數(shù)學(xué)與三角函數(shù)

　　三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一個重要部分,此內(nèi)容既有先前函數(shù)知識的延伸,又有三角知識的擴展。下面就和學(xué)習(xí)啦小編一起去學(xué)習(xí)三角函數(shù)吧。

　　數(shù)學(xué)與三角函數(shù)的定義

　　常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學(xué)、測繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中，還會用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恒等式。

　　三角函數(shù)十組誘導(dǎo)公式

　　公式一

　　sin(2kπ+α)=sin α

　　cos(2kπ+α)=cos α

　　tan(2kπ+α)=tan α

　　cot(2kπ+α)=cot α

　　sec(2kπ+α)=sec α

　　csc(2kπ+α)=csc α

　　公式二

　　sin(π+α)=-sin α

　　cos(π+α)=-cos α

　　tan(π+α)=tan α

　　cot(π+α)=cot α

　　sec(π+α)=-sec α

　　csc(π+α)=-csc α

　　公式三

　　sin(-α)=-sin α

　　cos(-α)=cos α

　　tan(-α)=-tan α

　　cot(-α)=-cot α

　　sec(-α)=sec α

　　csc(-α)=-csc α

　　公式四

　　sin(π-α)=sin α

　　cos(π-α)=-cos α

　　tan(π-α)=-tan α

　　cot(π-α)=-cot α

　　sec(π-α)=-sec α

　　csc(π-α)=csc α

　　公式五

　　sin(α-π)=-sin α

　　cos(α-π)=-cos α

　　tan(α-π)=tan α

　　cot(α-π)=cot α

　　sec(α-π)=-sec α

　　csc(α-π)=-csc α

　　公式六

　　sin(2π-α)=-sin α

　　cos(2π-α)=cos α

　　tan(2π-α)=-tan α

　　cot(2π-α)=-cot α

　　sec(2π-α)=sec α

　　csc(2π-α)=-csc α

　　公式七

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=−sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sec(π/2+α)=-cscα

　　csc(π/2+α)=secα

　　公式八

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　sec(π/2-α)=cscα

　　csc(π/2-α)=secα

　　公式九

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

　　sec(3π/2+α)=cscα

　　csc(3π/2+α)=-secα

　　公式十

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　sec(3π/2-α)=-cscα

　　csc(3π/2-α)=-secα

　　三角函數(shù)相關(guān)定理

　　正弦定理

　　對于邊長為a,b和c而相應(yīng)角為A,B和C的三角形，有：

　　sinA / a = sinB / b = sinC/c

　　也可表示為：

　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

　　其中R是三角形的外接圓半徑。

　　它可以通過把三角形分為兩個直角三角形并使用上述正弦的定義來證明。在這個定理中出現(xiàn)的公共數(shù) (sinA)/a是通過A,B和C三點的圓的直徑的倒數(shù)。正弦定理用于在一個三角形中(1)已知兩個角和一個邊求未知邊和角(2)已知兩邊及其一邊的對角求其他角和邊的問題。這是三角測量中常見情況。

　　三角函數(shù)正弦定理可用于求得三角形的面積：

　　S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

　　余弦定理

　　對于邊長為a、b、c而相應(yīng)角為A、B、C的三角形，有：

　　a² = b² + c²- 2bc·cosA

　　b² = a² + c² - 2ac·cosB

　　c² = a² + b² - 2ab·cosC

　　也可表示為：

　　cosC=(a² +b² -c²)/ 2ab

　　cosB=(a² +c² -b²)/ 2ac

　　cosA=(c² +b² -a²)/ 2bc

　　這個定理也可以通過把三角形分為兩個直角三角形來證明。余弦定理用于在一個三角形的兩個邊和一個角已知時確定未知的數(shù)據(jù)。

　　如果這個角不是兩條邊的夾角，那么三角形可能不是唯一的(邊-邊-角)。要小心余弦定理的這種歧義情況。

　　物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會用到相關(guān)知識。

　　延伸定理：第一余弦定理(任意三角形射影定理)

　　設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有

　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A

　　正切定理

　　對于邊長為a,b和c而相應(yīng)角為A,B和C的三角形，有：

　　(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]

　　廣義射影定理

　　三角形中任意一邊等于其他兩邊以及對應(yīng)角余弦的交叉乘積的和，即a=c cosB + b cosC

　　三角恒等式

　　對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　證明：

　　已知(A+B)=(π-C)

　　所以tan(A+B)=tan(π-C)

　　則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　類似地，我們同樣也可以求證:當α+β+γ=nπ(n∈Z)時，總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ。