數(shù)學論文導數(shù)及應用
導數(shù)作為微積分知識的一個重要組成部分，在人們的生活中占據(jù)著舉足輕重的地位。接下來學習啦小編為你整理了數(shù)學論文導數(shù)及應用，一起來看看吧。
數(shù)學論文導數(shù)及應用篇一
【摘 要】導數(shù)是聯(lián)系高等數(shù)學與初等數(shù)學的紐帶，高中階段引進導數(shù)的學習有利于學生更好地理解函數(shù)的形態(tài)，掌握函數(shù)思想，搞清曲線的切線問題，學好其他學科并發(fā)展學生的思維能力。因而在中學數(shù)學教學及解題過程中，可以利用導數(shù)思想解決諸如函數(shù)(解析式、值域、最(極)值、單調(diào)區(qū)間等)問題、切線問題、不等式問題、數(shù)列問題以及實際應用等問題。
【關鍵詞】導數(shù);新課程;應用
導數(shù)在現(xiàn)行的高中數(shù)學教材中處于一種特殊的地位，是聯(lián)系高等數(shù)學與初等數(shù)學的紐帶，是聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容以及解決相關問題的重要工具。
一、導數(shù)在高中數(shù)學新課程中的地位
《普通高中數(shù)學課程標準》指出：高中數(shù)學課程是由必修課程和選修課程兩部分構(gòu)成的。必修課程是整個高中數(shù)學課程的基礎，選修課程是在完成必修課程學習的基礎上，希望進一步學習數(shù)學的學生根據(jù)自己的興趣和需求選修。選修課程由系列1、系列2、系列3、系列4等組成。在系列1和系列2中都選擇了導數(shù)及其應用。顯然，導數(shù)的重要性不言而喻。
二、導數(shù)在解題中的應用
導數(shù)作為高中新教材的新增內(nèi)容，有廣泛的應用性，為解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列、實際等問題帶來了新思路、新方法，使它成為新教材高考試題的熱點和命題新的增長點。
(一)利用導數(shù)解決函數(shù)問題
利用導數(shù)可以求函數(shù)的解析式，求函數(shù)的值域，求函數(shù)的最(極)值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
例1 設函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸交點為P點，且曲線在P點處的切線方程為12x-y-4=0，若函數(shù)在x=2處取得極值0，確定函數(shù)的解析式。
解 因為函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸交點為P點，所以P點的坐標為(0，d)，又曲線在P點處的切線方程為y=12x-4，P點坐標適合方程，從而d=-4，又切線斜率k=12，故在x=0處的導數(shù)y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，從而c=12，又函數(shù)在x=2處取得極值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。解得a=2，b=-9，所以所求函數(shù)解析式為y=2x3+9x2+12x-4。
例2 求函數(shù)f(x)= - 的值域。
解：f(x)定義域為[-1/2，+∞)，由于f′(x)= - = ，又2 - = ，可見當x>-1/2時，f′(x)>0.所以f(x)= - 在[-1/2，+∞)上是增函數(shù)。而f(-1/2)=- /2，所以函數(shù)f(x)= - 的值域是[- /2，+∞)。
例3 求函數(shù)f(x)=x3-3x在[-3，3/2]上的最大值和最小值。
解 由于f′(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1)，則當x∈[-3，-1)或x∈(1，3/2]時，f′(x)>0，所以[-3，-1]，[1，3/2]為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;當x∈(-1，1)時，f′(x)<0，所以[-1，1]為函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間。又因為f(-3)=-18，f(-1)=2，f(1)=-2，f(3/2)=-9/8，所以，當x=-3時，f(x)取得最小值-18;當x=-1時，f(x)取得最大值2。
例4 求f(x)=x3+3/x的單調(diào)區(qū)間。
解：f(x)定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，又f′(x)=3x2-3/x2= ，由f′(x)>0，得x<-1或x>1;又由f′(x)<0，得-1 (二)利用導數(shù)解決切線問題
例5 已知拋物線C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直線l同時是C1和C2的切線，稱I是C1和C2的公切線，求公切線l的方程。
解 由C1：y=x2+2x，得y′=2x+2，所以曲線C1在點P(x1，x12+2x1)的切線方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-x12。 (1)
由y=-x2+a，得y′=-2x，所以曲線C2在點Q(x2，-x22+a)的切線方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2)，即y=-2x2x+x22+a。 (2)
若l是過P與Q的公切線，則(1)(2)表示的是同一直線，所以2x1+2=-2x2，-x12=x22+a。 消去x2，得2x12+2x1+1+a=0，由題意知△=4-4×2(1+a)=0，所以a=-1/2，則x1=x2=-1/2，即點P與Q重合，此時曲線C1和C2有且僅有一條公切線，且公切線方程為x-y+14=0。
(三)利用導數(shù)解決不等式問題
例6 求證：不等式x- 證明 構(gòu)造函數(shù)f1(x)=ln(1+x)-(x- )，則f1′(x)= -1+x= >0。
得知y=f1(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，又因為x>0，所以f1(x)>f1(0)=0，即ln(1+x)>x- 成立。又構(gòu)造函數(shù)f2(x)=x- -ln(1+x)，則f2′=1- - = >0。y=f2(x).在[0，+∞)上單調(diào)遞增，又x>0，則f2(x)>f2(0)=0，即x- >ln(1+x)成立.綜上，原命題成立。
(四)利用導數(shù)解決數(shù)列問題
例7 求和：1+2x+3x2+…+nxn-1(其中x≠0，x≠1)。
解 注意到nxn-1是xn的導數(shù)，即(xn)′=nxn-1，可先求數(shù)列{xn}的前n和x+x2+…xn= = ，然后等式兩邊同時對x求導，有1+2x+3x2+…nxn-1= = 。
三、結(jié)束語
導數(shù)及其應用是微積分學的重要組成部分，是解決許多問題的有力工具，它全面體現(xiàn)了數(shù)學的價值：既給學生提供了一種新的方法，又給學生提供了一種重要的思想。總之，開設導數(shù)不僅促進學生全面認識了數(shù)學的價值，而且發(fā)展了學生的辯證思維能力，也為今后進一步學好微積分打下基礎。
【參考文獻】
[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊).第三版.北京：高等教育出版社，2001.91
數(shù)學論文導數(shù)及應用篇二
摘 要 導數(shù)是數(shù)學中的重要內(nèi)容，并且已由解決問題的輔助工具上升為解決問題必不可少的工具。導數(shù)題目注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識的交互點上設計試題，所以解決導數(shù)問題需要一定的策略。
關鍵詞 數(shù)學;導數(shù);思想
一、分類討論思想的應用
解答導數(shù)問題時，往往需要按某一標準把問題分成若干部分或情況，分別加以研究逐一解之，從而得到清楚完整的結(jié)果，分類要注意分類要科學，既不重復，又不遺漏。導數(shù)中需要分類情況很多：如對參數(shù)討論、對根的大小關系討論、對極值點與區(qū)間的位置討論等等。
例1.已知函數(shù)f(x)=x2e-ax(a>0)，求函數(shù)在[1，2]上的最大值。
分析：通過求導先判斷單調(diào)性再求最值。在求最值時，對a的情況要進行討論。
解：f(x)=x2e-ax(a>0)，
∴f′(x)=2xe-ax+x2・(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x)。
點評：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，首先應判斷函數(shù)的單調(diào)性，一般情況下是先利用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，分清單調(diào)區(qū)間與已知區(qū)間的關系，本題實質(zhì)上就是對極值點與區(qū)間的相對位置進行討論分別求解。
二、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖象結(jié)合起來，即在代數(shù)與幾何的結(jié)合上尋找解題思路。最常用的是以形助數(shù)的解題方法，其實質(zhì)就是對圖形性質(zhì)的研究，使要解決的數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的討論，實現(xiàn)“由一種代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為幾何形式”的數(shù)學化歸。導數(shù)中研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及恒成立等問題都需要利用數(shù)形結(jié)合直觀的求解。
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、切線方程、定積分求曲線圍成圖形面積的計算等，解決本題的關鍵之一是正確畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解，題目有一定的難度。
三、轉(zhuǎn)化化歸思想
點評：以上兩種解法，法1是從集合關系入手，而法2則轉(zhuǎn)化為一個恒成立問題，各有優(yōu)點。
數(shù)學論文導數(shù)及應用篇三
摘 要：高等數(shù)學是一門方法學科，因此可以說是許多專業(yè)課程的基礎。然而導數(shù)這一章節(jié)在高等數(shù)學中是尤為重要的，在高等數(shù)學的整個學習過程中，它起著承前啟后的作用，是學習高等數(shù)學非常重要的任務。本文詳細地闡述了導數(shù)的求解方法和在實際中的應用。
關鍵詞：高等數(shù)學 導數(shù) 求解 應用
導數(shù)的基本概念在高等數(shù)學中地位很高，是高等數(shù)學的核心靈魂，因此學習導數(shù)的重要性是不言而喻的。然而這種重要性很多同學沒有意識到，更不懂得如何求解導數(shù)以及運用導數(shù)來解決有關的問題。我通過自己的學習和認識，舉例子說明了幾種導數(shù)的求解方法以及導數(shù)在實際中的應用。
一、導數(shù)的定義
1.導數(shù)的定義
設函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果自變量x在x0的改變量為△x(x0≠0，且x0±△x仍在該鄰域內(nèi))時，相應的函數(shù)有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。
若△y與△x之比 ，當△x→0時，有極限lim =lim 存在，就稱此極限為該函數(shù)y=f(x)在點x0的導數(shù)，且有函數(shù)y=f(x)在點x=x0處可導，記為f`(x0)。
2.導數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)在幾何上表示曲線y=f(x)在點〔x0，f(x0)〕處的切線斜率，即f`(x0)=tan，其中是切線的傾角。如果y=f(x)在點x0處的導數(shù)為無窮大，這時曲線y=f(x)的割線以垂直于x軸的直線x=x0為極限位置，即曲線y=f(x)在點〔x0，f(x0)〕處具有垂直于x軸的切線x=x0。根據(jù)導數(shù)的幾何意義并應用直線的點斜式方程，可知曲線y=f(x)在點〔x0，f(x0)〕處的切線方程。
二、導數(shù)的應用
1.實際應用
假設某一公司每個月生產(chǎn)的產(chǎn)品固定的成本是1000元，關于生產(chǎn)數(shù)量x的可變成本函數(shù)是0.01x2+10x元，若每個產(chǎn)品的銷售價格是30元，求：總成本的函數(shù)，總收入的函數(shù)，總利潤的函數(shù)，邊際收入，邊際成本及邊際利潤等為零時的產(chǎn)量。
解：總的成本函數(shù)是可變成本函數(shù)和固定成本函數(shù)之和：
總成本的函數(shù)C(x)=0.01x2+10x+1000
總收入的函數(shù)R(x)=px=30x(常數(shù)p是產(chǎn)品數(shù)量)
總利潤的函數(shù)I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000
邊際收入R(x)Γ=30
邊際成本C(x)=0.02x+20
邊際利潤I(x)=-0.02x+20
令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生產(chǎn)數(shù)量為1000個時，邊際利潤是零。這也就表明了，當每月生產(chǎn)數(shù)目為1000個時，利潤也不會再增加了。
2.洛必達法則的應用
如果當x→a(或x→∞)時，兩個函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零或都趨于無窮大，那么極限lim 可能存在，也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式，分別簡記為 或 。對于這類極限，即使它存在也不能用“商的極限等于極限的商”這一重要法則。下面我們會得出這一類極限的一種簡便并且很重要、很實用的方法。
定理1，設：
(1)當x→a時函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零;
(2)在點a的某去心領域內(nèi)，兩個函數(shù)f(x)與F(x)的導數(shù)都存在且F(x)的導數(shù)不等于零;
(3)當x→a時函數(shù)f(x)的導數(shù)與函數(shù)F(x)的導數(shù)比的極限存在(或為無窮大);
那么lim 的極限存在就等于函數(shù)f(x)的導數(shù)與函數(shù)F(x)的導數(shù)比值在x→a時的導數(shù)。這種在一定的條件下通過運用分子分母分別求導再求極限來確定未定式的極限值的方法就稱為洛必達法則。
定理2，設：
(1)當x→∞時函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零;
(2)在點a的某去心領域內(nèi)，兩個函數(shù)f(x)與F(x)的導數(shù)都存在且F(x)的導數(shù)不等于零;
(3)當x→∞時函數(shù)f(x)的導數(shù)與函數(shù)F(x)的導數(shù)比的極限存在(或為無窮大);
那么lim 的極限存在就等于函數(shù)f(x)的導數(shù)與函數(shù)F(x)的導數(shù)比值在x→∞時的導數(shù)。
洛必達法則是計算未定式極限的一個重要并且效果很好的法則。盡管洛必達法則計算省時方便，但極易出錯，下面是應用這個法則時應注意的問題：
在使用洛必達法則之前必須看好極限是不是 型或 型，若用過洛必法則之后還是 型或 型，就繼續(xù)使用，直至得出所要求的結(jié)果。在使用洛必達法則時，要盡最大可能聯(lián)系和極限相關的性質(zhì)一起使用，使用極限的性質(zhì)處理問題，先做一定恰當?shù)奶幚?，最后用洛必達法則求解出結(jié)果。
3.判定函數(shù)的單調(diào)性的應用
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加(或遞減)是函數(shù)的單調(diào)性。下面利用導數(shù)的概念對函數(shù)的單調(diào)性進行一些研究。
如果函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)增加(單調(diào)減少)，那么它的圖形是一條沿著橫軸正向上升(或下降)的曲線。這時，各點處的斜率是非負的(非正的)，即y`=f`(x)≥0〔y`=f`(x)≤0〕。由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號有著緊密的聯(lián)系。反過來，用導數(shù)的符號來確定函數(shù)的單調(diào)性是不是可行呢?這就需要我們用相關的定理來證明一下這一想法是不是正確。經(jīng)過拉格朗日中值定理的證明得出如下定理：
定理1，設函數(shù)y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導。
(1)如果(a，b)內(nèi)函數(shù)的導函數(shù)大于零，那么函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)增加;
(2)如果(a，b)內(nèi)函數(shù)的導函數(shù)小于零，那么函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。 即便是把這個判定法中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間(甚至包括無窮區(qū)間)，這個結(jié)果最終也是成立的。與此同時也要注意下面的一些問題：有些函數(shù)在它的定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但是當我們用導數(shù)等于零的點來劃分函數(shù)的定義區(qū)間以后，就可以使函數(shù)在各個部分區(qū)間上單調(diào)。這個結(jié)論對于在定義區(qū)間上具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)都是成立的。還可以得出，如果函數(shù)在某些點處不可導，則劃分函數(shù)的定義區(qū)間的分點還應包括這些導數(shù)不存在的點。
綜合以上兩種情形，我們可以得出下面的結(jié)論：
如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數(shù)不存在的點外導函數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f`(x)=0的根及導函數(shù)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證導函數(shù)f`(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號，因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上也都是單調(diào)的。
4.曲線的凹凸性
前面我們介紹了導數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性問題上的運用，下面我們來探討曲線的凹凸性及其拐點的確定。函數(shù)的單調(diào)性在圖形的反映上，就是曲線的上升或者下降。但是曲線在上升或下降的過程中，還要考慮彎曲方向這一問題。曲線在上升或下降的過程中有可能是凹的也有可能是凸的曲線弧，根據(jù)曲線弧凹凸性的不同，我們來研究下曲線的凹凸性及其拐點的判定。從幾何圖形上直觀地發(fā)現(xiàn)，在有的曲線弧上，如果任取兩點，然后聯(lián)接這兩點間的弦總位于這兩點間的弧段的上方，而有些曲線弧恰恰與之相反，曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性。故曲線的凹凸性可以用聯(lián)接曲線弧上任意兩點的弦的中點與曲線弧上相應的點(即具有相同橫坐標的點)的位置關系來描述。下面是曲線凹凸性的定義：
假設f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對I上任意兩點，恒有f( )< ，那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);反之，那么稱f(x)在I上的圖形是(向下)凸的(或凸弧)。
如果函數(shù)f(x)在I內(nèi)具有二階導數(shù)，那么可以利用二階導數(shù)的符號來判別曲線的凹凸性，這就是下面的曲線凹凸性的判定定理。當I不是閉區(qū)間時，定理也一樣。
定理2，假設函數(shù)y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么：
(1)若在(a，b)內(nèi)二階導函數(shù)恒大于零，則函數(shù)y=f(x)在[a，b]上的圖形是凹的。
(2)若在(a，b)內(nèi)二階導函數(shù)恒小于零，則函數(shù)y=f(x)在[a，b]上的圖形是凸的。
一般情況下，設y=(x)在區(qū)間I上連續(xù)，區(qū)間I內(nèi)的一點x0，如果曲線y=f(x)在經(jīng)過點〔x0，f(x0)〕時曲線的凹凸性改變了，那么就稱點〔x0，f(x0)〕為該曲線的拐點。
尋找曲線拐點的方法如下：從以上的定理可知，由y=f(x)的二階導數(shù)的符號可以判定曲線的凹凸性，因此，如果二階導函數(shù)的左右兩側(cè)臨近異號，那么該點就是曲線的一個拐點。故要尋找一個曲線的拐點，只要找出二階導函數(shù)的符號發(fā)生變化的分界點即可。如果一個函數(shù)的二階導函數(shù)在區(qū)間I存在，那么在這樣的分界點處必然有二階導函數(shù)為零的橫坐標值;除此以外，二階導函數(shù)不存在的點，也有可能是二階導函數(shù)符號發(fā)生變化的分界點。綜合以上的分析和探討，在判定區(qū)間I上的連續(xù)曲線的拐點時，我們可以得出這樣的結(jié)論：
求出二階導函數(shù)并解出二階導函數(shù)為零的橫坐標值，求出在區(qū)間I內(nèi)二階導函數(shù)不存在的點，對于求出的橫坐標值或二階導函數(shù)不存在的點，檢查二階導函數(shù)在這些橫坐標值的左右兩側(cè)的值是否異號。如果異號，則為曲線的拐點;反之，則不是。
三、結(jié)論
在高等數(shù)學學習中，導數(shù)的求解方法以及與導數(shù)相關的概念都是非常深奧、難以理解的，因此需要重點學習。而導數(shù)這一章節(jié)作為整個課程的核心，不管在平常測試還是其他任何考試中都處于整本教材的重要地位，并且這一章節(jié)是后續(xù)課程內(nèi)容比如微分問題、積分問題、多元函數(shù)的微積分等章節(jié)的必備基礎知識，故學好導數(shù)這一章節(jié)是學好高等數(shù)學這門課程的基礎。
在以往的學習和教學經(jīng)歷中，我遇到多數(shù)的學生學習起高等數(shù)學來簡直難熬甚至非常吃力，我認為找不到學習高等數(shù)學這門課程的方法和技巧是學生們學習吃力費事的關鍵。在這里，結(jié)合教學中的好經(jīng)驗，還有不好的經(jīng)驗并引以為戒，以及大學生學習高等數(shù)學時常常出現(xiàn)的問題，詳細地講述了導數(shù)的求解問題，期望大家能夠取得良好的學習成效。
上面的內(nèi)容進一步說明了，在求解導數(shù)的問題時尤其要注意使用洛必達法則以找到方便快速的解題方法，如此便可以化繁為簡，把難的問題簡單化，提高解決問題的效率。再就是導數(shù)真的是對后續(xù)章節(jié)的學習非常重要，因此我們不止要深入地了解導數(shù)的定義還要吃透定義，徹底領會導數(shù)的含義。學習導數(shù)要精通多種常用的求解導數(shù)的方法和了解不太常見的求解方法，以便在閑暇時研究探討，更要創(chuàng)新性地把導數(shù)運用到實際生活當中，去解決生活中的問題。
本文以實踐知識的認識為依據(jù)，講述了高等數(shù)學導數(shù)的一些常用求解方法以及一些生活中的應用，希望對大家的生活和事業(yè)有些許幫助。
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