常見的數(shù)學(xué)思想方法

　　在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，有哪些常見的思想方法呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編網(wǎng)絡(luò)整理的常見的數(shù)學(xué)思想方法以供大家學(xué)習(xí)。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：分類與整合

　　解題時(shí)，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一方法，統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了，因?yàn)檫@時(shí)被研究的問題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個(gè)子區(qū)域，然后分別在各個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，當(dāng)分類解決完這個(gè)問題后，還必須把它們總合在一起，因?yàn)槲覀冄芯康漠吘故沁@個(gè)問題的全體，這就是分類與整合的思想。有分有合，先分后合，不僅是分類與整合的思想解決問題的主要過程，也是這種思想方法的本質(zhì)屬性。

　　高考將分類與整合的思想放在比較重要的位置，并以解答題為主進(jìn)行考查，考查時(shí)要求考生理解什么樣的問題需要分類研究，為什么要分類，如何分類以及分類后如何研究與最后如何整合。特別注意引起分類的原因，我們必須相當(dāng)熟悉，有些概念就是分類定義的，如絕對(duì)值的概念、整數(shù)分為奇數(shù)偶數(shù)等，有些運(yùn)算法則和公式是分類給出的，例如等比數(shù)列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就分為a>1，0

　　高考對(duì)分類與整合的思想的考查往往集中在含有參數(shù)的解析式，包括函數(shù)問題，數(shù)列問題和解析幾何問題等。此外，排列組合的問題，概率統(tǒng)計(jì)的問題也考查分類與整合的思想。隨著新課程高考在全國的實(shí)施，在新增內(nèi)容中考查分類與整合的思想，竊以為，是今后幾年高考命題的重點(diǎn)之一。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：函數(shù)與方程

　　著名數(shù)學(xué)家克萊因說“一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會(huì)的重要事情是用變量和函數(shù)來思考”。一個(gè)學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí)，他在解決問題時(shí)往往是被動(dòng)的，而建立了函數(shù)思想，才能主動(dòng)地去思考一些問題。

　　函數(shù)是高中代數(shù)內(nèi)容的主干，函數(shù)思想貫穿于高中代數(shù)的全部內(nèi)容，函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數(shù)各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度來考慮問題，研究問題和解決問題。

　　所謂方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達(dá)到求值目的解題思路和策略，它是解決各類計(jì)算問題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)。

　　函數(shù)和方程、不等式是通過函數(shù)值等于零、大于零或小于零而相互關(guān)聯(lián)的，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。函數(shù)與方程的思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學(xué)思想。

　　高考把函數(shù)與方程的思想作為七種思想方法的重點(diǎn)來考查，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程的思想的基本運(yùn)用，而在解答題中，則從更深的層次，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力的關(guān)系角度進(jìn)行綜合考查。

　　在解題時(shí)，要學(xué)會(huì)思考這些問題：(1)是不是需要把字母看作變量?(2)是不是需要把代數(shù)式看作函數(shù)?如果是函數(shù)它具有哪些性質(zhì)?(3)是不是需要構(gòu)造一個(gè)函數(shù)把表面上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題?(4)能否把一個(gè)等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程?對(duì)這個(gè)方程的根有什么要求?……

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：特殊與一般

　　由特殊到一般，由一般到特殊，是人們認(rèn)識(shí)世界的基本方法之一。數(shù)學(xué)研究也不例外，由特殊到一般，由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的基本認(rèn)識(shí)過程，就是數(shù)學(xué)研究中的特殊與一般的思想。

　　我們對(duì)公式、定理、法則的學(xué)習(xí)往往都是從特殊開始，通過總結(jié)歸納得出來的，證明后，又使用它們來解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的歸納法，演繹法就是特殊與一般的思想的集中體現(xiàn)。分析歷年的高考試題，考查特殊與一般的思想的題比比皆是，有的考查利用一般歸納法進(jìn)行猜想，有的通過構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)，確定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解決一般問題、抽象問題、運(yùn)動(dòng)變化的問題等。隨著新教材的全面推廣，高考以新增內(nèi)容為素材，突出考查特殊與一般的思想必然成為今后命題改革的方向。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：有限與無限

　　有限與無限并不是一新東西，雖然我們開始學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)都是有限的教學(xué)，但其中也包含有無限的成分，只不過沒有進(jìn)行深入的研究。在學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)及其運(yùn)算的過程中，對(duì)自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)都是有限個(gè)數(shù)的運(yùn)算，但實(shí)際上各數(shù)集內(nèi)元素的個(gè)數(shù)都是無限的。在解析幾何中，還學(xué)習(xí)過拋物線的漸近線，已經(jīng)開始有極限的思想體現(xiàn)在其中。數(shù)列的極限和函數(shù)的極限集中體現(xiàn)了有限與無限的思想。使用極限的思想解決數(shù)學(xué)問題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，采用無限分割的方法來解決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割，然后再求和求極限，這是典型的有限與無限的思想的應(yīng)用。

　　函數(shù)是對(duì)運(yùn)動(dòng)變化的動(dòng)態(tài)事物的描述，體現(xiàn)了變量數(shù)學(xué)在研究客觀事物中的重要作用。導(dǎo)數(shù)是對(duì)事物變化快慢的一種描述，并由此可進(jìn)一步處理和解決函數(shù)的增減、極大、極小、最大、最小等實(shí)際問題，是研究客觀事物變化率和最優(yōu)化問題的有力工具。

　　高考中對(duì)有限與無限的思想的考查才剛剛起步并且往往是在考查其他數(shù)學(xué)思想和方法的過程中同時(shí)考查有限與無限思想。例如，在使用由特殊到一般的歸納思維時(shí)，含有有限與無限的思想;在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，解決的是無限的問題，體現(xiàn)的是有限與無限的思想，等等。隨著對(duì)新增內(nèi)容的考查的逐步深入，必將加強(qiáng)對(duì)有限與無限的思想的考查，設(shè)計(jì)出突出體現(xiàn)出有限與無限的思想的新穎試題。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：或然與必然

　　隨機(jī)現(xiàn)象有兩個(gè)最基本的特征，一是結(jié)果的隨機(jī)性，即重復(fù)同樣的試驗(yàn)，所得到的結(jié)果并不相同，以至于在試驗(yàn)之前不能預(yù)料試驗(yàn)的結(jié)果;二是頻率的穩(wěn)定性，即在大量重復(fù)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的頻率“穩(wěn)定”在一個(gè)常數(shù)附近。了解一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象就要知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，知道每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率，知道這兩點(diǎn)就說對(duì)這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象研究清楚了。概率研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想就是或然與必然的思想。

　　隨著新教材的推廣，高考中對(duì)概率內(nèi)容的考查已放在了重要的位置。通過對(duì)等可能性事件的概率，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰相好有k次發(fā)生的概率、隨機(jī)事件的分布列與數(shù)學(xué)期望等重點(diǎn)內(nèi)容的考查，考查基本概念和基本方法，考查在解決實(shí)際應(yīng)用問題中或然與必然的辯證關(guān)系。

　　概率問題，無論屬于哪一種類型，所研究的都是隨機(jī)事件中“或然”與“必然”的辯證關(guān)系，在“或然”中尋找“必然”的規(guī)律。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：化歸與轉(zhuǎn)化

　　將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，化歸為在已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉(zhuǎn)化的思想?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。

　　除極簡單的數(shù)學(xué)問題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程?；瘹w與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)達(dá)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。(轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法。數(shù)學(xué)中的一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化;函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化;分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化,以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)。各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段。所以說,轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂。)

　　轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性;在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。

　　熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是騍轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ);豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁;培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)需要對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對(duì)典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動(dòng)有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。有人認(rèn)為“抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙，說的也不無道理。

　　常見的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合

　　數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面。“數(shù)”與“形”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系。數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，反之，圖形性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決數(shù)學(xué)問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，即是數(shù)形結(jié)合的思想。

　　數(shù)形結(jié)合的思想，在數(shù)學(xué)的幾乎全部的知識(shí)中，處處以數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀表象及深刻精確的數(shù)量表達(dá)這兩方面給人以啟迪，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。它的運(yùn)用，往往展現(xiàn)出“柳暗花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結(jié)合的境地。華羅庚先生曾作過精辟的論述：“數(shù)與開形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫離。”

　　數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常用的解題策略。一方面，許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式，若賦予幾何意義，往往變得非常直觀形象;另一方面，一些圖形的屬性又可通過數(shù)量關(guān)系的研究，使得圖形的性質(zhì)更豐富、更精準(zhǔn)、更深刻。這種“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時(shí)還可大大開拓我們的解題思路?？梢赃@樣說，數(shù)形結(jié)合不僅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思維的有力“杠桿”。

　　由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識(shí)。因此，數(shù)形結(jié)合的思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化。

　　在高考中，選擇題和填空題這兩種題型的特點(diǎn)(只需寫出結(jié)果而無需寫出過程)，為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便，能突出考查考生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識(shí)。而在解答題中，考慮到推理論證的嚴(yán)謹(jǐn)性，對(duì)數(shù)量關(guān)系問題的研究仍突出代數(shù)的方法而不是提倡使用幾何的方法，解答題中對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想的考查以由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化為主。