數(shù)學(xué)廣角雞兔同籠論文
數(shù)學(xué)廣角雞兔同籠論文
雞兔同籠 問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題,最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。下面學(xué)習(xí)啦小編給你分享數(shù)學(xué)廣角雞兔同籠論文，歡迎閱讀。
數(shù)學(xué)廣角雞兔同籠論文篇一
教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生了解“雞兔同籠”問題，掌握用嘗試法、假設(shè)法替換法解決問題，初步形成解決此類問題一般性策略。
2.通過自主探索、合作交流，讓學(xué)生經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問題的過程，在解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
3.使學(xué)生感受古代數(shù)學(xué)問題的趣味性，體會到“雞兔同籠”問題在生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
教學(xué)重點：用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題。
教學(xué)具準(zhǔn)備：電腦課件
一、問題引入，分配任務(wù)。(每人發(fā)一個信封，里面裝有題卡和學(xué)具)
“有五元和二元兩種面額的人民幣一共10張，總計32元。兩種人民幣各有幾張?”
二、合作探究，展現(xiàn)拔高。(抽一生上臺一一替換，老師記錄)
1.啟發(fā)演示：/讓學(xué)生先假設(shè)這10張全是二元的。于是動手拿出10張二元的(一共二十元，顯然不合要求)//然后再一一替換，抽出1張二元的，換上1張五元的，就多了3元，變成了20+3=23元，///再抽出1張二元的，換上1張五元的，就又多了3元，變成了23+3=26////再抽出1張二元的，換上1張五元的，就又多了3元，變成了26+3=29/////再抽出1張二元的，換上1張五元的，就又多了3元，變成了29+3=32。
2.方法探究：32-20=12元，少12元正好換了4次，說明五元的有4張。5元換2元一張多了3元，12/3=4。換4張才能把少的12元換回。
同樣方法演示全是5元的，再拿二元去替換也可以。
3.抽象算法(形成策略)：
(32-2×10)/(5-2)=4張五元或(5×10-32)/(5-2)=6張二元。
三、類化鞏固(自主練習(xí))。
?、俪鍪締栴}2。“有五元和二元兩種面額的人民幣一共100張，總計365元，兩種人民幣各有幾張?”
先由學(xué)生小組討論，在抽生上臺展示算法：
假設(shè)100張全是五元的，則一共有5×100=500元，多出了500-365=135元，拿多少個2元去換呢?一張2元換5元就少5-2=3元，135/3=45張2元。則5元有100-45=55張。
同樣，假設(shè)100張全是二元的，則一共有2×100=200元，少了365-200=165元，拿多少個5元去換呢?一張5元換2元就多5-2=3元，165/3=55張5元。則2元有100-55=45張。
?、谧约撼鲱}，交換答案.
展示學(xué)生甲出的題：42人去劃船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租有的大船和小船各有幾只?
展示學(xué)生乙的分析過程：(提示：假設(shè)10條都租小船。10*3=30人，42-30=12人沒坐上，則用大船替換，一只大船換一只小船就多5-3=2人，12/2=6只大船剛好換完。小船為：10-6=4只)或(5×10-42=8，8/(5-3)=4只小船)
四、歸納提高：
解決問題的策略：①制定解題計劃，假設(shè)與替換(同時滿足兩個條件，假設(shè)滿足了第一個條件入手) ②猜想與嘗試.(在想的基礎(chǔ)上去試一試)③反推.(驗證假設(shè)是否正確).
五、知識拓展。
其實我們剛才研究的這類題，早在古代，就有很多的數(shù)學(xué)家也做了研究，你瞧?；脽舫鍪?。
“雞兔同籠問題”是我國古算術(shù)《孫子算經(jīng)》中著名的數(shù)學(xué)問題，其內(nèi)容是：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雞兔各幾何?”
六、 解決生活問題(達(dá)標(biāo)測試)：
1.必作題： ①我班派12名同學(xué)植樹，男同學(xué)每人栽了3棵數(shù)，女同學(xué)每人載了兩棵數(shù)，一共栽了32棵樹，問男女同學(xué)各幾人?(學(xué)生獨立完成，教師巡視指導(dǎo))指名板演。
?、谛∶髻I了6角和8角的郵票共花5元，分別買了多少張?
2.選作題：
?、儆?元和2元的人民幣100張，總計290元，各有幾張2元，5元的?
?、?個大盒，5個小盒裝球100個，每個大盒比小盒多裝8個，問大盒和小盒各裝幾個?
反思
《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》明確要求：教師在教學(xué)過程中應(yīng)與學(xué)生積極互動，共同發(fā)展，要處理好傳授知識與培養(yǎng)能力的關(guān)系，關(guān)注個體差異，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。
首先，我由問題引入，采用的是獨學(xué)的方式讓學(xué)生獨立思考，在啟發(fā)演示中抽一生上臺一一替換，其余學(xué)生拿出信封里的演示幣來換，再讓學(xué)生小組討論：在這個過程中什么沒變，什么變了?(張數(shù)沒變，錢多少變了).這一過程體現(xiàn)了小組學(xué)習(xí)合作探究的學(xué)習(xí)方式。實踐證明：學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得明白，也體現(xiàn)了高效課堂的途徑--核心：自主、合作、探究。
在探究過程中我讓學(xué)生當(dāng)小老師，自己出題，交換答案，這樣提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生主動發(fā)展，滿足不同需要。
在布置作業(yè)環(huán)節(jié)，我采取必作和選作，旨在使每個學(xué)生都能得到提高，體現(xiàn)了因材施教的教學(xué)原則.同時題的設(shè)計緊密結(jié)合實際，讓學(xué)生學(xué)會在生活中解決問題，能解決生活中的數(shù)學(xué)問題，讓數(shù)學(xué)不再孤立，不再陌生。
本堂課我力求做到了三動：身動、心動、神動.
隨著教學(xué)形式的發(fā)展，打造高效課堂，教給學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法已勢在必行。“授人以魚不如授人以漁”，我認(rèn)為應(yīng)從以下幾個方面來培養(yǎng)學(xué)生，打造高效課堂： 1.培養(yǎng)好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。2.掌握高效學(xué)習(xí)方法：①預(yù)習(xí)。采用有效的預(yù)習(xí)方法。邊預(yù)習(xí)邊作好筆記，動筆練一練，做一做。重要的數(shù)學(xué)概念公式，不懂的作上記號，以便記憶和探討。在老師講解的時候認(rèn)真聽。②有效的復(fù)習(xí)?？鬃釉唬?ldquo;學(xué)而時習(xí)之，不亦樂乎?”及時復(fù)習(xí)。分步記憶法：學(xué)習(xí)后的半天，一天，三天，七天，半月后，分步進(jìn)行。階段系統(tǒng)復(fù)習(xí)――從時間上有周復(fù)習(xí)，期中復(fù)習(xí)，期習(xí)等。可以先回憶再看書，先看題后做題，先復(fù)習(xí)后筆記。③學(xué)習(xí)中要舉一反三。不要滿足于也有答案，數(shù)學(xué)題，可用分步，就能用綜合，用了方程，看算術(shù)是否更簡單。④學(xué)會梳理知識點。
數(shù)學(xué)廣角雞兔同籠論文篇二
在“雞兔同籠”問題的教學(xué)中，教師通常會將我國古代《孫子算經(jīng)》的簡單介紹附加到教學(xué)過程中，意圖在于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)歷史中的文化因素。這種想法固然好，但這種“附加”式的介紹對于實現(xiàn)這樣的目的很難有實質(zhì)性的作用。為了變“附加”為“融入”，讓數(shù)學(xué)史中的知識與文化更好地發(fā)揮育人功能，教師就需要對數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容做較為廣泛、深入的了解。
“雞兔同籠”問題在我國古代可以說源遠(yuǎn)流長，從問題的敘述到問題的算法都經(jīng)歷了不同形式的變化，了解這些內(nèi)容對于課程內(nèi)容的編制和教學(xué)設(shè)計會有所裨益。
一、 《孫子算經(jīng)》中的“雉兔同籠”
“雞兔同籠”問題始見于公元3～4世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》，該書作者不詳。從清代的《子部集成?科學(xué)技術(shù)?數(shù)理化學(xué)?孫子算經(jīng)?孫子算經(jīng)(宋刻本)?卷下》中看，“雞兔同籠”問題的敘述為：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。”[1](見圖1)
其中的“雉”是“野雞”的意思，“幾何”是“多少”的意思。用現(xiàn)在的語言可以把這個問題敘述為：“雞和兔在同一個籠子中，總頭數(shù)為35，總足數(shù)為94。問雞和兔各有多少只?”《孫子算經(jīng)》中對這個問題的解法分為如下的四個步驟：
第一步：上置三十五頭，下置九十四足
我國古代是用算籌進(jìn)行計算的，所謂“算籌”就是用于計算的小棒，是古人用于計算的一種工具。這里所說的“上置三十五頭，下置九十四足”，就是把題目中的頭數(shù)“35”和足數(shù)“94”用小棒分別擺在上面的位置(上位)和下面的位置(下位)。(見圖2)
古人用算籌表示數(shù)時，擺放方式分縱式和橫式兩種。通常用縱向小棒擺放個位數(shù)字，橫向小棒擺放十位數(shù)字，以后依次縱橫交替擺放。比如“35”就擺放成如圖3形式。
如果橫向擺放的數(shù)大于5，就用縱向小棒代表5，比如圖2中的“”就表示5+4=9。
第二步：半其足得四十七
意思是求出下位總足數(shù)94的一半等于47。圖2就變成了圖4的形式。
圖4中“”上面的橫向小棒表示“5”，下面兩條縱向小棒表示“2”，因此“”表示5+2=7。
第三步：上三除下三，上五除下五
這里的“除”是“除去”或“減少”的意思，“上三除下三”就是“從下位四十七中除去與上位相同的三十”，“上五除下五”就是“從下位四十七中除去與上位相同的五”。(見圖5)
用現(xiàn)在的語言說，就是從47中減去35為12，得到兔子的只數(shù)。這一過程在《孫子算經(jīng)》的“術(shù)”中叫做“以少減多再命之”(見圖1)，意思是以少減多之后，下位“總足數(shù)”的含義發(fā)生了改變，需要重新命名，也就是把“總足數(shù)”重新命名為“兔頭數(shù)”。(見圖5)
第四步：下有一除上一，下有二除上二即得
與前面類似，這句話的意思是用總只數(shù)35減去兔只數(shù)12就得到雞的只數(shù)了。上位的“總頭數(shù)”需要重新命名為“雞頭數(shù)”。(見圖6)
以上算法的合理性并不難理解?？傋銛?shù)94取半成為47，此時相當(dāng)于所有雞都成為了金雞獨立的“獨足雞”，所有兔都站立起來成為了“雙足兔”。此時每只雞的頭數(shù)和足數(shù)都是1，每只兔的頭數(shù)是1，足數(shù)是2，所以用47減去總頭數(shù)35就得到兔的只數(shù)是12。最后用總頭數(shù)35減去12就得到雞的只數(shù)。《孫子算經(jīng)》中把這一算法概括為：“上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭即得。”不妨稱此方法為“半足法”，右上的表格可以更加清晰地呈現(xiàn)這一過程。
二、 《算法統(tǒng)宗》中的“雞兔同籠”
“雞兔同籠”問題后來又收錄于明代程大位(1533年～1606年)所著《算法統(tǒng)宗》第八卷的“少廣章”。[2](見圖7)
其中對問題的敘述把“雉”改為了“雞”，因此“雞兔同籠”的說法沿用至今。《算法統(tǒng)宗》中對問題給出了兩種算法，這兩種算法與《孫子算經(jīng)》中的算法是不一樣的，相當(dāng)于現(xiàn)在所說的“假設(shè)法”。第一種算法的過程為：
第一步：“置總頭倍之得七十”，意思是將總頭數(shù)35加倍，也就是乘2，得到70。
第二步：“與總足內(nèi)減七十余二四”，也就是從總足數(shù)94中減去70得到24。
第三步：“折半得一十二是兔”，將24折半(也就是24除以2)，得到12，這就是兔的只數(shù)。
第四步：“以四足乘之得四十八足”，用每只兔的足數(shù)4乘12，得到兔的總足數(shù)48。
第五步：“總足減之余四十六足為雞足”，用總足數(shù)94減去兔的總足數(shù)48得到46，就是雞的總足數(shù)。
第六步：“折半得二十三”，將雞的總足數(shù)46折半(46除以2)，就得到雞的只數(shù)為23。
另外一個算法是先求雞的只數(shù)，與前面先求兔只數(shù)的程序基本相同，這一算法可以用下面表格的形式呈現(xiàn)出來。
《算法統(tǒng)宗》中關(guān)于“雞兔同籠”問題的兩個算法，在書中概括為兩句話：“倍頭減足折半是兔”和“四頭減足折半是雞”(見圖7)。第一句話的意思是把求兔只數(shù)的過程分為了倍頭、減足和折半三個步驟，“倍頭”就是把總頭數(shù)35加倍變成70;“減足”是用總頭數(shù)94減去70得到24;“減半”就是取24的一半得到兔子的只數(shù)為12。這個過程寫成如今的算式就是：
(94-35×2)÷2=12(只)
第二句話的意思是把求雞只數(shù)的過程分為了四頭、減足和折半三個步驟，“四頭”就是用4乘總頭數(shù)35得到140;“減足”是用140減去總足數(shù)94得到46;與求兔只數(shù)的過程類似，“折半”就是取46的一半得到雞的只數(shù)23。寫成算式就是：
(35×4-94)÷2=23(只)
這樣的過程顯然與《孫子算經(jīng)》中的“半足法”不同，半足法首先將總足數(shù)減半。這里的第一步是用每只雞或兔的足數(shù)(2或4)去乘總頭數(shù)，因此不妨把這個方法叫做“倍頭法”。不難發(fā)現(xiàn)，“倍頭法”背后的道理其實就是現(xiàn)在所說的“假設(shè)法”。
《算法統(tǒng)宗》中的雞兔同籠問題出現(xiàn)于該書第八卷中，實際上在之前的第五卷中就已經(jīng)出現(xiàn)了與“雞兔同籠”問題數(shù)量關(guān)系類似的“米麥問題”：“今有米麥五百石，共價銀四百零五兩七錢，只云米每石價八錢六分，麥每石價七錢二分五厘。問米麥各若干。”
數(shù)學(xué)廣角雞兔同籠論文篇三
【摘 要】中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名題是在時間長河里洗練出來的具有經(jīng)典意義的數(shù)學(xué)問題,它具有自己的數(shù)學(xué)思想和背景文化。文章主要研究了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名題―雞兔同籠問題及其中滲透的數(shù)學(xué)思想,使大家在情感態(tài)度、思維能力與價值觀等方面得以提升,增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。
【關(guān)鍵詞】雞兔同籠;解題思路;求解方法;數(shù)學(xué)思想
雞兔同籠，這個問題，是我國古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何?”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭;從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔?
解題思路：先假設(shè)它們?nèi)请u，于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差2只腳就說明有1只兔，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起來，解雞兔同籠題的基本關(guān)系式是：兔數(shù)=(實際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù))÷(每只兔子腳數(shù)-每只雞腳數(shù))。類似地，也可以假設(shè)全是兔子。
解：假設(shè)全是雞：2×35=70(只) 比總腳數(shù)少的：94-70=24 (只) 它們腿的差：4-2=2(條) 24÷2=12 (只) ――兔35-12=23(只)――雞
方程：
解：設(shè)兔有x只，則雞有35-x只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=24 x=12 35-x=35-12=23
答：兔有12只，雞有23只。
我們也可以采用列方程的辦法：設(shè)兔子的數(shù)量為X，雞的數(shù)量為Y 那么：X+Y=35那么4X+2Y=94 這個算方程解出后得：兔子有12只，雞有23只用假設(shè)法來解
對于這個問題，我們給出如下幾種求解方法，并給出相應(yīng)的公式;
解法1：(兔的腳數(shù)×總只數(shù)-總腳數(shù))÷(兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù))=雞的只數(shù) 總只數(shù)-雞的只數(shù)=兔的只數(shù)
解法2：( 總腳數(shù)-雞的腳數(shù)×總只數(shù))÷(兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù))=兔的只數(shù) 總只數(shù)-兔的只數(shù)=雞的只數(shù)
解法3：總腳數(shù)÷2-總頭數(shù)=兔的只數(shù) 總只數(shù)-兔的只數(shù)=雞的只數(shù)
解法4：兔的只數(shù)=總腳數(shù)÷2―總頭數(shù) 總只數(shù)-兔的只數(shù)=雞的只數(shù)
解法5(方程)：X=( 總腳數(shù)-雞的腳數(shù)×總只數(shù))÷(兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù))(X=兔的只數(shù)) 總只數(shù)-兔的只數(shù)=雞的只數(shù)
解法6(方程)：X=：(兔的腳數(shù)×總只數(shù)-總腳數(shù))÷(兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù))(X=雞的只數(shù)) 總只數(shù)-雞的只數(shù)=兔的只數(shù)
解法7 雞的只數(shù)=(4×雞兔總只數(shù)-雞兔總腳數(shù))÷2 兔的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-雞的只數(shù)
解法8 兔總只數(shù)=(雞兔總腳數(shù)-2×雞兔總只數(shù))÷2 雞的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-兔總只數(shù)
解法9 總腿數(shù)/2-總頭數(shù)=兔只數(shù) 總只數(shù)-兔只數(shù)=雞的只數(shù)
“雞兔同籠”中的數(shù)學(xué)思想方法
一、化歸思想
化歸是基本而典型的數(shù)學(xué)思想?；瘹w是指將有待解決的問題，通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去，以求得解決。我們常常用到的如化未知為已知、化難為易、化繁為簡、化曲為直等都是這一思想方法的運用。“雞兔同籠”原題中的數(shù)據(jù)比較大，不利于首次接觸該類問題的學(xué)生進(jìn)行探究，根據(jù)化繁為簡的思想，先安排數(shù)據(jù)較小的問題，如“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有7個頭，從下面數(shù)，有18只腳。雞和兔各有幾只?”(以下均以此題為例)待學(xué)生探索出解決此類問題的一般方法后，再應(yīng)用于解決《孫子算經(jīng)》中數(shù)據(jù)較大的原題，學(xué)生將易如反掌。“雞兔同籠”問題在生活中有很多變式，比如“龜鶴問題”、“坐船問題”等，這些問題可以通過化歸，歸結(jié)為“雞兔同籠”問題，再進(jìn)一步求解，使學(xué)生感受“雞兔同籠”問題的變式及其在生活中的廣泛應(yīng)用，體會“化歸法”在解題中的魅力。
二、假設(shè)思想
假設(shè)是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。假設(shè)法是先假定一種情況或結(jié)果，然后通過推導(dǎo)、驗證來解決問題的方法。合理運用假設(shè)法，往往可以使問題化難為易，使解題另辟蹊徑，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題技能，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。
用假設(shè)法解答上題有多種思路，可以先假設(shè)全部都是雞或全部都是兔，再計算實際與假設(shè)情況下總腳數(shù)之差，最后推理出雞和兔的只數(shù)。比如假設(shè)7只都是雞，那么兔有(18-7×2)÷(4-2)=2(只)，雞有7-2=5(只)。運用假設(shè)法解題是教學(xué)的難點，教師可以先讓學(xué)生用上述的“畫圖法”，學(xué)生會在直觀操作活動中通過數(shù)形結(jié)合而建立思維的表象，再進(jìn)一步抽象，這樣有助于學(xué)生真正理解“假設(shè)法”，形成有序地、嚴(yán)密地思考問題的意識。教師也可以向?qū)W生介紹古人解決“雞兔同籠”問題的“抬腳法”，其中也應(yīng)用了“假設(shè)法”。
三、方程思想
方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型，通過把生活語言“翻譯”成代數(shù)語言，根據(jù)問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的等量關(guān)系，在已知數(shù)與未知數(shù)之間建立一個等式，這就是方程思想的由來。在“雞兔同籠”的問題中，可以設(shè)雞或兔中任意一種有X只，然后根據(jù)雞、兔的只數(shù)與腳的總只數(shù)的關(guān)系列方程來解答。例如設(shè)兔有X只，則雞有(7-X)只，可列方程：4X+2(7-X)=18，解得X=2，于是雞有：7-2=5(只)。方程解法思路比較簡單，且具有一般性，教學(xué)中要突出方程解法的優(yōu)越性，不斷滲透方程思想。
四、建模思想
弗賴登塔爾認(rèn)為：學(xué)生與其學(xué)數(shù)學(xué)，不如學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。在小學(xué)階段，就是把數(shù)學(xué)研究對象的某些特征進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言、圖形或模式表達(dá)出來，建立數(shù)學(xué)模型。在解決了“雞兔同籠”問題后，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考，概括提煉出解題模型：兔數(shù)=(實際的腳數(shù)-雞兔總數(shù)×2)÷(4-2)，雞數(shù)=(雞兔總數(shù)×4-實際的腳數(shù))÷(4-2)。之后在應(yīng)用中引導(dǎo)學(xué)生鞏固、擴(kuò)展這個模型，把“雞”與“兔”換成烏龜和仙鶴等，變式為“龜鶴問題”、“坐船問題”、“植樹問題”、“答題問題”等問題，溝通這些問題與“雞兔同籠”問題的聯(lián)系，使“雞兔同籠”成為這些問題的模型，并應(yīng)用模型解決問題，不斷促進(jìn)模型的內(nèi)化。教學(xué)中教師要重視學(xué)生建模思想的培養(yǎng)，使數(shù)學(xué)建模成為學(xué)生思考問題與解決問題的一種思想和方法。
以上是“雞兔同籠”問題的各種解法中蘊含的主要的數(shù)學(xué)思想方法，從上述討論中看出一種解法中可以蘊含不同的數(shù)學(xué)思想，而不同解法中可以蘊含同一種數(shù)學(xué)思想。
參考文獻(xiàn)：
[1]科學(xué)睿智故事(波利亞巧解雞兔同籠)[M] 出版地：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社 出版時間：2008年04月
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