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常用數(shù)學(xué)公式

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  數(shù)學(xué)公式是一類非常特殊的符號(hào)表達(dá)式。在常用的數(shù)學(xué)公式都有哪些呢?接下來學(xué)習(xí)啦小編為你整理了常用數(shù)學(xué)公式,一起來看看吧。

  常用數(shù)學(xué)公式:基礎(chǔ)代數(shù)

  1. 平方差公式:(a+b)×(a-b)=a2-b2

  2. 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2

  完全立方公式:(a±b)3=(a±b)(a2 ab+b2)

  3. 同底數(shù)冪相乘: am×an=am+n(m、n為正整數(shù),a≠0)

  同底數(shù)冪相除:am÷an=am-n(m、n為正整數(shù),a≠0)

  a0=1(a≠0)

  a-p= (a≠0,p為正整數(shù))

  4. 等差數(shù)列:

  (1)sn ==na1+ n(n-1)d;

  (2)an=a1+(n-1)d;

  (3)n = +1;

  (4)若a,A,b成等差數(shù)列,則:2A=a+b;

  (5)若m+n=k+i,則:am+an=ak+ai ;

  (其中:n為項(xiàng)數(shù),a1為首項(xiàng),an為末項(xiàng),d為公差,sn為等差數(shù)列前n項(xiàng)的和)

  5. 等比數(shù)列:

  (1)an=a1q-1;

  (2)sn = (q 1)

  (3)若a,G,b成等比數(shù)列,則:G2=ab;

  (4)若m+n=k+i,則:am·an=ak·ai ;

  (5)am-an=(m-n)d

  (6) =q(m-n)

  (其中:n為項(xiàng)數(shù),a1為首項(xiàng),an為末項(xiàng),q為公比,sn為等比數(shù)列前n項(xiàng)的和)

  常用數(shù)學(xué)公式:基礎(chǔ)幾何

  1. 三角形:不在同一直線上的三點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形;三角形內(nèi)角和等于180°;三角形中任兩

  邊之和大于第三邊、任兩邊之差小于第三邊;

  (1)角平分線:三角形一個(gè)的角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段,叫做三角形的角的平分線。

  (2)三角形的中線:連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

  (3)三角形的高:三角形一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊所在直線的垂線段,叫做三角形的高。

  (4)三角形的中位線:連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段,叫做三角形的中位線。

  (5)內(nèi)心:角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心;內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

  重心:中線的交點(diǎn)叫做重心;重心到每邊中點(diǎn)的距離等于這邊中線的三分之一。

  垂線:高線的交點(diǎn)叫做垂線;三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線必垂直于對(duì)邊。

  外心:三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn),叫做三角形的外心。外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

  直角三角形:有一個(gè)角為90度的三角形,就是直角三角形。

  直角三角形的性質(zhì):

  (1)直角三角形兩個(gè)銳角互余;

  (2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;

  (3)直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;

  (4)直角三角形中,如果有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的銳角是30°;

  (5)直角三角形中,c2=a2+b2(其中:a、b為兩直角邊長,c為斜邊長);

  (6)直角三角形的外接圓半徑,同時(shí)也是斜邊上的中線;

  直角三角形的判定:

  (1)有一個(gè)角為90°;

  (2)邊上的中線等于這條邊長的一半;

  (3)若c2=a2+b2,則以a、b、c為邊的三角形是直角三角形;

  2. 面積公式:

  正方形=邊長×邊長;

  長方形= 長×寬;

  三角形= × 底×高;

  梯形 = ;

  圓形 = R2

  平行四邊形=底×高

  扇形 = R2

  正方體=6×邊長×邊長

  長方體=2×(長×寬+寬×高+長×高);

  圓柱體=2πr2+2πrh;

  球的表面積=4 R2

  3. 體積公式

  正方體=邊長×邊長×邊長;

  長方體=長×寬×高;

  圓柱體=底面積×高=Sh=πr2h

  圓錐 = πr2h

  球 =

  4. 與圓有關(guān)的公式

  設(shè)圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則有:

  (1)d﹤r:點(diǎn)在圓內(nèi)(即圓的內(nèi)部是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合);

  (2)d=r:點(diǎn)在圓上(即圓上部分是到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)的集合);

  (3)d﹥r(jià):點(diǎn)在圓外(即圓的外部是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合);

  線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定:

  如果⊙O的半徑為r,圓心O到直線 的距離為d,那么:

  (1)直線 與⊙O相交:d﹤r;

  (2)直線 與⊙O相切:d=r;

  (3)直線 與⊙O相離:d﹥r(jià);

  圓與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定:

  設(shè)兩圓半徑分別為R和r,圓心距為d,那么:

  (1)兩圓外離: ;

  (2)兩圓外切: ;

  (3)兩圓相交: ( );

  (4)兩圓內(nèi)切: ( );

  (5)兩圓內(nèi)含: ( ).

  圓周長公式:C=2πR=πd (其中R為圓半徑,d為圓直徑,π≈3.1415926≈ );

  的圓心角所對(duì)的弧長 的計(jì)算公式: = ;

  扇形的面積:(1)S扇= πR2;(2)S扇= R;

  若圓錐的底面半徑為r,母線長為l,則它的側(cè)面積:S側(cè)=πr ;

  圓錐的體積:V= Sh= πr2h。

  常用數(shù)學(xué)公式:其他

  1. 2X、3X、7X、8X的尾數(shù)都是以4為周期進(jìn)行變化的;4X、9X的尾數(shù)都是以2為周期進(jìn)行變化的;

  另外5X和6X的尾數(shù)恒為5和6,其中x屬于自然數(shù)。

  2.對(duì)任意兩數(shù)a、b,如果a-b>0,則a>b;如果a-b<0,則a

  當(dāng)a、b為任意兩正數(shù)時(shí),如果a/b>1,則a>b;如果a/b<1,則a

  當(dāng)a、b為任意兩負(fù)數(shù)時(shí),如果a/b>1,則ab;如果a/b=1,則a=b。

  對(duì)任意兩數(shù)a、b,當(dāng)很難直接用作差法或者作商法比較大小時(shí),我們通常選取中間值C,如果

  a>C,且C>b,則我們說a>b。

  3.工程問題:

  工作量=工作效率×工作時(shí)間;工作效率=工作量÷工作時(shí)間;

  工作時(shí)間=工作量÷工作效率;總工作量=各分工作量之和;

  注:在解決實(shí)際問題時(shí),常設(shè)總工作量為1。

  4.方陣問題:

  (1)實(shí)心方陣:方陣總?cè)藬?shù)=(最外層每邊人數(shù))2

  最外層人數(shù)=(最外層每邊人數(shù)-1)×4

  (2)空心方陣:中空方陣的人數(shù)=(最外層每邊人數(shù))2-(最外層每邊人數(shù)-2×層數(shù))2

  =(最外層每邊人數(shù)-層數(shù))×層數(shù)×4=中空方陣的人數(shù)。

  例:有一個(gè)3層的中空方陣,最外層有10人,問全陣有多少人?

  解:(10-3)×3×4=84(人)

  5.利潤問題:

  (1)利潤=銷售價(jià)(賣出價(jià))-成本;

  利潤率= = = -1;

  銷售價(jià)=成本×(1+利潤率);成本= 。

  (2)單利問題

  利息=本金×利率×時(shí)期;

  本利和=本金+利息=本金×(1+利率×時(shí)期);

  本金=本利和÷(1+利率×時(shí)期)。

  年利率÷12=月利率;

  月利率×12=年利率。

  例:某人存款2400元,存期3年,月利率為10.2‰(即月利1分零2毫),三年到期后,本利和共是多少元?”

  解:用月利率求。3年=12月×3=36個(gè)月

  2400×(1+10.2%×36) =2400×1.3672 =3281.28(元)

  6.排列數(shù)公式:P =n(n-1)(n-2)…(n-m+1),(m≤n)

  組合數(shù)公式:C =P ÷P =(規(guī)定 =1)。

  “裝錯(cuò)信封”問題:D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44,D6=265,

  7. 年齡問題:關(guān)鍵是年齡差不變;

  幾年后年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差-小年齡

  幾年前年齡=小年齡-大小年齡差÷倍數(shù)差

  8. 日期問題:閏年是366天,平年是365天,其中:1、3、5、7、8、10、12月都是31天,4、6、9、11是30天,閏年時(shí)候2月份29天,平年2月份是28天。

  9. 植樹問題

  (1)線形植樹:棵數(shù)=總長 間隔+1

  (2)環(huán)形植樹:棵數(shù)=總長 間隔

  (3)樓間植樹:棵數(shù)=總長 間隔-1

  (4)剪繩問題:對(duì)折N次,從中剪M刀,則被剪成了(2N×M+1)段

  10. 雞兔同籠問題:

  雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))

  (一般將“每”量視為“腳數(shù)” )

  得失問題(雞兔同籠問題的推廣):

  不合格品數(shù)=(1只合格品得分?jǐn)?shù)×產(chǎn)品總數(shù)-實(shí)得總分?jǐn)?shù))÷(每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù))

  =總產(chǎn)品數(shù)-(每只不合格品扣分?jǐn)?shù)×總產(chǎn)品數(shù)+實(shí)得總分?jǐn)?shù))÷(每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù))

  例:“燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人,按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個(gè)合格品記4分,每生產(chǎn)一個(gè)不合格品不僅不記分,還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了1000只燈泡,共得3525分,問其中有多少個(gè)燈泡不合格?”

  解:(4×1000-3525)÷(4+15) =475÷19=25(個(gè))

  11.盈虧問題:

  (1)一次盈,一次虧:(盈+虧)÷(兩次每人分配數(shù)的差)=人數(shù)

  (2)兩次都有盈: (大盈-小盈)÷(兩次每人分配數(shù)的差)=人數(shù)

  (3)兩次都是虧: (大虧-小虧)÷(兩次每人分配數(shù)的差)=人數(shù)

  (4)一次虧,一次剛好:虧÷(兩次每人分配數(shù)的差)=人數(shù)

  (5)一次盈,一次剛好:盈÷(兩次每人分配數(shù)的差)=人數(shù)

  例:“小朋友分桃子,每人10個(gè)少9個(gè),每人8個(gè)多7個(gè)。問:有多少個(gè)小朋友和多少個(gè)桃子?”

  解(7+9)÷(10-8)=16÷2=8(個(gè))………………人數(shù)

  10×8-9=80-9=71(個(gè))………………桃子

  12.行程問題:

  (1)平均速度:平均速度=

  (2)相遇追及:

  相遇(背離):路程÷速度和=時(shí)間

  追及:路程÷速度差=時(shí)間

  (3)流水行船:

  順?biāo)俣?船速+水速;

  逆水速度=船速-水速。

  兩船相向航行時(shí),甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度

  兩船同向航行時(shí),后(前)船靜水速度-前(后)船靜水速度=兩船距離縮小(拉大)速度。

  (4)火車過橋:

  列車完全在橋上的時(shí)間=(橋長-車長)÷列車速度

  列車從開始上橋到完全下橋所用的時(shí)間=(橋長+車長)÷列車速度

  (5)多次相遇:

  相向而行,第一次相遇距離甲地a千米,第二次相遇距離乙地b千米,則甲乙兩地相距

  S=3a-b(千米)

  (6)鐘表問題:

  鐘面上按“分針”分為60小格,時(shí)針的轉(zhuǎn)速是分針的 ,分針每小時(shí)可追及

  時(shí)針與分針一晝夜重合22次,垂直44次,成180度22次。


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