初中數(shù)學(xué)求線段和差最值知識
初中數(shù)學(xué)求線段和差最值知識
初中階段我們學(xué)過三種路徑最值問題,一是兩點(diǎn)之間線段最短;二是將軍飲馬問題;三是直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的連線中,垂線段最短。
一、直接利用公理(定理)求最值
1、公理：兩點(diǎn)直接線段最短
2、定理：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊(由上面公理證明而得)
3、定理：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。(簡稱垂線段最短)
所有的線段和差問題都是直接利用或者轉(zhuǎn)化為第1點(diǎn)或第3點(diǎn)來求最值，這是咱們思考這類問題的出發(fā)點(diǎn)，大家要死死記住。
二、結(jié)合圖形三大變換求最值
1、應(yīng)用平移變換、軸對稱變換將線段和差轉(zhuǎn)化為可以利用公理(定理)求最值(將軍飲馬問題)
2、應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換將線段和差轉(zhuǎn)化為可以利用公理(定理)求最值(費(fèi)馬點(diǎn)問題)
【將軍飲馬問題】
【費(fèi)馬點(diǎn)問題】
三.例題
1.如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少?
作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)B'，連接AB'，交CD于點(diǎn)M
則AM+BM = AM+B'M = AB'，水廠建在M點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用最小
如右圖，在直角△AB'E中，
AE = AC+CE = 10+30 = 40
EB' = 30
所以：AB' = 50
總費(fèi)用為：50×3 = 150萬
2.如圖，C為線段BD上一動點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長;
(2)請問點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小?
(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值
3.兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個(gè)油庫，設(shè)為點(diǎn)P，如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站，，請你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫所走的路程最短.
分析 這是一個(gè)實(shí)際問題，我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過分析，我們知道此題是求運(yùn)油車所走路程最短，OA與OB相交，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，通常我們會想到軸對稱，分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對稱點(diǎn)P1、P2 ，連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，C、D兩點(diǎn)就是使運(yùn)油車所走路程最短，而建加油站的地點(diǎn)，那么是不是最短的呢?我們可以用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行說明.
解：分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對稱點(diǎn)P1、P2，
連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，
則C、D就是建加油站的位置.
若取異于C、D兩點(diǎn)的點(diǎn)，
則由三角形的三邊關(guān)系，可知在C、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車所走的路程最短.
點(diǎn)評：在這里沒有詳細(xì)說明為什么在C、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車所走的路程最短，請同學(xué)們思考弄明白。
4.如圖∠AOB = 45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點(diǎn)，求△PQR周長的最小值.
分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，
交OA、OB于點(diǎn)Q，R，連接OP1，OP2，
則OP = OP1 = OP2 = 10
且∠P1OP2 = 90°
由勾股定理得P1P2 = 10
5.如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動點(diǎn)，則PB+PE的最小值為
即在AC上作一點(diǎn)P，使PB+PE最小
作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，連接B'E，交AC于點(diǎn)P，則B'E = PB'+PE = PB+PE
B'E的長就是PB+PE的最小值
在直角△B'EF中，EF = 1，B'F =3
根據(jù)勾股定理，B'E =
6.等腰△ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分別是AB、AC上的點(diǎn)，求BN+MN+MC的最小值
分別作點(diǎn)C、B關(guān)于AB、AC的對稱點(diǎn)C’、B’，連接C’B’交AB、AC于點(diǎn)M、N，則BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值
∵∠BAC’ =∠BAC，∠CAB’ =∠CAB
∴∠B’AC’ = 60°
∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB
∴AC’ = AB’
∴△AB’C’是等邊三角形
∴B’C’ = 20
7.如圖，在等邊△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且AE = 2，求EM+EC的最小值