高中數(shù)學幾何論文(2)
高中數(shù)學幾何論文
高中數(shù)學幾何論文篇三
摘 要：幾何概型是高中新課程人教A版《必修3》第三章概率部分的一個新增內(nèi)容，也是概率這一部分的一個難點，高考中選擇、填空題會有所涉及。本文就筆者在教學中遇到的一些問題和經(jīng)驗進行了歸納和整理以期和大家一探討和幫助學生理解 并靈活應(yīng)用幾何概型去解決相關(guān)問題。
關(guān)鍵詞：點分布;找測度;幾何概型;轉(zhuǎn)化;平面區(qū)域
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661(2014)09-172-03
幾何概型是高中新課程人教A版《必修3》第三章概率部分的一個新增內(nèi)容，也是概率這一部分的一個難點，高考中選擇、填空題會有所涉及。學生對明顯是點分布的幾何概型問題較容易理解，然而，有些幾何概型的問題，既不容易分辯出屬于幾何概率模型，也難發(fā)現(xiàn)隨機事件的構(gòu)成區(qū)域，但仔細研究此類問題后，我們可以發(fā)現(xiàn)一些解題的規(guī)律。本文就筆者在教學中遇到的一些問題和經(jīng)驗進行了歸納和整理以期和大家一起探討和幫助學生理解并靈活應(yīng)用幾何概型去解決相關(guān)問題，主要還是得從以下幾個方面去把握。
一、教學的背景
“幾何概型”這一節(jié)內(nèi)容是安排在“古典概型”之后的第二類概率模型，是對古典概型內(nèi)容的進一步拓展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸。此節(jié)內(nèi)容是為更廣泛地滿足隨機模擬的需要而在新課本中增加的，這是與以往教材安排上的最大的不同之處。這充分體現(xiàn)了數(shù)學與實際生活的緊密關(guān)系，來源生活，而又高于生活。同時也暗示了它在概率論中的重要作用，在高考中的題型的轉(zhuǎn)變。筆者根據(jù)所教學生的狀況及新課程標準和學科指導意見的要求，對教材作了一些處理并盡可能選用與日常生活息息相關(guān)的例子。對于概念，主要讓學生學會幾何概型與古典概型的比較;立足基礎(chǔ)知識和基本技能，掌握好典型例題;注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何概型。具體有以下一些整理。
二、概念的理解
1、高中新課程人教A版《必修3》中P136對幾何概型是這樣定義的：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型，計算公式如下：
而在實際教學中筆者發(fā)現(xiàn)，這一概念不如索性這樣去定義更為合適與明了：
一般地，在幾何區(qū)域 中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域 內(nèi)”為事件 ，則事件 發(fā)生的概率 .
說明：(1) 的測度不為 ;
(2)其中"測度"的意義依 確定，當 分別是線段，平面圖形，立體圖形時，相應(yīng)的"測度"分別是長度，面積和體積;同時還有可能是角度，在后面的例題中筆者會進一步舉例說明這一點。
(3)在區(qū)域 內(nèi)隨機取點是指：該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關(guān).
2、與古典概型相比較：
(1)不同點：在一次試驗中，幾何概型中所有可能的結(jié)果有無限個;
(2)相同點：每一種結(jié)果發(fā)生的可能性相等。
三、典題的分析
1、測度為長度的幾何概型
例1：某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，并且出發(fā)前在車站?？?分鐘(已知停靠的3分鐘包含在15分鐘之內(nèi))。乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后能立即上車的概率?
解析：此題可把時間等價成刻度為[0，15]的線段上的點，則幾何區(qū)域 的測度為15， 乘客到達車站后能立即上車的區(qū)域為線段[12，15]上的點，則區(qū)域 的測度為3，故p=
變式1：求乘客到站候車時間大于10分鐘的概率.
解析：設(shè)上輛車于時刻A離開，而下一輛車于時刻B到達，時刻C出發(fā)。線段AC的長度為15即D的測度;設(shè)P是線段AB上的點，且BC=3，PB=10，如圖1所示， 記候車時間大于10分鐘為事件A，則當乘客到達車站的時刻落在線段AP(AP=2即d的測度)上時，事件A發(fā)生，所
以 = A P B C
答：乘客到站候車時間大于10 分鐘的概率是2/15。
變式2：求乘客到站候車時間不超過10分鐘的概率.
解析：此題即為變式1的對立事件，故乘客到站候車時間不超過10分鐘的概率P=1-
例2：在等腰直角三角形 中，在斜邊 上任取一點 ，求 小于 的概率.
解析：點 隨機地落在線段 上，故線段 為區(qū)域 .當點 位于圖2中線段 內(nèi)時， ，故線段 即為區(qū)域 .
在 上截取 .于是
.
變式1：在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM 解析：本題把射線等價于圓弧AB(以C為圓心)上的點，符合幾何概型，因為這時射線CM可看作在 內(nèi)是等可能分布的。如圖3，在AB上截取 ，則 ，則區(qū)域D為弧AB，區(qū)域d為弧AD，則p=
變式2：
變式3：
(參考答案： 提示：變式2中區(qū)域D為線段BC;變式3中區(qū)域D為角度CAB)
評注：例1中的一個時刻是一元問題，相當于坐標中的一維，基本上都可等價到特定線段上的點，使問題轉(zhuǎn)化為幾何中的線段長度之比;例2中的一條射線，也是一元，但我們?yōu)槭裁床坏葍r到線段上的點，而是等價到了弧上的點，那是因為等價到線段上的點破壞了等可能性(因為同等線段長射線掃過的區(qū)域不同，但同等弧長射線掃過的區(qū)域相同)，而變式1和3中更是進一步轉(zhuǎn)化成了角度之比。故我們在等價的過程中不僅要注意要一一對應(yīng)，而且還需考慮符合幾何概型的等可能性，這樣就易理解易解決了。
2、測度為面積的幾何概型
例3：假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30―7：30之間把報紙送到你家，你父親 離開家去工作的時間在早上7：00―8：00之間，問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少?
解析：以橫坐標X表示報紙送到時間，以縱坐標Y表示父親離家時間，建立平面直角坐標系，假設(shè)隨機試驗落在方形區(qū)域內(nèi)(D)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意，只要點落到陰影部分(d)， 就表示父親在離開家前能得到報紙，即時間A發(fā)生，所以
變式1：甲、乙兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等另一人20分鐘，過時就可離去，試求這兩人能會面的概率.
解析：把兩人到達的時間等價于平面直角坐標平面內(nèi)的點，符合幾何概型。以x，y表示兩人到達時刻，則會面的充要條件為 如圖3，區(qū)域D為正方形，區(qū)域d為陰影部分，則兩人能會面的概率
變式2：上例其他不變，但甲等乙20分鐘，乙等甲只等15分鐘，則概率如何?
解析：實質(zhì)是 改為
變式3：上例其他不變，但不巧甲那天的手表慢了15分鐘，則概率如何?
解析：實質(zhì)是 改為
例4：如圖6，假設(shè)你在這個圖形上隨機撒一粒黃豆，計算它落到陰影部分的概率.
P=陰影部分三角形的面積/圓的面積=
評注：在例3中涉及到兩個時間，一般情況下都可等價轉(zhuǎn)化為直角坐標內(nèi)的二維點集即轉(zhuǎn)化為相應(yīng)區(qū)域的面積之比;也就是線性規(guī)劃問題。題目的意思簡單明了，但如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型來求解卻比較困難. 需要我們先從實際問題中分析得到存在的兩個變量，如此題中兩人到達的時間都是隨機的，設(shè)為兩個變量. 然后把這兩個變量所滿足的條件寫成集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出. 把兩個集合用平面區(qū)域表示，特別注意不等式所表示區(qū)域. 我們發(fā)現(xiàn)，要表示二元一次不等式 的平面區(qū)域，按兩步解決：
(1)作出直線 ;(2)取一特殊點驗證，直線的哪側(cè)符合不等式，則哪側(cè)就是所表示區(qū)域. 準確得到隨機事件的構(gòu)成區(qū)域后，根據(jù)幾何概型的概率公式，易求得概率.
根據(jù)以上的解法和分析，我們把此類疑難問題的解決總結(jié)為以下四步：
(1)構(gòu)設(shè)變量. 從問題情景中，發(fā)現(xiàn)哪兩個量是隨機的，從而構(gòu)設(shè)為變量x、y.
(2)集合表示. 用 表示每次試驗結(jié)果，則可用相應(yīng)的集合分別表示出試驗全部結(jié)果Ω和事件A所包含試驗結(jié)果. 一般來說，兩個集合都是幾個二元一次不等式的交集.
(3)作出區(qū)域. 把以上集合所表示的平面區(qū)域作出，先作不等式對應(yīng)的直線，然后取一特殊點驗證哪側(cè)是符合條件的區(qū)域.
(4)計算求解. 根據(jù)幾何概型的公式，易從平面圖形中兩個面積的比求得.
在以上四步中，第二步和第三步是解答的關(guān)鍵，通過這兩步，可以發(fā)現(xiàn)隨機事件所對應(yīng)的幾何圖形. 第三步的作圖需理解其原理.
而例4中將問題轉(zhuǎn)化為了平面圖形內(nèi)的點的分布問題，也就是陰影部分三角形的面積/圓的面積。
3.測度為體積的幾何概型
例5：在正方體 內(nèi)隨機取一點E，則點E落在四棱錐O-ABCD(O是正方體對角線的交點)內(nèi)的概率是多少?
解析：P(E落在四棱錐O-ABCD內(nèi))=
例6：在單位長度為1的線段AB上任取三點C，D，E，求AC，AD，AE能構(gòu)成三角形的概率.
解析：本題可轉(zhuǎn)化為在[0，1]上分別取三個數(shù)，求使得任意兩數(shù)之和大于第三個數(shù)的概率。
而在[0，1]上分別取三個數(shù)等價于空間直角坐標系的一點(x，y，z)， 使得任意兩數(shù)之和大于第三個數(shù)即 ，分析可得，如圖7，區(qū)域D為邊長為1的正方體AG，區(qū)域d為六面體DBEGF，故p=
評注：例6涉及三數(shù)，即三元(三維)問題，
可與空間坐標一一對，一般情況下三元可
以向空間坐標轉(zhuǎn)化進而轉(zhuǎn)化為體積之比問題。
4、幾何概型的拓展應(yīng)用
例7： 。
解析：這里D的測度即區(qū)間 的長度，d的測度即區(qū)間 的長度，所以P=1/2
例8：一枚半徑為1的硬幣隨機落在邊長為3的正方形所在的平面內(nèi)，且硬幣一定落在正方形內(nèi)或與正方形有交點，求硬幣與正方形沒有公共點的概率。
解析：如圖8，ABCD為已知正方形外且與已知正方形四邊距離均為1的正方形， 是在已知正方形內(nèi)部且與已知正方形四邊距離均為1的正方形。當硬幣的圓心落在正方形ABCD內(nèi)(除A、B、C、D這四個頂點)時，就能保證硬幣一定落在已知正方形四邊內(nèi)或與已知正方形有公共點
而當硬幣的圓心落在正方形 內(nèi)時，
硬幣與已知正方形沒有公共點，所以：
d的測度= ，故所求的概率 。
變式：設(shè)有一個由許多個小正三角形構(gòu)成的正三角形網(wǎng)格，其中每個小正三角形的邊長都等于6cm，現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線有公共點的概率。
解析：此題即將正方形轉(zhuǎn)化成了正三角形，解法不變;參考答案：
例9：(2007寧夏高考)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程
(I) 若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)， b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率;
(Ⅱ)若a是從區(qū)間[0，3]上任取的一個數(shù)， b是從區(qū)間[0，2] 任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率;
解析：(1)是古典概率，故
(2)是幾何概型：見(圖9)設(shè)事件A：“方程 有實根”.當a>0，b>0時，方程有實根的等價條件為 ;
試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為
構(gòu)成事件A的區(qū)域為
所以所求的概率為
評注：對于復雜的實際問題，解題的關(guān)鍵是要建立模型，找出隨機事件與所有基本事件相對應(yīng)的幾何區(qū)域，把問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題，利用幾何概型的概率公式求解.
四、教學的反思
《浙江省普通高中新課程實驗數(shù)學學科教學指導意見》中對于幾何概型是這樣要求的：1.通過實例，初步體會幾何概型的意義;2.了解隨機均勻數(shù)的產(chǎn)生過程;3.通過實例，初步體會運用模擬方法估計概率;4.結(jié)合實例和閱讀材料，了解人類認識隨機現(xiàn)象的過程，并且說明本節(jié)學習重在了解，不必補充復雜的問題，鑒于此說明筆者對教學中遇到的幾何概型問題做了如上這些整理，大致可以把高中數(shù)學中的幾何概率問題解法歸納為：
1、適當選擇觀察角度，把問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解;2.把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域D;3.把隨機事件A轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域d;4.利用幾何概型概率公式計算。其中最關(guān)鍵的就是適當選擇觀察角度，長度，面積和體積有時甚至是角度，而抓住題中關(guān)鍵的語句就是找到正確角度的突破口。同時鑒于學科指導意見，我們在教學中也要注意不必補充復雜的問題，以免走入教學的誤區(qū)，增加學生的負擔，畢竟高中階段對于幾何概型的要求并不高。
在教學的過程中注重體現(xiàn)以學生發(fā)展為本的理念，注意學生的邏輯思維要從經(jīng)驗型向理論型轉(zhuǎn)化，進而從感性認識能動地躍進到理性認識又要從理性認識能動地指導實踐，使得學生在更高的層次理解問題。在理解數(shù)學的內(nèi)涵和外延的同時，讓學生在知識技能，過程和方法，情感、態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。
參考文獻：
[1] 錢衛(wèi)娣.隱性幾何概型三招致勝.實驗中學教育集團.西南師范大學出版社.2008.11.數(shù)學教學通訊.
[2] 浙江省普通高中新課程實驗數(shù)學學科教學指導意見.
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