高中數學數列基礎知識
高中數學數列基礎知識
數列(sequence of number)是以正整數集(或它的有限子集)為定義域的函數，是一列有序的數。下面是學習啦小編為你整理的高中數學數列基礎知識，一起來看看吧。
高中數學數列基礎知識：等差數列
定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列(arithmetic sequence)，這個常數叫做等差數列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前n項和用Sn表示。等差數列可以縮寫為A.P.(Arithmetic Progression)。
通項公式
an=a1+(n-1)d
n=1時 a1=S1
n≥2時 an=Sn-Sn-1
an=kn+b(k,b為常數) 推導過程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 則得到an=kn+b
等差中項
由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項(arithmetic mean)。
有關系：A=(a+b)÷2
前n項和
倒序相加法推導前n項和公式：
Sn=a1+a2+a3 +·····+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2
等差數列的前n項和等于首末兩項的和與項數乘積的一半：
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
性質
一、任意兩項am，an的關系為：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
二、從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*
三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有
am+an=ap+aq
四、對任意的k∈N*，有
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數列。
高中數學數列基礎知識：等比數列
定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列(geometric sequence)。這個常數叫做等比數列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示。
縮寫
等比數列可以縮寫為G.P.(Geometric Progression)。
等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。
通項公式
an=a1*q^(n-1) (其中首項是a1 ，公比是q)
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n項和
當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1*q^n)/(1-q) (q≠1)
當q=1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=na1
前n項和與通項的關系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)
性質
(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq;
(2)在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列。
(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
(4)等比中項：q、r、p成等差數列，則aq·ap=ar²，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底對數后構成一個等差數列;反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
(5) 等比數列前n項之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
(6)任意兩項am，an的關系為an=am·q^(n-m)
(7)在等比數列中，首項a1與公比q都不為零。
注意：上述公式中a^n表示a的n次方。
高中數學數列基礎知識：等和數列
定義
“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。
對一個數列，如果其任意的連續(xù)k(k≥2)項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列
性質
必定是循環(huán)數列
證明：對任意正整數n，有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k， 所以對任意正整數n，an = an+k，如果這個數列有n+k項的話。
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