2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析
2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析
2018年廣西的中考試卷大家都做了嗎?數(shù)學(xué)試卷難嗎?想不想要校對數(shù)學(xué)試卷的答案呢?下面由學(xué)習(xí)啦小編為大家提供關(guān)于2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析，希望對大家有幫助!
2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題
本大題共12個小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.7的相反數(shù)是( )
A.7 B.﹣7 C. D.﹣
【考點】14：相反數(shù).
【分析】根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣”號，求解即可.
【解答】解：7的相反數(shù)是﹣7，
故選：B.
2.數(shù)據(jù)3，2，4，2，5，3，2的中位數(shù)和眾數(shù)分別是( )
A.2，3 B.4，2 C.3，2 D.2，2
【考點】W5：眾數(shù);W4：中位數(shù).
【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進行解答即可.
【解答】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：2，2，2，3，3，4，5，
最中間的數(shù)是3，
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3;
2出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是2.
故選：C.
3.如圖是一個空心圓柱體，它的左視圖是( )
A. B. C. D.
【考點】U1：簡單幾何體的三視圖.
【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.
【解答】解：從左邊看是三個矩形，中間矩形的左右兩邊是虛線，
故選：B.
4.下列二次根式中，最簡二次根式是( )
A. B. C. D.
【考點】74：最簡二次根式.
【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.
【解答】解：A、被開方數(shù)不含分母;被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故A符合題意;
B、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故B不符合題意;
C、被開方數(shù)含分母，故C不符合題意;
D、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D不符合題意;
故選：A.
5.下列運算正確的是( )
A.3a2+a=3a3 B.2a3•(﹣a2)=2a5 C.4a6+2a2=2a3 D.(﹣3a)2﹣a2=8a2
【考點】49：單項式乘單項式;35：合并同類項;47：冪的乘方與積的乘方.
【分析】運用合并同類項，單項式乘以單項式，冪的乘方等運算法則運算即可.
【解答】解：A.3a2與a不是同類項，不能合并，所以A錯誤;
B .2a3•(﹣a2)=2×(﹣1)a5=﹣2a5，所以B錯誤;
C.4a6與2a2不是同類項，不能合并，所以C錯誤;
D.(﹣3a)2﹣a2=9a2﹣a2=8a2，所以D正確，
故選D.
6.在平面直角坐標(biāo)系中，點P(m﹣3，4﹣2m)不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點】D1：點的坐標(biāo).
【分析】分點P的橫坐標(biāo)是正數(shù)和負數(shù)兩種情況討論求解.
【解答】解：①m﹣3>0，即m>3時，﹣2m<﹣6，
4﹣2m<﹣2，
所以，點P(m﹣3，4﹣2m)在第四象限，不可能在第一象限;
?、趍﹣3<0，即m<3時，﹣2m>﹣6，
4﹣2m>﹣2，
點P(m﹣3，4﹣2m)可以在第二或三象限，
綜上所述，點P不可能在第一象限.
故選A.
7.下列命題中假命題是( )
A.正六邊形的外角和等于360°
B.位似圖形必定相似
C.樣本方差越大，數(shù)據(jù)波動越小
D.方程x2+x+1=0無實數(shù)根
【考點】O1：命題與定理.
【分析】根據(jù)正確的命題是真命題，錯誤的命題是假命題進行分析即可.
【解答】解：A、正六邊形的外角和等于360°，是真命題;
B、位似圖形必定相似，是真命題;
C、樣本方差越大，數(shù)據(jù)波動越小，是假命題;
D、方程x2+x+1=0無實數(shù)根，是真命題;
故選：C.
8.從長為3，5，7，10的四條線段中任意選取三條作為邊，能構(gòu)成三角形的概率是( )
A. B. C. D.1
【考點】X6：列表法與樹狀圖法;K6：三角形三邊關(guān)系.
【分析】列舉出所有等可能的情況數(shù)，找出能構(gòu)成三角形的情況數(shù)，即可求出所求概率.
【解答】解：從長為3，5，7，10的四條線段中任意選取三條作為邊，所有等可能情況有：3，5，7;3，5，10;3，7，10;5，7，10，共4種，
其中能構(gòu)成三角形的情況有：3，5，7;5，7，10，共2種，
則P(能構(gòu)成三角形)= = ，
故選B
9.如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，B是 的中點，M 是半徑OD上任意一點.若∠BDC=40°，則∠AMB的度數(shù)不可能是( )
A.45° B.60° C.75° D.85°
【考點】M5：圓周角定理;M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系.
【分析】根據(jù)圓周角定理求得∠AOB的度數(shù)，則∠AOB的度數(shù)一定不小于∠AMB的度數(shù)，據(jù)此即可判斷.
【解答】解：∵B是 的中點，
∴∠AOB=2∠BDC=80°，
又∵M是OD上一點，
∴∠AMB≤∠AOB=80°.
則不符合條件的只有85°.
故選D.
10.將如圖所示的拋物線向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度后，得到的拋物線解析式是( )
A.y=(x﹣1)2+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=2(x﹣1)2+1 D.y=2(x+1)2+1
【考點】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】根據(jù)平移規(guī)律，可得答案.
【解答】解：由圖象，得
y=2x2﹣2，
由平移規(guī)律，得
y=2(x﹣1)2+1，
故選：C.
11.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，M是BC的中點，P是A'B'的中點，連接PM.若BC=2，∠BAC=30°，則線段PM的最大值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【考點】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】如圖連接PC.思想求出PC=2，根據(jù)PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解決問題.
【解答】解：如圖連接PC.
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，A′ B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC= A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值為3(此時P、C、M共線).
故選B.
12.如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點(點M不與B，C重合)，CN⊥DM，CN與AB交于點N，連接OM，ON，MN.下列五個結(jié)論：①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2，則S△OMN的最小值是 ，其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì);KD：全等三角形的判定與性質(zhì);LE：正方形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理進行計算即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC(ASA)，故①正確;
根據(jù)△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN(SAS)，
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，
∴△CON≌△DOM(SAS)，故②正確;
∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，
∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正確;
∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，
∴AN2+CM2=MN2，故④正確;
∵△OCM≌△OBN，
∴四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1，即四邊形BMON的面積是定值1，
∴當(dāng)△MNB的面積最大時，△MNO的面積最小，
設(shè)BN=x=CM，則BM=2﹣x，
∴△MNB的面積= x(2﹣x)=﹣ x2+x，
∴當(dāng)x=1時，△MNB的面積有最大值 ，
此時S△OMN的最小值是1﹣ = ，故⑤正確;
綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)是5個，
故選：D.
2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷二、填空題
(每題3分，滿分18分，將答案填在答題紙上)
13.計算：﹣3﹣5= ﹣8 .
【考點】1A：有理數(shù)的減法.
【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則進行計算即可得解.
【解答】解：﹣3﹣5=﹣8.
故答案為：﹣8.
14.中國的領(lǐng)水面積約為370 000km2，將數(shù)370 000用科學(xué)記數(shù)法表示為 3.7×105 .
【考點】1I：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負數(shù).確定a×10n(1≤|a |<10，n為整數(shù))中n的值，由于370 000有6位，所以可以確定n=6﹣1=5.
【解答】解：370 000=3.7×105，
故答案為：3.7×105.
15.如圖，AB∥CD，點E在AB上，點F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么∠BEF的度數(shù)為 60° .
【考點】JA：平行線的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠CFB的度數(shù)，再根據(jù)∠CFE：∠EFB=3：4以及平行線的性質(zhì)，即可得出∠BEF的度數(shù).
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABF=40°，
∴∠CFB=180°﹣∠B=140°，
又∵∠CFE：∠EFB=3：4，
∴∠CFE= ∠CFB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE=60°，
故答案為：60°.
16.如圖，點P在等邊△ABC的內(nèi)部，且PC=6，PA=8，PB=10，將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，連接AP'，則sin∠PAP'的值為 .
【考點】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);KK：等邊三角形的性質(zhì);T7：解直角三角形.
【分析】連接PP′，如圖，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，則可判定△CPP′為等邊三角形得到PP′=PC=6，再證明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接著利用勾股定理的逆定理證明△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，然后根據(jù)正弦的定義求解.
【解答】解：連接PP′，如圖，
∵線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，
∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，
∴△CPP′為等邊三角形，
∴PP′=PC=6，
∵△ABC為等邊三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠P′CA，
在△PCB和△P′CA中
，
∴△PCB≌△P′CA，
∴PB=P′A=10，
∵62+82=102，
∴PP′2+AP2=P′A2，
∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，
∴sin∠PAP′= = = .
故答案為 .
17.如圖，在扇形OAB中，C是OA的中點，CD⊥OA，CD與 交于點D，以O(shè)為圓心，OC的長為半徑作 交OB于點E，若OA=4，∠AOB=120°，則圖中陰影部分的面積為 π+2 .(結(jié)果保留π)
【考點】MO：扇形面積的計算;KG：線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】連接OD、AD，根據(jù)點C為OA的中點可得∠CDO=30°，繼而可得△ADO為等邊三角形，求出扇形AOD的面積，最后用扇形AOB的面積減去扇形COE的面積，再減去S空白ADC即可求出陰影部分的面積.
【解答】解：連接O、AD，
∵點C為OA的中點，
∴∠C DO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO為等邊三角形，
∴S扇形AOD= = π，
∴S陰影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣(S扇形AOD﹣S△COD)
= ﹣ ﹣( π﹣ ×2×2 )
= π﹣ π﹣ π+2
= π+2 .
故答案為 π+2 .
18.如圖，過C(2，1)作AC∥x軸，BC∥y軸，點A，B都在直線y=﹣x+6上，若雙曲線y= (x>0)與△ABC總有公共點，則k的取值范圍是 2≤k≤9 .
【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】把C的坐標(biāo)代入求出k≥2，解兩函數(shù)組成的方程組，根據(jù)根的判別式求出k≤9，即可得出答案.
【解答】解：當(dāng)反比例函數(shù)的圖象過C點時，把C的坐標(biāo)代入得：k=2×1=2;
把y=﹣x+6代入y= 得：﹣x+6= ，
x2﹣6x +k=0，
△=(﹣6)2﹣4k=36﹣4k，
∵反比例函數(shù)y= 的圖象與△ABC有公共點，
∴36﹣4k≥0，
k≤9，
即k的范圍是2≤k≤9，
故答案為：2≤k≤9.
2018廣西中考數(shù)學(xué)試卷三、解答題
(本大題共8小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
19.(1)計算：|﹣3|+( +π)0﹣(﹣ )﹣2﹣2cos60°;
(2)先化簡，在求值：( ﹣ )+ ，其中a=﹣2+ .
【考點】6D：分式的化簡求值;2C：實數(shù)的運算;6E：零指數(shù)冪;6F：負整數(shù)指數(shù)冪;T5：特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)根據(jù)零指數(shù)冪的意義、特殊角的銳角三角函數(shù)以及負整數(shù)指數(shù)冪的意義即可求出答案;
(2)先化簡原式，然后將a的值代入即可求出答案.
【解答】解：(1)原式=3+1﹣(﹣2)2﹣2× =4﹣4﹣1=﹣1
(2)當(dāng)a=﹣2+
原式= +
=
=
=7+5
20.尺規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：
已知線段a和∠AOB，點M在OB上(如圖所示).
(1)在OA邊上作點P，使OP=2a;
(2)作∠AOB的平分線;
(3)過點M作 OB的垂線.
【考點】N3：作圖—復(fù)雜作圖.
【分析】(1)在OA上截取OP=2a即可求出點P的位置;
(2)根據(jù)角平分線的作法即可作出∠AOB的平分線;
(3)以M為圓心，作一圓與射線OB交于兩點，再以這兩點分別為圓心，作兩個相等半徑的圓交于D點，連接MD即為OB的垂線;
【解答】解：(1)點P為所求作;
(2)OC為所求作;
(3)MD為所求作;
21.如圖，一次函數(shù)y=2x﹣4的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為3.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求點B的坐標(biāo).
【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)把x=3代入一次函數(shù)解析式求得A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式;
(2)解一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式組成的方程組求得B的坐標(biāo).
【解答】解：(1)把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2，
則A的坐標(biāo)是(3，2).
把(3，2)代入y= 得k=6，
則反比例函數(shù)的解析式是y= ;
(2)根據(jù)題意得2x﹣4= ，
解得x=3或﹣1，
把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6，則B的坐標(biāo)是(﹣1，﹣6).
22.在開展“經(jīng)典閱讀”活動中，某學(xué)校為了解全校學(xué)生利用課外時間閱讀的情況，學(xué)校團委隨機抽取若干名學(xué)生，調(diào)查他們一周的課外閱讀時間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計表.根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
頻率分布表
閱讀時間
(小時) 頻數(shù)
(人) 頻率
1≤x<2 18 0.12
2≤x<3 a m
3≤x<4 45 0.3
4≤x<5 36 n
5≤x<6 21 0.14
合計 b 1
(1)填空：a= 30 ，b= 150 ，m= 0.2 ，n= 0.24 ;
(2)將頻數(shù)分布直方圖補充完整(畫圖后請標(biāo)注相應(yīng)的頻數(shù));
(3)若該校由3000名學(xué)生，請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估算該校學(xué)生一周的課外閱讀時間不足三小時的人數(shù).
【考點】V8：頻數(shù)(率)分布直方圖;V5：用樣本估計總體;V7：頻數(shù)(率)分布表.
【分析】(1)根據(jù)閱讀時間為1≤x<2的人數(shù)及所占百分比可得，求出總?cè)藬?shù)b=150，再根據(jù)頻率、頻數(shù)、總?cè)藬?shù)的關(guān)系即可求出m、n、a;
(2)根據(jù)數(shù)據(jù)將頻數(shù)分布直方圖補充完整即可;
(3)由總?cè)藬?shù)乘以時間不足三小時的人數(shù)的頻率即可.
【解答】解：(1)b=18÷0.12=150(人)，
∴n=36÷150=0.24，
∴m=1﹣0.12﹣0.3﹣0.24﹣0.14=0.2，
∴a=0.2×150=30;
故答案為：30，150，0.2，0.24;
(2)如圖所示：
(3)3000×(0.12+0.2)=960(人);
即估算該校學(xué)生一周的課外閱讀時間不足三小時的人數(shù)為960人.
23.某次籃球聯(lián)賽初賽階段，每隊有10場比賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分，積分超過15分才能獲得參賽資格.
(1)已知甲隊在初賽階段的積分為18分，求甲隊初賽階段勝、負各多少場;
(2)如果乙隊要獲得參加決賽資格，那么乙隊在初賽階段至少要勝多少場?
【考點】C9：一元一次不等式的應(yīng)用;8A：一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)甲隊勝了x場，則負了(10﹣x)場，根據(jù)每隊勝一場得2分，負一場得1分，利用甲隊在初賽階段的積分為18分，進而得出等式求出答案;
(2)設(shè)乙隊在初賽階段勝a場，根據(jù)積分超過15分才能獲得參賽資格，進而得出答案.
【解答】解：(1)設(shè)甲隊勝了x場，則負了(10﹣x)場，根據(jù)題意可得：
2x+10﹣x=18，
解得：x=8，
則10﹣x=2，
答：甲隊勝了8場，則負了2場;
(2)設(shè)乙隊在初賽階段勝a場，根據(jù)題意可得：
2a+(10﹣a)≥15，
解得：a≥5，
答：乙隊在初賽階段至少要勝5場.
24.如圖，在菱形ABCD中，點P在對角線AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圓.
(1)求證：AB是⊙O的切線;
(2)若AC=8，tan∠BAC= ，求⊙O的半徑.
【考點】ME：切線的判定與性質(zhì);L8：菱形的性質(zhì);T7：解直角三角形.
【分析】(1)連結(jié)OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，則∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切;
(2)連結(jié)BD，交AC于點F，根據(jù)菱形的性質(zhì)得DB與AC互相垂直平分，則AF=4，tan∠DAC= ，得到DF=2 ，根據(jù)勾股定理得到AD= =2 ，求得AE= ，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=R﹣ ，OA=R，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)連結(jié)OP、OA，OP交AD于E，如圖，
∵PA=PD，
∴弧AP=弧DP，
∴OP⊥AD，AE=DE，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA⊥AB，
∴直線AB與⊙O相切;
(2)連結(jié)BD，交AC于點F，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴DB與AC互相垂直平分，
∵AC=8，tan∠BAC= ，
∴AF=4，tan∠DAC= = ，
∴DF=2 ，
∴AD= =2 ，
∴AE= ，
在Rt△PAE中，tan∠1= = ，
∴PE= ，
設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=R﹣ ，OA=R，
在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，
∴R2=(R﹣ )2+( )2，
∴R= ，
即⊙O的半徑為 .
25.如圖，拋物線y=a(x﹣1)(x﹣3)與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，其頂點為D.
(1)寫出C，D兩點的坐標(biāo)(用含a的式子表示);
(2)設(shè)S△BCD：S△ABD=k，求k的值;
(3)當(dāng)△BCD是直角三角形時，求對應(yīng)拋物線的解析式.
【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)令x=0可求得C點坐標(biāo)，化為頂點 式可求得D點坐標(biāo);
(2)令y=0可求得A、B的坐標(biāo)，結(jié)合D點坐標(biāo)可求得△ABD的面積，設(shè)直線CD交x軸于點E，由C、D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式，則可求得E點坐標(biāo)，從而可表示出△BCD的面積，可求得k的值;
(3)由B、C、D的坐標(biāo)，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°兩種情況，分別利用勾股定理可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值，則可求得拋物線的解析式.
【解答】解：
(1)在y=a(x﹣1)(x﹣3)，令x=0可得y=3a，
∴C(0，3a)，
∵y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3)=a(x﹣2)2﹣a，
∴D(2，﹣a);
(2)在y=a(x﹣1)(x﹣3)中，令y=0可解得x=1或x=3，
∴A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=3﹣1=2，
∴S△ABD= ×2×a=a，
如圖，設(shè)直線CD交x軸于點E，設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，
把C、D的坐標(biāo)代入可得 ，解得 ，
∴直線CD解析式為y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x= ，
∴E( ，0)，
∴BE=3﹣ =
∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×(3a+a)=3a，
∴S△BCD：S△ABD=(3a)：a=3，
∴k=3;
(3)∵B(3，0)，C(0，3a)，D(2，﹣a)，
∴BC2=32+(3a)2=9+9a2，CD2=22+(﹣a﹣3a)2=4+16a2，BD2=(3﹣2)2+a2=1+a2，
∵∠BCD<∠BCO<90°，
∴△BCD為直角三角形時，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況，
?、佼?dāng)∠CBD=90°時，則有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1(舍去)或a=1，此時拋物線解析式為y=x2﹣4x+3;
?、诋?dāng)∠CDB=90°時，則有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣ (舍去)或a= ，此時拋物線解析式為y= x2﹣2 x+ ;
綜上可知當(dāng)△BCD是直角三角形時，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+ .
26.已 知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC邊上的一個動點，將△ABD沿BD所在直線折疊，使點A落在點P處.
(1)如圖1，若點D是AC中點，連接PC.
①寫出BP，BD的長;
②求證：四邊形BCPD是平行四邊形.
(2)如圖2，若BD=AD，過點 P作PH⊥BC交BC的延長線于點H，求PH的長.
【考點】LO：四邊形綜合題.
【分析】(1)①分別在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解決問題;
?、谙朕k法證明DP∥BC，DP=BC即可;
(2)如圖2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延長BD交PA于M.設(shè)BD=AD=x，則CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=(4﹣x)2+22，推出x= ，推出DN= = ，由△BDN∽△BAM，可得 = ，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得 = ，由此求出AE= ，可得EC=AC﹣AE=4﹣ = 由此即可解決問題.
【解答】解：(1)①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，
∴AB= =2 ，
∵AD=CD=2，
∴BD= =2 ，
由翻折可知，BP=BA=2 .
?、谌鐖D1中，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=∠BDP=135°，
∴∠PDC=135°﹣45°=90°，
∴∠BCD=∠PDC=90°，
∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，
∴四邊形BCPD是平行四邊形.
(2)如圖2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延長BD交PA于M.
設(shè)BD=AD=x，則CD=4﹣x，
在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，
∴x2=(4﹣x)2+22，
∴x= ，
∵DB=DA，DN⊥AB，
∴BN=AN= ，
在Rt△BDN中，DN= = ，
由△BDN∽△BAM，可得 = ，
∴ = ，
∴AM=2，
∴AP=2AM=4，
由△ADM∽△APE，可得 = ，
∴ = ，
∴AE= ，
∴EC=AC﹣AE=4﹣ = ，
易證四邊形PECH是矩形，
∴PH=EC= .
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