淺談高中數(shù)學(xué)零點(diǎn)問(wèn)題(2)
淺談高中數(shù)學(xué)零點(diǎn)問(wèn)題
淺談高中數(shù)學(xué)零點(diǎn)問(wèn)題篇三
高中新課程標(biāo)準(zhǔn)在數(shù)學(xué)必修1第三章函數(shù)的應(yīng)用中新增了函數(shù)的零點(diǎn)一部分.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈結(jié)點(diǎn)，它從不同的角度，將數(shù)與形、函數(shù)與方程有機(jī)地聯(lián)系在一起.
一、函數(shù)零點(diǎn)的意義
在系統(tǒng)地掌握了函數(shù)的概念及性質(zhì)，基本初等函數(shù)知識(shí)后，學(xué)習(xí)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，并結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)來(lái)判斷方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而掌握函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法，為“二分法求方程的近似解”和后續(xù)學(xué)習(xí)的算法提供了基礎(chǔ).因此方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的內(nèi)容具有承前啟后的作用，意義重大.
二、函數(shù)零點(diǎn)的概念
1.函數(shù)零點(diǎn)的定義
對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn).
2.幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?圳函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?圳函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).
3.函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)
如果函數(shù)f(x)=0在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)•f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是f(x)=0的根.
三、函數(shù)零點(diǎn)的題型及解法
【題型一】解方程：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過(guò)解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上.
[例1]函數(shù)f(x)=x-的零點(diǎn)為_(kāi)_______.
解析：由x-=0(x≠0)得：x-4=0(x≠0)，
∴x=±2，即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為-2和2.
[知識(shí)遷移1](2010•福建高考)
函數(shù)f(x)=x+2x-3(x≤0)-2+lnx(x>0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()
A.0 B.1C.2D.3
解析：令f(x)=0，得x≤0x+2x-3=0或x>0lnx=2，
∴x=-3或x=e，∴答案為C.
[知識(shí)遷移2]已知函數(shù)f(x)=4+m•2+1=0有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為?搖?搖?搖?搖.
解析：由題知：方程4+m•2+1=0只有一個(gè)零點(diǎn).
令2=t(t>0)，
∴方程t+m•t+1=0只有一個(gè)正根，
∴由圖像可知->0Δ=0，∴m=-2.
小結(jié)：這類(lèi)題型主要考查函數(shù)零點(diǎn)的有關(guān)知識(shí)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想等.
【題型二】利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷.
[例2]已知函數(shù)f(x)=x+x+a(a<0)在區(qū)間(0，1)上有零點(diǎn)，則a的范圍為?搖?搖?搖?搖.
解析：由題意f(0)•f(1)<0，
∴a(2+a)<0，
∴-2
[知識(shí)遷移1](2010•天津高考)
函數(shù)f(x)=2+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()
A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2)
解析：由題意可知f(-2)=-6<0，f(-1)=-3<0，f(0)=1>0，f(2)>0，f(-1)•f(0)<0，因此在區(qū)間(-1，0)上一定有零點(diǎn).∴答案為B.
[知識(shí)遷移2](2011•新課標(biāo)全國(guó)高考)
在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=e+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()
A.(-，0) B.(0，) C.(，) D.(，)
解析：∵f()=e+4×-3<0，f()=e+4×-3>0，
∴f(x)=e+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(，).答案為C.
小結(jié)：這類(lèi)題型主要考查函數(shù)零點(diǎn)的有關(guān)概念、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及函數(shù)零點(diǎn)存在定理等.
【題型三】通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖像，觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.
[例3]判斷函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
解析：在同一坐標(biāo)系畫(huà)出y=lnx與y=6-2x的圖像，由圖可知兩圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)=lnx+2x-6只有一個(gè)零點(diǎn).
[知識(shí)遷移1](2009•山東高考)若函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?搖?搖?搖?搖.
解析：令g(x)=a(a>0，且a≠1)，h(x)=x+a，分01兩種情況.在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像.如圖，若函數(shù)f(x)=a-x-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)、h(x)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).根據(jù)畫(huà)出的圖像只有當(dāng)a>1時(shí)符合題目要求.
[知識(shí)遷移2](2011•山東高考)已知函數(shù)f(x)=logx+x-b(a>0，且a≠1).當(dāng)2
解析：令y=logx，y=b-x，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于直線y=b-x在y軸上的截距b滿足31+3-4=0.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2，3)內(nèi)，故n=2.
小結(jié)：這類(lèi)題型主要考查函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)零點(diǎn)的有關(guān)概念、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想，等等.
根據(jù)以上的題型及解法分析，我們把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的解決總結(jié)為：判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體問(wèn)題靈活處理，當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷;當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷;當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無(wú)法判斷時(shí)可畫(huà)出圖像判斷.
從近幾年的高考試題來(lái)看，函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題.利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理或函數(shù)的圖像，對(duì)函數(shù)是否存在零點(diǎn)(方程是否存在實(shí)根)進(jìn)行判斷或利用零點(diǎn)(方程實(shí)根)的存在情況求相關(guān)參數(shù)的范圍，是高考中常見(jiàn)的題目類(lèi)型.
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