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初中數(shù)學(xué)求線段和差最值知識

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初中數(shù)學(xué)求線段和差最值知識

  初中階段我們學(xué)過三種路徑最值問題,一是兩點(diǎn)之間線段最短;二是將軍飲馬問題;三是直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的連線中,垂線段最短。

  一、直接利用公理(定理)求最值

  1、公理:兩點(diǎn)直接線段最短

  2、定理:三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊(由上面公理證明而得)

  3、定理:直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短。(簡稱垂線段最短)

  所有的線段和差問題都是直接利用或者轉(zhuǎn)化為第1點(diǎn)或第3點(diǎn)來求最值,這是咱們思考這類問題的出發(fā)點(diǎn),大家要死死記住。

  二、結(jié)合圖形三大變換求最值

  1、應(yīng)用平移變換、軸對稱變換將線段和差轉(zhuǎn)化為可以利用公理(定理)求最值(將軍飲馬問題)

  2、應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換將線段和差轉(zhuǎn)化為可以利用公理(定理)求最值(費(fèi)馬點(diǎn)問題)

  【將軍飲馬問題】

  【費(fèi)馬點(diǎn)問題】

  三.例題

  1.如圖,A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè),分別到河的距離為AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠,向A、B兩鎮(zhèn)供水,鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬,請你在河流CD上選擇水廠的位置M,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省,并求出總費(fèi)用是多少?

  作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)B',連接AB',交CD于點(diǎn)M

  則AM+BM = AM+B'M = AB',水廠建在M點(diǎn)時(shí),費(fèi)用最小

  如右圖,在直角△AB'E中,

  AE = AC+CE = 10+30 = 40

  EB' = 30

  所以:AB' = 50

  總費(fèi)用為:50×3 = 150萬

  2.如圖,C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn),分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,連接AC、EC。已知AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x.

  (1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長;

  (2)請問點(diǎn)C滿足什么條件時(shí),AC+CE的值最小?

  (3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論,請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值

  3.兩條公路OA、OB相交,在兩條公路的中間有一個(gè)油庫,設(shè)為點(diǎn)P,如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站,,請你設(shè)計(jì)一個(gè)方案,把兩個(gè)加油站設(shè)在何處,可使運(yùn)油車從油庫出發(fā),經(jīng)過一個(gè)加油站,再到另一個(gè)加油站,最后回到油庫所走的路程最短.

  分析 這是一個(gè)實(shí)際問題,我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,經(jīng)過分析,我們知道此題是求運(yùn)油車所走路程最短,OA與OB相交,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部,通常我們會(huì)想到軸對稱,分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對稱點(diǎn)P1、P2 ,連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D,C、D兩點(diǎn)就是使運(yùn)油車所走路程最短,而建加油站的地點(diǎn),那么是不是最短的呢?我們可以用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行說明.

  解:分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對稱點(diǎn)P1、P2,

  連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D,

  則C、D就是建加油站的位置.

  若取異于C、D兩點(diǎn)的點(diǎn),

  則由三角形的三邊關(guān)系,可知在C、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車所走的路程最短.

  點(diǎn)評:在這里沒有詳細(xì)說明為什么在C、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車所走的路程最短,請同學(xué)們思考弄明白。

  4.如圖∠AOB = 45°,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PO = 10,Q、P分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),求△PQR周長的最小值.

  分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2,連接P1P2,

  交OA、OB于點(diǎn)Q,R,連接OP1,OP2,

  則OP = OP1 = OP2 = 10

  且∠P1OP2 = 90°

  由勾股定理得P1P2 = 10

  5.如圖,等腰Rt△ABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點(diǎn),P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn),則PB+PE的最小值為

  即在AC上作一點(diǎn)P,使PB+PE最小

  作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B',連接B'E,交AC于點(diǎn)P,則B'E = PB'+PE = PB+PE

  B'E的長就是PB+PE的最小值

  在直角△B'EF中,EF = 1,B'F =3

  根據(jù)勾股定理,B'E =

  6.等腰△ABC中,∠A = 20°,AB = AC = 20,M、N分別是AB、AC上的點(diǎn),求BN+MN+MC的最小值

  分別作點(diǎn)C、B關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)C’、B’,連接C’B’交AB、AC于點(diǎn)M、N,則BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’,BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值

  ∵∠BAC’ =∠BAC,∠CAB’ =∠CAB

  ∴∠B’AC’ = 60°

  ∵AC’ = AC,AB’ = AB,AC = AB

  ∴AC’ = AB’

  ∴△AB’C’是等邊三角形

  ∴B’C’ = 20

  7.如圖,在等邊△ABC中,AB = 6,AD⊥BC,E是AC上的一點(diǎn),M是AD上的一點(diǎn),且AE = 2,求EM+EC的最小值

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