數(shù)學(xué)勾股定理論文
勾股定理是數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的定理,同時(shí)也是一個(gè)歷史悠久的定理.下面學(xué)習(xí)啦小編給你分享數(shù)學(xué)勾股定理論文，歡迎閱讀。
數(shù)學(xué)勾股定理論文篇一
數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，又是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，能夠有效地提高分析問題和解決問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí).在《勾股定理》這一章中，蘊(yùn)含著許多重要的數(shù)學(xué)思想，現(xiàn)舉例介紹如下.
一、方程思想
在含有直角三角形的圖形中，求線段的長(zhǎng)往往要使用勾股定理，如果無法直接用勾股定理來計(jì)算，則需要列方程解決.
二、化歸思想
化歸思想就是通過一定的方法或途徑，把需要解決的問題變換形式，變化成另一類已經(jīng)解決或易于解決的問題，從而使原來的問題得到解決.
例3如圖3，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm.點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離為5cm，一只蝸牛如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需爬行的最短路程是多少?
分析：由于蝸牛是沿著長(zhǎng)方體的表面爬行的，故需把長(zhǎng)方體展開成平面圖形.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，蝸牛爬行的較短路程有兩種可能，如圖4、圖5所示.利用勾股定理容易求出兩種圖中AB的長(zhǎng)度，比較后即可求得蝸牛爬行的最短路程是25cm.
說明：這里通過長(zhǎng)方體的展開圖，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，把求蝸牛爬行的最短路程問題化歸成利用勾股定理求兩點(diǎn)間的距離問題.
例4如圖6，是一塊四邊形的草地ABCD，其中∠A = 60O，∠B =∠D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD、BC的長(zhǎng)(精確到0.1m，≈1.732).
(2004年天津市中考題)
分析：圖中無直角三角形，怎么辦?聯(lián)想到含30O角的直角三角形，因而延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，則∠E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m，BE == m，所以AD = 40≈22.7m，BC = 20≈14.6m.
說明：本題充分利用已知圖形的特點(diǎn)，通過構(gòu)造新圖形，將四邊形問題巧妙地轉(zhuǎn)化成了直角三角形問題.
三、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合，就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化，從而達(dá)到迅速解題的目的.
例5在一棵樹的10m高處有兩只猴子，其中一只爬下樹直奔離樹20m的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高?(2005年福建省龍巖市中考題)
分析：依題意畫出示意圖7，D為樹頂，AB = 10m，C為池塘，AC = 20m. 設(shè)BD = (m)，則樹高AD = ( +10)m.因?yàn)锳C + AB = BD + DC，所以DC = (30)m. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得方程202 + ( + 10)2 = (30)2，解得 = 5，所以 +10 = 15，即樹高15m.
說明：勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范，它把直角三角形有一個(gè)直角的“形”的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系.利用勾股定理解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成直角三角形模型，再利用方程來解決.
四、分類討論思想
在解題過程中，當(dāng)條件或結(jié)論不確定或不惟一時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生幾種可能的情況，這就需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)問題進(jìn)行分類，再針對(duì)各種不同的情況分別予以解決.最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的結(jié)論.分類討論實(shí)質(zhì)上是一種“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)方法.
例6 一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm、4cm，則第三邊的長(zhǎng)為______.
分析：此題中已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)，并沒有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類討論，答案是5cm或cm.
例7“曙光中學(xué)”有一塊三角形形狀的花圃ABC，現(xiàn)可直接測(cè)量到∠A = 30O，AC = 40米，BC = 25米，請(qǐng)你求出這塊花圃的面積. (2003年黑龍江省中考題)
分析：由于題目中沒有明確告訴我們△ABC的形狀，故需分兩種情況討論.
在圖8中，S△ABC=10 (20 + 15)米2;
在圖9中，S△ABC= 10(2015)米2.
說明：此類問題由于題目中沒有圖形，常需分類討論，解答時(shí)極易因考慮不周而導(dǎo)致漏解，希望同學(xué)們用心體會(huì).
五、整體思想
對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題，如果拘泥常規(guī)，從局部著手，則難以求解;如果把問題的某個(gè)部分或幾個(gè)部分看成一個(gè)整體進(jìn)行思考，就能開闊思路，較快解答題目.
例8已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為30cm， 斜邊長(zhǎng)為13cm，那么這個(gè)三角形的面積為______.
分析：設(shè)這個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為 ，斜邊為 ，則 = 3013 = 17，于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289，由勾股定理知2 + 2 = 289，即132+ 2 = 289，所以 = 60，故所求三角形面積S == 30cm2.
說明：我們要求的是面積，即，不一定要分別求出和的值，只要從整體上求出即可.
例9 如圖10所示，在直線上依次擺放著七個(gè)正方形.已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1 + S2 + S3 + S4 = ______.(2005年浙江省溫州市中考題)
分析：根據(jù)已知條件可知AC = EC，∠ABC = ∠CDE = 90O，由角的互余關(guān)系易證∠ACB =∠CED，這樣可得 △ABC ≌ △CDE，所以BC = ED，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有S1 + S2 = 1，同理可得S3 + S4 = 3，所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4.
說明：本題不是直接求出S1，S2，S3，S4，而是借助勾股定理求得S1 + S2，S3 +S4，體現(xiàn)了整體思想在解決問題中的靈活應(yīng)用.
數(shù)學(xué)勾股定理論文篇二
數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法.它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，并對(duì)人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的思維活動(dòng)起著指導(dǎo)和調(diào)控的作用.日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏認(rèn)為，學(xué)生在進(jìn)入社會(huì)以后，如果沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)，那么作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年就會(huì)忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用.靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，事半功倍.下面以勾股定理中滲透的數(shù)學(xué)思想為例說明.
一、分類思想
例1.(2013年貴州黔西南州)一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為( )
點(diǎn)評(píng)：本題的易錯(cuò)點(diǎn)是受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長(zhǎng)為4的邊當(dāng)作直角邊，從而誤選A，犯了考慮問題不全面的錯(cuò)誤.
二、方程思想
例2.(2013年山東濟(jì)南)如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度(滑輪上方的部分忽略不計(jì))為()
A.12mB.13mC.16mD.17m
分析：觀察圖形，當(dāng)繩子末端拉到距離旗桿8m處，可過繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)旗桿的高度為未知數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用勾股定理列方程求解.
解：如圖2，設(shè)旗桿的高度為x，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得(x-2)2+82=x2.
解得x=17m，即旗桿的高度為17m，答案選D.
三、整體思想
例3.(2013年江蘇揚(yáng)州)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)的差為2，對(duì)角線長(zhǎng)為4，則矩形的面積為____________.
分析：設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a、b(a>b)，則依據(jù)題意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面積等于ab，關(guān)鍵要設(shè)法將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為含有ab的式子.
解：設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為a、b (a>b)，則a-b=2.
五、數(shù)形結(jié)合思想
例5.(2013年湖南張家界)如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(10，0)、(0，4)，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng).當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.
分析：易知OD=5，要使△ODP為腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，可以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓;也可以點(diǎn)D為圓心，OD為半徑作圓.
解：由C(10，0)可知OD=5.
(1)以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓交邊
六、構(gòu)造思想例6.同例3
分析：根據(jù)已知條件，聯(lián)想到證明勾股定理的弦圖，本例便有如下巧妙解法.
數(shù)學(xué)勾股定理論文篇三
正確的數(shù)學(xué)思想是成功解題的關(guān)鍵所在.在運(yùn)用勾股定理解題時(shí)，若能正確把握數(shù)學(xué)思想，則可使思路開闊，方法簡(jiǎn)便快捷.下面列舉在應(yīng)用勾股定理時(shí)經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想，供同學(xué)們參考.
一、 方程思想
◆例1如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且點(diǎn)C落到E點(diǎn)，則CD等于( ).
A.2cm B.3cmC.4cmD.5cm
分析：由題意可知，ΔACD 和ΔAED關(guān)于直線AD對(duì)稱，因而有ΔACD ≌ΔAED .進(jìn)一步則有AE=AC=6cm，CD=ED，DE⊥AB.設(shè)CD=ED=xcm，則在ΔDEB中，由勾股定理可得DE2+BE2=BD2.又因在ΔABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10.所以有x2+(10- 6) 2=(8- x)2,解得x=3.故選B.
二、轉(zhuǎn)化思想
◆例2如圖2，長(zhǎng)方體的高為3cm，底面是正方形，邊長(zhǎng)為2cm.現(xiàn)有一小蟲從A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬行，到達(dá)C處，問小蟲走的路程最短為多少厘米?
分析：求幾何體表面最短距離問題，通?？蓪缀误w表面展開，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形.對(duì)于此題，可將該長(zhǎng)方體的右表面翻折至前表面，使A、C兩點(diǎn)共面，連結(jié)AC，線段AC的長(zhǎng)度即為最短路程(如圖3).由勾股定理可知AC2=32+42=52，即小蟲所走的最短路程為5cm.
三、分類討論思想
◆例3在ΔABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，試求BC的長(zhǎng).
分析：三角形中某邊上的高既可在三角形內(nèi)部，也可在三角形的外部，故此題應(yīng)分兩種情況來考慮.當(dāng)BC邊上的高AD在ΔABC的內(nèi)部時(shí)，如圖4，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，得BD=9;CD2=AC2-AD2， 得CD=16，則BC=BD+CD=9+16=25;當(dāng)BC上的高AD在ΔABC的外部時(shí)，如圖5，同樣由勾股定理可求得CD=16，BD=9，這時(shí)，BC=CD-BD=16- 9=7，故BC的長(zhǎng)為25或7.
四、數(shù)形結(jié)合思想
勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的定理，它的驗(yàn)證和應(yīng)用，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.這里不再舉例，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的練習(xí)中仔細(xì)體會(huì).
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