情況，
∴使電路形成通路的概率是=，
故選：C.
【點評】本題結(jié)合初中物理的“電路”考查了有關(guān)概率的知識.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件;用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
5.下列關(guān)系式中，屬于二次函數(shù)的是(x是自變量)( )
A.y= B.y= C.y= D.y=ax2+bx+c
【分析】根據(jù)函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函數(shù)，可得答案.
【解答】解：A、是二次函數(shù)，故A正確;
B、不是二次函數(shù)的形式，故B錯誤;
C、是分式，故C錯誤;
D、a=0是一次函數(shù)，故D錯誤;
故選：A.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函數(shù)，注意y=ax2+bx+c 是二次函數(shù)a不等于零.
6.下列關(guān)于函數(shù)的圖象說法：①圖象是一條拋物線;②開口向下;③對稱軸是y軸;④頂點(0，0)，其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【分析】函數(shù)是一種最基本的二次函數(shù)，畫出圖象，直接判斷.
【解答】解：①二次函數(shù)的圖象是拋物線，正確;
②因為a=﹣<0，拋物線開口向下，正確;
?、垡驗閎=0，對稱軸是y軸，正確;
?、茼旤c(0，0)也正確.
故選：D.
【點評】本題考查了拋物線y=ax2的性質(zhì)：①圖象是一條拋物線;②開口方向與a有關(guān);③對稱軸是y軸;④頂點(0，0).
7.二次函數(shù)圖象上部分點的坐標對應值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
則該函數(shù)圖象的對稱軸是( )
A.x=﹣3 B.x=﹣2 C.x=﹣1 D.x=0
【分析】由當x=﹣3與x=﹣1時y值相等，利用二次函數(shù)圖象的對稱性即可求出二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=﹣2，此題得解.
【解答】解：∵當x=﹣3與x=﹣1時，y值相等，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x==﹣2.
故選：B.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)圖象的對稱性找出其對稱軸是解題的關(guān)鍵.
8.已知⊙O的直徑是10，圓心O到直線l的距離是5，則直線l和⊙O的位置關(guān)系是( )
A.相離 B.相交 C.相切 D.外切
【分析】求出⊙O的半徑，和圓心O到直線l的距離5比較即可.
【解答】解：∵⊙O的直徑是10，
∴⊙O的半徑r=5，
∵圓心O到直線l的距離d是5，
∴r=d，
∴直線l和⊙O的位置關(guān)系是相切，
故選：C.
【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應用，注意：當圓心到直線的距離等于圓的半徑時，直線與圓相切.
9.如圖，已知：AB是⊙O的直徑，C、D是上的三等分點，∠AOE=60°，則∠COE是( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
【分析】先求出∠BOE=120°，再運用“等弧對等角”即可解.
【解答】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°﹣∠AOE=120°，
∴的度數(shù)是120°，
∵C、D是上的三等分點，
∴弧CD與弧ED的度數(shù)都是40度，
∴∠COE=80°.
故選：C.
【點評】本題利用了鄰補角的概念和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.
10.如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為r，扇形的圓心角等于120°，則圍成的圓錐模型的高為( )
A.r B.2r C. r D.3r
【分析】首先求得圍成的圓錐的母線長，然后利用勾股定理求得其高即可.
【解答】解：∵圓的半徑為r，扇形的弧長等于底面圓的周長得出2πr.
設圓錐的母線長為R，則=2πr，
解得：R=3r.
根據(jù)勾股定理得圓錐的高為2r，
故選：B.
【點評】本題主要考查圓錐側(cè)面面積的計算，正確理解圓的周長就是扇形的弧長是解題的關(guān)鍵.
11.已知反比例函數(shù)y=﹣，下列結(jié)論中不正確的是( )
A.圖象必經(jīng)過點(﹣3，2)
B.圖象位于第二、四象限
C.若x<﹣2，則0
D.在每一個象限內(nèi)，y隨x值的增大而減小
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進行選擇即可.
【解答】解：A、圖象必經(jīng)過點(﹣3，2)，故A正確;
B、圖象位于第二、四象限，故B正確;
C、若x<﹣2，則y<3，故C正確;
D、在每一個象限內(nèi)，y隨x值的增大而增大，故D正確;
故選：D.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的選擇，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
12.如圖所示，反比例函數(shù)y=(k≠0，x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC的對角線AC的中點D.若矩形OABC的面積為8，則k的值為( )
A.2 B.2 C. D.2
【分析】過D作DE⊥OA于E，設D(a，)，于是得到OA=2a，OC=，根據(jù)矩形的面積列方程即可得到結(jié)論.
【解答】解：如圖，過D作DE⊥OA于E，
設D(a，)，
∴OE=a.DE=，
∵點D是矩形OABC的對角線AC的中點，
∴OA=2a，OC=，
∵矩形OABC的面積為8，
∴OA•OC=2a•=8，
∴k=2，
故選：A.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵.
13.已知△ABC∽△DEF，面積比為9：4，則△ABC與△DEF的對應角平分線之比為( )
A.3：4 B.2：3 C.9：16 D.3：2
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出相似比，得到對應角的角平分線之比.
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積比為9：4，
∴△ABC與△DEF的相似比為3：2，
∴△ABC與△DEF對應角的角平分線之比為3：2，
故選：D.
【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方;相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比.
14.如圖，如果正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，那么圖形所在平面內(nèi)，可作為旋轉(zhuǎn)中心的點個數(shù)( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【分析】分別以C，D，CD的中點為旋轉(zhuǎn)中心進行旋轉(zhuǎn)，都可以使正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合.
【解答】解：以C為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)90°，可得到正方形CDEF;
以D為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可得到正方形CDEF;
以CD的中點為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD旋轉(zhuǎn)180°，可得到正方形CDEF;
故選：C.
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.
15.如圖所示，長為8cm，寬為6cm的矩形中，截去一個矩形(圖中陰影部分)，如果剩下矩形與原矩形相似，那么剩下矩形的面積是( )
A.28cm2 B.27cm2 C.21cm2 D.20cm2
【分析】根據(jù)題意，剩下矩形與原矩形相似，利用相似形的對應邊的比相等可得.
【解答】解：依題意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
則矩形ABDC∽矩形FDCE，
則，
設DF=xcm，得到：
解得：x=4.5，
則剩下的矩形面積是：4.5×6=27cm2.
故選：B.
【點評】本題就是考查相似形的對應邊的比相等，分清矩形的對應邊是解決本題的關(guān)鍵.
16.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4，BC的中點為D.將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意一個角度得到△FEC，EF的中點為G，連接DG.在旋轉(zhuǎn)過程中，DG的最大值是( )
A.4 B.6 C.2+2 D.8
【分析】解直角三角形求出AB、BC，再求出CD，連接CG，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CG，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出D、C、G三點共線時DG有最大值，再代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=AC÷cos30°=4÷=8，
BC=AC•tan30°=4×=4，
∵BC的中點為D，
∴CD=BC=×4=2，
連接CG，∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意一個角度得到△FEC，EF的中點為G，
∴CG=EF=AB=×8=4，
由三角形的三邊關(guān)系得，CD+CG>DG，
∴D、C、G三點共線時DG有最大值，
此時DG=CD+CG=2+4=6.
故選：B.
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出DG取最大值時是解題的關(guān)鍵.
二.填空題(共3小題)
17.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的實數(shù)a、b的值：a= 1 ，b= 2 .
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根;②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根;③當△<0時，方程無實數(shù)根;進而得出答案.
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=b2﹣4ac=b2﹣4a=0，
符合一組滿足條件的實數(shù)a、b的值：a=1，b=2等.
故答案為：1，2.
【點評】此題主要考查了根的判別式，正確求出a，b之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.
18.如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線y=x2﹣1上運動，當⊙P與x軸相切時，圓心P的坐標為 (，2)或(﹣，2) .
【分析】當⊙P與x軸相切時，點P的縱坐標是2或﹣2，把點P的坐標坐標代入函數(shù)解析式，即可求得相應的橫坐標.
【解答】解：依題意，可設P(x，2)或P(x，﹣2).
?、佼擯的坐標是(x，2)時，將其代入y=x2﹣1，得
2=x2﹣1，
解得x=±，
此時P(，2)或(﹣，2);
?、诋擯的坐標是(x，﹣2)時，將其代入y=x2﹣1，得
﹣2=x2﹣1，即﹣1=x2
無解.
綜上所述，符合條件的點P的坐標是(，2)或(﹣，2);
故答案是：(，2)或(﹣，2).
【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.解題時，為了防止漏解或錯解，一定要分類討論.
19.如圖，PA，PB分別切⊙O于A，B，并與⊙O的切線，分別相交于C，D，已知△PCD的周長等于8cm，則PA= 4 cm;已知⊙O的直徑是6cm，PO= 5 cm.
【分析】根據(jù)切線長定理可得DA=DE，BC=CE，PA=PB，根據(jù)△PCD的周長為PD+PC+DE+CE=PA+PB=8cm，可求PA的長，根據(jù)勾股定理可求OP的長.
【解答】解：∵PA，PB，CD是⊙O的切線
∴DA=DE，BC=CE，PA=PB，
∵△PCD的周長等于8cm，
∴PD+PC+CD=8cm
∴PD+PC+DE+CE=PA+PB=8cm
∴PA=4cm
連接OA，
∵PA=4cm，OA=3cm，
∴OP==5cm
故答案為：4，5
【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，熟練運用切線長定理是本題的關(guān)鍵.
三.解答題(共7小題)
20.定義新運算：對于任意實數(shù)m、n都有m☆n=m2n+n，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運算.例如：﹣3☆2=(﹣3)2×2+2=20.根據(jù)以上知識解決問題：若2☆a的值小于0，請判斷方程：2x2﹣bx+a=0的根的情況.
【分析】根據(jù)2☆a的值小于0結(jié)合新運算可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值范圍，再由根的判別式得出△=(﹣b)2﹣8a，結(jié)合a的取值范圍即可得知△的正負，由此即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵2☆a的值小于0，
∴22a+a=5a<0，解得：a<0.
在方程2x2﹣bx+a=0中，
△=(﹣b)2﹣8a≥﹣8a>0，
∴方程2x2﹣bx+a=0有兩個不相等的實數(shù)根.
【點評】本題考查了根的判別式以及新運算，解題的關(guān)鍵是找出△>0.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根的判別式的正負確定根的個數(shù)是關(guān)鍵.
21.在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，從盒中隨機取出一個棋子，它是黑色棋子的概率是.
(1)試寫出y與x的函數(shù)解析式;
(2)若往盒子中再放入10顆黑色棋子，則取得黑色棋子的概率變?yōu)椋髕與y的值.
【分析】(1)根據(jù)概率的求法：在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，共x+y顆棋子，如果它是黑色棋子的概率是，有=成立.化簡可得y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若往盒中再放進10顆黑色棋子，在盒中有10+x+y顆棋子，則取得黑色棋子的概率變?yōu)?，結(jié)合(1)的條件，可得，然后求出x，y的值即可.
【解答】解：(1)由題意得=，
解得：y=x，
答：y與x的函數(shù)解析式是y=x;
(2)根據(jù)題意，可得，
解方程組可求得：，
則x的值是15，y的值是25.
【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)=.
22.如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象相交于點A、點B，與X軸交于點C，其中點A(﹣1，3)和點B(﹣3，n).
(1)填空：m= ﹣3 ，n= 1 .
(2)求一次函數(shù)的解析式和△AOB的面積.
(3)根據(jù)圖象回答：當x為何值時，kx+b≥(請直接寫出答案) ﹣3≤x≤﹣1 .
【分析】(1)將A點坐標，B點坐標代入解析式可求m，n的值
(2)用待定系數(shù)法可求一次函數(shù)解析式，根據(jù)S△AOB=S△AOC﹣S△BOC可求△AOB的面積.
(3)由圖象直接可得
【解答】解：(1)∵反比例函數(shù)y=過點A(﹣1，3)，B(﹣3，n)
∴m=3×(﹣1)=﹣3，m=﹣3n
∴n=1
故答案為﹣3，1
(2)設一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b，且過(﹣1，3)，B(﹣3，1)
∴
解得：
∴解析式y(tǒng)=x+4
∵一次函數(shù)圖象與x軸交點為C
∴0=x+4
∴x=﹣4
∴C(﹣4，0)
∵S△AOB=S△AOC﹣S△BOC
∴S△AOB=×4×3﹣×4×1=4
(3)∵kx+b≥
∴一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方
∴﹣3≤x≤﹣1
故答案為﹣3≤x≤﹣1
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法，利用函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)關(guān)系式解決問題是本題關(guān)鍵.
23.如圖，△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉(zhuǎn)60°而得，且AB⊥BC，BE=CE，連接DE.
(1)求證：△BDE≌△BCE;
(2)試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根據(jù)垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，繼而可根據(jù)SAS證明△BDE≌△BCE;
(2)根據(jù)(1)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，繼而得出四條棱相等，證得四邊形ABED為菱形.
【解答】(1)證明：∵△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉(zhuǎn)60°而得，
∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBE=∠CBE=30°，
在△BDE和△BCE中，
∵，
∴△BDE≌△BCE(SAS);
(2)四邊形ABED為菱形;
由(1)得△BDE≌△BCE，
∵△BAD是由△BEC旋轉(zhuǎn)而得，
∴△BAD≌△BEC，
∴BA=BE，AD=EC=ED，
又∵BE=CE，
∴四邊形ABED為菱形.
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定，涉及知識點較多，難度較大.
24.如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且=.
(1)求證：△ADF∽△ACG;
(2)若=，求的值.
【分析】(1)由∠AED=∠B、∠DAE=∠CAB利用三角形內(nèi)角和定理可得出∠ADF=∠C，結(jié)合=，即可證出△ADF∽△ACG;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出=，由=可得出=，再結(jié)合FG=AG﹣AF即可求出的值.
【解答】(1)證明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠CAB，
∴∠ADF=∠C.
又∵=，
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG，
∴=.
∵=，
∴=，
∴==1.
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟記相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
25.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)求證：AE是⊙O的切線;
(3)當BC=4時，求劣弧AC的長.
【分析】(1)由圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得∠ABC的度數(shù);
(2)由AB是⊙O的直徑，根據(jù)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，則可得AE是⊙O的切線;
(3)首先連接OC，易得△OBC是等邊三角形，則可得∠AOC=120°，由弧長公式，即可求得劣弧AC的長.
【解答】解：(1)∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，
∴∠ABC=∠D=60°;
(2)∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°.
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線;
(3)如圖，連接OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的長為.
【點評】此題考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長公式等知識.此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意輔助線的作法.
26.如圖，已知拋物線y=﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A(﹣2，0).
(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸方程;
(2)求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形?若存在，求出符合條件的Q點坐標;若不存在，請說明理由.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=﹣求出對稱軸方程;
(2)在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標;令y=0，可求出點B坐標.再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式;
(3)本問為存在型問題.若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解.
【解答】解：(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+4的圖象經(jīng)過點A(﹣2，0)，
∴﹣×(﹣2)2+b×(﹣2)+4=0，
解得：b=，
∴拋物線解析式為 y=﹣x2+x+4，
又∵y=﹣x2+x+4=﹣(x﹣3)2+，
∴對稱軸方程為：x=3.
(2)在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，
∴C(0，4);
令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，
解得：x=8或x=﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(8，0).
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B(8，0)，C(0，4)的坐標分別代入解析式，得：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為：y=﹣x+4.
(3)存在，
理由：∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，
可設點Q(3，t)，∵A(﹣2，0)，C(0，4)，
∴AC=2，AQ=，CQ=.
?、佼擜Q=CQ時，
有=，
25+t2=t2﹣8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1(3，0);
?、诋擜C=AQ時，
有2=，
∴t2=﹣5，此方程無實數(shù)根，
∴此時△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形;
?、郛擜C=CQ時，
有2=，
整理得：t2﹣8t+5=0，
解得：t=4±，
∴點Q坐標為：Q2(3，4+)，Q3(3，4﹣).
綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q1(3，0)，Q2(3，4+)，Q3(3，4﹣).
【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理、等腰三角形的判定等知識點.難點在于第(3)問，符合條件的等腰三角形△ACQ可能有多種情形，需要分類討論.
關(guān)于九年級數(shù)學上學期期末試卷
一、選擇題(本大題共10題，每小題3分，共計30分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的答案涂黑.)
1.拋物線y=(x﹣1)2+2的頂點坐標是 ( )
A.(1,2) B.(1.-2) C.(-1.2) D.(-1.-2)
2.一元二次方程x2=2x的根是 ( )
A.x=2 B.x=0 C.x¬1=0，x2=2 D.x1=0，x2=-2
3.已知點A在半徑為r的⊙O內(nèi)，點A與點O的距離為6，則r的取值范圍是 ( )
A.r < 6 B.r > 6 C.r ≥ 6 D.r ≤ 6
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，則BC的長為 ( )
A.7sin35° B. C.7cos35° D.7tan35°
5.在比例尺是1∶8000的地圖上，中山路的長度約為25cm，該路段實際長度約為( )
A.3200 m B.3000 m C.2 400 m D.2 000 m
6.如圖，點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC=40°，則∠AOC的大小是( )
A.90° B.80° C.70° D.50°
7.如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A、B間的距離：先在AB外選一點C，然后測出AC，BC的中點M，N，并測量出MN的長為6m，由此他就知道了A、B間的距離.有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是 ( )
A.AB=12m B.MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CM：MA=1：2
8.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B為圓心BC為半徑畫弧交AD于點E，連接CE，作BF⊥CE，垂足為F，則tan∠FBC的值為 ( )
A. B. C. D.
9.若點 ， ， 都在拋物線 上，則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為(1，0)，點D的坐標為(0，2).延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C;延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1，按這樣的規(guī)律進行下去，第2022個正方形(正方形ABCD看作第1個)的面積為 ( )
A.5 ( )2020 B.5 ( )2022
C.5 ( )2021 D.5 ( )2022
二、填空題(每題2分，共16分)
11. 若 = ，則 的值為 .
12.若一組數(shù)據(jù)1，2，x，4的眾數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的方差為 .
13. 將函數(shù)y=﹣2x2的圖象沿著x軸向右平移3個單位后所得到的圖象的函數(shù)表達式為 .
14.已知關(guān)于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 .
15.如圖，半徑為1的⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB、AE相切于點M、N，則劣弧 的長度為 .
16.小紅需要用扇形薄紙板制作成底面半徑為9厘米，高為12厘米的圓錐形生日帽，如圖所示，則該扇形薄紙板的圓心角為 .
17.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=18，cosB= ，把△ABC繞著點C旋轉(zhuǎn)，使點B與AB邊上的點D重合，點A落在點E處，則線段AE的長為 .
18.如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分別是AC、BC上的一點，且DE=3.若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為 .
三、解答題(本大題共10小題，共84分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) .
19.解方程：(每題4分，共8分)(1) x2-8x+6=0 (2) 2(x-1)2=3x-3
20.計算(每小題4分，共8分)
(1)﹣ +|1﹣4sin60°|; (2) .
21.(本題滿分8分)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，有一格點△ABC，已知A、B、C三點的坐標分別是A(1，0)、B(2，-1)、C(3，1).
(1) 請在網(wǎng)格圖形中畫出平面直角坐標系;
(2) 以原點O為位似中心，將△ABC放大2倍，畫出放大后的△A′B′C′;
(3) 寫出△A′B′C′各頂點的坐標：A′_______，B′________，
C′________;
(4) 寫出△A′B′C′的重心坐標：___________;
22.(本題滿分8分)撫順市某校想知道學生對“遙遠的赫圖阿拉”，“旗袍故里”等家鄉(xiāng)旅游品牌的了解程度，隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查，問卷有四個選項(每位被調(diào)查的學生必選且只選一項)A.十分了解，B.了解較多，C.了解較少，D.不知道.將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題：
(1)本次調(diào)查了多少名學生?
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)該校共有500名學生，請你估計“十分了解”的學生有多少名?
(4)在被調(diào)查“十分了解”的學生中有四名學生會干部，他們中有3名男生和1名女生，學校想從這4人中任選兩人做家鄉(xiāng)旅游品牌宣傳員，請用列表或畫樹狀圖法求出被選中的兩人恰好是一男一女的概率.
23.(本題滿分6分)如圖，為了測量建筑物AB的高度，在D處樹立標桿CD，標桿的高是2m，在DB上選取觀測點E、F，從E測得標桿和建筑物的頂部C、A的仰角分別為58°、45°.從F測得C、A的仰角分別為22°、70°.求建筑物AB的高度(精確到0.1m).(參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75.)
24.(本題滿分8分)如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠CAB的角平分線AD交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E.
(1)求證：DE是⊙O的切線;
(2)若∠CAB=60°，DE=3 ，求AC的長.
25.(本題滿分8分)“揚州漆器”名揚天下，某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y(件)與銷售單價x(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少?
(3)該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍.
26. (本題滿分10分)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm.點P從B出發(fā)沿BA 向A運動，速度為每秒1cm，點E是點B以P為對稱中心的對稱點.點P運動的同時，點Q從A出發(fā)沿AC向C運動，速度為每秒2cm .當點Q到達頂點C時，P，Q同時停止運動.設P， Q兩點運動時間為t秒.
(1)當t為何值時，PQ∥BC ?
(2)設四邊形PQCB的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)解析式;
(3)四邊形PQCB的面積與△APQ面積比能為3：2嗎?若能，求出此時t的值;若不能，請說明理由;
(4)當t為何值時，△AEQ為等腰三角形?
(直接寫出答案)
27.(本題滿分10分)如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點B的坐標為(1，0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE= DE.
?、偾簏cP的坐標;
②在直線PD上是否存在點M，使△ABM是以AB為斜邊的直角三角形?若存在，求出符合條件的點M的坐標;若不存在，請說明理由.
28.(本題滿分10分)【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目：
如圖①，點O為坐標原點，⊙O的半徑為1，點A(2，0).動點B在⊙O上，連結(jié)AB，作等邊△ABC(A，B，C為順時針順序)，求OC的最大值
【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接OB，以OB為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE，連接AE.
(1)請你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由;
(2)線段OC的最大值為 .
【靈活運用】
(3)如圖②，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(5，0)，點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求線段AM長的最大值及此時點P的坐標.
【遷移拓展】
(4)如圖③，BC=4 ，點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，以BD為邊作等邊△ABD，請直接寫出AC的最值.
九年級數(shù)學期末試卷評分標準
一、 選擇題(每題3分，共30分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C B C D B D D B C
二、填空題：(每空2分，共16分)
11. ;12. 1.5 ;13. ;14. m≤3且m≠2 ;
15. π ; 16. 216° ; 17. 8 ; 18.
三、解答題(本大題共10小題，共84分)
19.解方程：(每題4分，共8分)(1) x2-8x+6=0 (2) 2(x-1)2=3x-3
x1=4+ ，x2=4﹣ x1=1，x2=2.5
20.計算(每小題4分，共8分)
(1)﹣ +|1﹣4sin60°|; (2) .
=-2
=-1
21.(1) 1分(2)2分
(3)從圖可知：A(﹣2，0)，B(﹣4，2)，C(﹣6，﹣2);3分
(4)從圖上可知重心坐標(﹣4，0);2分
22.(1)15÷30%=50(人)，
答：本次調(diào)查了50名學生. 1分
(2)50﹣10﹣15﹣5=10(人)，
條形圖如圖所示：
1分
(3)500× =100(人)，
答：該校共有500名學生，請你估計“十分了解”的學生有100名. 1分
(4)樹狀圖如下：
3分
共有12種等可能情況，其中所選兩位參賽選手恰好是一男一女有6種.1分
所以，所選兩位參賽選手恰好是一男一女的概率P= = .1分
23.解：在Rt△CED中，∠CED=58°，
∵tan58°= ，∴DE= ，
在Rt△CFD中，∠CFD=22°，
∵tan22°= ，
∴DF= ，[中*@國&教%育出版~網(wǎng)]
∴EF=DF﹣DE= ，
同理：EF=BE﹣BF= ，
∴ ，[來源:zz%ste*p&.co#m~]
解得：AB≈5.9(米)
24. (1)(1)連接OD，如圖，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線; 4分
(2)連接BD，則∠ADB=90°，
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB=30°，
∵DE=3 ，
∴AD=6 ，
∴AB=12，
連接OC，則OC=OA=6，
∵∠CAB=60°，
∴AC=OA=OC=6. 4分
25. (1)由題意得： ，
解得： .
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣10x+700， 2分
(2)由題意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
設利潤為w=(x﹣30)•y=(x﹣30)(﹣10x+700)，
w=﹣10x2+1000x﹣21000 2分
=﹣10(x﹣50)2+4000，
∵﹣10<0，
∴x<50時，w隨x的增大而增大，
∴x=46時，w大=﹣10(46﹣50)2+4000=3840，
答：當銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元;2分
(3)w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，
﹣10(x﹣50)2=﹣250，
x﹣50=±5，
x1=55，x2=45，
如圖所示，由圖象得：
當45≤x≤55時，捐款后每天剩余利潤不低于3600元. 2分
26. (1)Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB=10cm.
∵BP=t，AQ=2t，
∴AP=AB﹣BP=10﹣t.
∵PQ∥BC，
∴ = ，
∴ = ，
解得t= ; 2分
(2)∵S四邊形PQCB=S△ACB﹣S△APQ= AC•BC﹣ AP•AQ•sinA
∴y= ×6×8﹣ ×(10﹣t)•2t•
=24﹣ t(10﹣t)
= t2﹣8t+24，
即y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y= t2﹣8t+24; 3分
(3)四邊形PQCB面積能是△ABC面積的 ，理由如下：
由題意，得 t2﹣8t+24= ×24，
整理，得t2﹣10t+12=0，
解得t1=5﹣ ，t2=5+ (不合題意舍去).
故四邊形PQCB面積能是△ABC面積的 ，此時t的值為5﹣ ; 2分
(4)△AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論：
?、偃绻鸄E=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t= ;
?、谌绻鸈A=EQ，那么(10﹣2t)× =t，解得t= ;
?、廴绻鸔A=QE，那么2t× =5﹣t，解得t= .
故當t為 秒 秒 秒時，△AEQ為等腰三角形. 3分
27. (1)∵B(1，0)，
∴OB=1，
∵OC=2OB=2，
∴C(﹣2，0)，
Rt△ABC中，tan∠ABC=2，
∴ ，
∴ ，
∴AC=6，
∴A(﹣2，6)，
把A(﹣2，6)和B(1，0)代入y=﹣x2+bx+c得： ，
解得： ，
∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4; 3分
(2)①∵A(﹣2，6)，B(1，0)，
易得AB的解析式為：y=﹣2x+2，
設P(x，﹣x2﹣3x+4)，則E(x，﹣2x+2)，
∵PE= DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣(﹣2x+2)= (﹣2x+2)，
x=1(舍)或﹣1，
∴P(﹣1，6); 3分
②∵M在直線PD上，且P(﹣1，6)，
設M(﹣1，y)，
∴AM2=(﹣1+2)2+(y﹣6)2=1+(y﹣6)2，
BM2=(1+1)2+y2=4+y2，
AB2=(1+2)2+62=45，
當∠AMB=90°時，有AM2+BM2=AB2，
∴1+(y﹣6)2+4+y2=45，
解得：y=3 ，
∴M(﹣1，3+ )或(﹣1，3﹣ );
綜上所述，點M的坐標為：∴M(﹣1，3+ )或(﹣1，3﹣ ) 4分
28.(1)如圖①中，結(jié)論：OC=AE，
理由：∵△ABC，△BOE都是等邊三角形，
∴BC=BA，BO=BE，∠CBA=∠OBE=60°，
∴∠CBO=∠ABE，
∴△CBO≌△ABE，
∴OC=AE. 2分
(2)在△AOE中，AE≤OE+OA，
∴當E、O、A共線，
∴AE的最大值為3，
∴OC的最大值為3.
故答案為3. 1分
(3)如圖1，連接BM，
∵將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∵A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(5，0)，
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，
∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值(如圖2中)
最大值=AB+AN，
∵AN= AP=2 ，
∴最大值為2 +3; 2分
如圖2，過P作PE⊥x軸于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE= ，
∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣ =2﹣ ，
∴P(2﹣ ， ). 1分
(4)如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△BCM，
∵∠ABD=∠CBM=60°，
∴∠ABC=∠DBM，∵AB=DB，BC=BM，
∴△ABC≌△DBM，
∴AC=MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC=4 =定值，∠BDC=90°，
∴點D在以BC為直徑的⊙O上運動，
由圖象可知，當點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大，最大值=2 +2 ，
∴AC的最大值為2 +2 . 2分
當點A在線段BD的右側(cè)時，同法可得AC的最小值為2 ﹣2 . 2分
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