數(shù)學(xué)教案高中教學(xué)范文5篇
一般地，從m個(gè)不同的元素中，任取n(n≤m)個(gè)元素為一組，叫作從m個(gè)不同元素中取出n個(gè)元素的一個(gè)組合。接下來是小編為大家整理的數(shù)學(xué)教案高中教學(xué)范文，希望大家喜歡!
數(shù)學(xué)教案高中教學(xué)范文一
概率統(tǒng)計(jì)
一、 知識梳理
1.三種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別：
類別 共同點(diǎn) 不同點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍
簡單隨機(jī)抽樣 都是等概率抽樣 從總體中逐個(gè)抽取 總體中個(gè)體比較少
系統(tǒng)抽樣 將總體均勻分成若干部分;按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中個(gè)體比較多
分層抽樣 將總體分成若干層，按個(gè)體個(gè)數(shù)的比例抽取 在各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體中個(gè)體有明顯差異
(1)從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取n個(gè)個(gè)體的樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為
(2)系統(tǒng)抽樣的步驟： ①將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號;②將編號分段;③在第1段中用簡單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號;④按照事先研究的規(guī)則抽取樣本.
(3)分層抽樣的步驟：①分層;②按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù);③各層抽樣;④匯合成樣本.
(4) 要懂得從圖表中提取有用信息
如：在頻率分布直方圖中①小矩形的面積=組距 =頻率②眾數(shù)是矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)③中位數(shù)的左邊與右邊的直方圖的面積相等，可以由此估計(jì)中位數(shù)的值
2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的數(shù)字特征，一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù) ， ，…， ，其平均數(shù)為 則方差 ，標(biāo)準(zhǔn)差
3.古典概型的概率公式：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有 個(gè)，而且所有結(jié)果都是等可能的，如果事件 包含 個(gè)結(jié)果，那么事件 的概率P=
特別提醒：古典概型的兩個(gè)共同特點(diǎn)：
○1 ，即試中有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即樣本空間Ω中的元素個(gè)數(shù)是有限的;
○2 ，即每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。
4. 幾何概型的概率公式： P(A)=
特別提醒：幾何概型的特點(diǎn)：試驗(yàn)的結(jié)果是無限不可數(shù)的;○2每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。
二、夯實(shí)基礎(chǔ)
(1)某單位有職工160名，其中業(yè)務(wù)人員120名，管理人員16名，后勤人員24名.為了解職工的某種情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.若用分層抽樣的方法，抽取的業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤人員的人數(shù)應(yīng)分別為____________.
(2)某賽季，甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員都參加了
11場比賽，他們所有比賽得分的情況用如圖2所示的莖葉圖表示，
則甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)分別為( )
A.19、13 B.13、19 C.20、18 D.18、20
(3)統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)會(huì)考成績，
得到樣本頻率分布直方圖如右圖示，規(guī)定不低于60分為
及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格人數(shù)是 ;
優(yōu)秀率為 。
(4)在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一個(gè)分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值
和方差分別為( )
A.9.4, 0.484 B.9.4, 0.016 C.9.5, 0.04 D.9.5, 0.016
(5)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則以第一次向上點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=27的內(nèi)部的概率________.
(6)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并且以線段AM為邊的正方形，則這正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率為( )
三、高考鏈接
07、某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒;第二組，成績大于等于14秒且小于15秒
; 第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒.右圖
是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績小于17秒
的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為 ，成績大于等于15秒
且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為 ，則從頻率分布直方圖中可分析
出 和 分別為( )
08、從某項(xiàng)綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為( )
分?jǐn)?shù) 5 4 3 2 1
人數(shù) 20 10 30 30 10
09、在區(qū)間 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x， 的值介于0到 之間的概率為( ).
08、現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者 通曉日語， 通曉俄語， 通曉韓語.從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個(gè)小組.
(Ⅰ)求 被選中的概率;(Ⅱ)求 和 不全被選中的概率.
數(shù)學(xué)教案高中教學(xué)范文二
組合
教學(xué)目標(biāo)
(1)使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題;
(2)使學(xué)生掌握組合數(shù)的計(jì)算公式、組合數(shù)的性質(zhì)用組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系;
(3)通過學(xué)習(xí)組合知識，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力;
(4)通過對排列、組合問題求解與剖析，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和思維深刻性，學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式，組合數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn)是解組合的應(yīng)用題。突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對加法原理與乘法原理的掌握和應(yīng)用，并將這兩個(gè)原理的基本思想貫穿在解決組合應(yīng)用題當(dāng)中。
組合與組合數(shù)，也有上面類似的關(guān)系。從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合。所有這些不同的組合的個(gè)數(shù)叫做組合數(shù)。從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的一個(gè)集合(無序集)，相當(dāng)于一個(gè)組合，而這種集合的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的組合數(shù)。
解排列組合應(yīng)用題時(shí)主要應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步.切記：排組分清(有序排列、無序組合)，加乘明確(分類為加、分步為乘).
三、教法設(shè)計(jì)
1.對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，建議把排列與組合的概念進(jìn)行對比的進(jìn)行學(xué)習(xí)，這樣有利于搞請這兩組概念的區(qū)別與聯(lián)系.
2.學(xué)生與老師可以合編一些排列組合問題，如“45人中選出5人當(dāng)班干部有多少種選法?”與“45人中選出5人分別擔(dān)任班長、副班長、體委、學(xué)委、生委有多少種選法?”這是兩個(gè)相近問題，同學(xué)們會(huì)根據(jù)自己身邊的實(shí)際可以編出各種各樣的具有特色的問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生辨認(rèn)哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是組合問題.這樣既調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又在編題辨題中澄清了概念.
為了理解排列與組合的概念，建議大家學(xué)會(huì)畫排列與組合的樹圖.如，從a,b,c,d 4個(gè)元素中取出3個(gè)元素的排列樹圖與組合樹圖分別為：
排列樹圖
由排列樹圖得到，從a,b,c,d 取出3個(gè)元素的所有排列有24個(gè)，它們分別是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.
組合樹圖
由組合樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個(gè)元素的組合有4個(gè)，它們是(abc),(abd),(acd),(bcd).
從以上兩組樹圖清楚的告訴我們，排列樹圖是對稱的，組合圖式不是對稱的，之所以排列樹圖具有對稱性，是因?yàn)閷τ赼,b,c,d四個(gè)字母哪一個(gè)都有在第一位的機(jī)會(huì)，哪一個(gè)都有在第二位的機(jī)會(huì)，哪一個(gè)都有在第三位的機(jī)會(huì)，而組合只考慮字母不考慮順序，為實(shí)現(xiàn)無順序的要求，我們可以限定a,b,c,d的順序是從前至后，固定了死順序等于無順序，這樣組合就有了自己的樹圖.
學(xué)會(huì)畫組合樹圖，不僅有利于理解排列與組合的概念，還有助于推導(dǎo)組合數(shù)的計(jì)算公式.
3.排列組合的應(yīng)用問題，教師應(yīng)從簡單問題問題入手，逐步到有一個(gè)附加條件的單純排列問題或組合問題，最后在設(shè)及排列與組合的綜合問題.
對于每一道題目，教師必須先讓學(xué)生獨(dú)立思考，在進(jìn)行全班討論，對于學(xué)生的每一種解法，教師要先讓學(xué)生判斷正誤，在給予點(diǎn)播.對于排列、組合應(yīng)用問題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問題解決問題的能力，在學(xué)生的多種解法基礎(chǔ)上教師要引導(dǎo)學(xué)生選擇方案，總結(jié)解題規(guī)律.對于學(xué)生解題中的常見錯(cuò)誤，教師一定要講明道理，認(rèn)真分析錯(cuò)誤原因，使學(xué)生在是非的判斷得以提高.
4.兩個(gè)性質(zhì)定理教學(xué)時(shí)，對定理1，可以用下例來說明：從4個(gè)不同的元素a，b，c，d里每次取出3個(gè)元素的組合及每次取出1個(gè)元素的組合分別是
這就說明從4個(gè)不同的元素里每次取出3個(gè)元素的組合與從4個(gè)元素里每次取出1個(gè)元素的組合是—一對應(yīng)的.
對定理2，可啟發(fā)學(xué)生從下面問題的討論得出.從n個(gè)不同元素 ， ，…， 里每次取出m個(gè)不同的元素( )，問：(1)可以組成多少個(gè)組合;(2)在這些組合里，有多少個(gè)是不含有 的; (3)在這些組合里，有多少個(gè)是含有 的;(4)從上面的結(jié)果，可以得出一個(gè)怎樣的公式.在此基礎(chǔ)上引出定理2.
對于 ，和 一樣，是一種規(guī)定.而學(xué)生常常誤以為是推算出來的，因此，教學(xué)時(shí)要講清楚.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
教學(xué)目標(biāo)
(1)使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題;
(2)使學(xué)生掌握組合數(shù)的計(jì)算公式;
(3)通過學(xué)習(xí)組合知識，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力;
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式;
難點(diǎn)是解組合的應(yīng)用題.
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
(-)導(dǎo)入新課
(教師活動(dòng))提出下列思考問題，打出字幕.
[字幕]一條鐵路線上有6個(gè)火車站，(1)需準(zhǔn)備多少種不同的普通客車票?(2)有多少種不同票價(jià)的普通客車票?上面問題中，哪一問是排列問題?哪一問是組合問題?
(學(xué)生活動(dòng))討論并回答.
答案提示：(1)排列;(2)組合.
[評述]問題(1)是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題;(2)是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)并成一組，兩站無順序關(guān)系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問題.這節(jié)課著重研究組合問題.
設(shè)計(jì)意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設(shè)計(jì)的問題目的是從排列知識中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題.
(二)新課講授
[提出問題 創(chuàng)設(shè)情境]
(教師活動(dòng))指導(dǎo)學(xué)生帶著問題閱讀課文.
[字幕]1.排列的定義是什么?
2.舉例說明一個(gè)組合是什么?
3.一個(gè)組合與一個(gè)排列有何區(qū)別?
(學(xué)生活動(dòng))閱讀回答.
(教師活動(dòng))對照課文，逐一評析.
設(shè)計(jì)意圖：激活學(xué)生的思維，使其將所學(xué)的知識遷移過渡，并盡快適應(yīng)新的環(huán)境.
【歸納概括 建立新知】
(教師活動(dòng))承接上述問題的回答，展示下面知識.
[字幕]模型：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素并成一組，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè)組合.如前面思考題：6個(gè)火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價(jià)相同的車票，是從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的一個(gè)組合.
組合數(shù)：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，稱之，用符號 表示，如從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)為 .
[評述]區(qū)分一個(gè)排列與一個(gè)組合的關(guān)鍵是：該問題是否與順序有關(guān)，當(dāng)取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題;若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題.
(學(xué)生活動(dòng))傾聽、思索、記錄.
(教師活動(dòng))提出思考問題.
[投影] 與 的關(guān)系如何?
(師生活動(dòng))共同探討.求從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的排列數(shù) ，可分為以下兩步：
第1步，先求出從這 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的組合數(shù)為 ;
第2步，求每一個(gè)組合中 個(gè)元素的全排列數(shù)為 .
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到
[字幕]公式1：
公式2：
(學(xué)生活動(dòng))驗(yàn)算 ，即一條鐵路上6個(gè)火車站有15種不同的票價(jià)的普通客車票.
設(shè)計(jì)意圖：本著以認(rèn)識概念為起點(diǎn)，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學(xué)生思維層層被激活、逐漸深入到問題當(dāng)中去.
【例題示范 探求方法】
(教師活動(dòng))打出字幕，給出示范，指導(dǎo)訓(xùn)練.
[字幕]例1 列舉從4個(gè)元素 中任取2個(gè)元素的所有組合.
例2 計(jì)算：(1) ;(2) .
(學(xué)生活動(dòng))板演、示范.
(教師活動(dòng))講評并指出用兩種方法計(jì)算例2的第2小題.
[字幕]例3 已知 ，求 的所有值.
(學(xué)生活動(dòng))思考分析.
解 首先，根據(jù)組合的定義，有
①
其次，由原不等式轉(zhuǎn)化為
即
解得 ②
綜合①、②，得 ，即
[點(diǎn)評]這是組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是公式的選擇.
設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生鞏固知識，強(qiáng)化公式的應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力.
【反饋練習(xí) 學(xué)會(huì)應(yīng)用】
(教師活動(dòng))給出練習(xí)，學(xué)生解答，教師點(diǎn)評.
[課堂練習(xí)]課本P99練習(xí)第2，5，6題.
[補(bǔ)充練習(xí)]
[字幕]1.計(jì)算：
2.已知 ，求 .
(學(xué)生活動(dòng))板演、解答.
設(shè)計(jì)意圖：課堂教學(xué)體現(xiàn)以學(xué)生為本，讓全體學(xué)生參與訓(xùn)練，深刻揭示排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)、特征及應(yīng)用.
【點(diǎn)評矯正 交流提高】
(教師活動(dòng))依照學(xué)生的板演，給予指正并總結(jié).
補(bǔ)充練習(xí)答案：
1.解：原式：
2.解：由題設(shè)得
整理化簡得 ，
解之，得 或 (因 ，舍去)，
所以 ，所求
[字幕]小結(jié)：
1.前一個(gè)公式主要用于計(jì)算具體的組合數(shù)，而后一個(gè)公式則主要用于對含有字母的式子進(jìn)行化簡和論證.
2.在解含組合數(shù)的方程或不等式時(shí)，一定要注意組合數(shù)的上、下標(biāo)的限制條件.
(學(xué)生活動(dòng))交流討論，總結(jié)記錄.
設(shè)計(jì)意圖：由“實(shí)踐——認(rèn)識——一實(shí)踐”的認(rèn)識論，教學(xué)時(shí)抓住“學(xué)習(xí)—一練習(xí)——反饋———小結(jié)”這些環(huán)節(jié)，使教學(xué)目標(biāo)得以強(qiáng)化和落實(shí).
(三)小結(jié)
(師生活動(dòng))共同小結(jié).
本節(jié)主要內(nèi)容有
1.組合概念.
2.組合數(shù)計(jì)算的兩個(gè)公式.
(四)布置作業(yè)
1.課本作業(yè)：習(xí)題10 3第1(1)、(4)，3題.
2.思考題：某學(xué)習(xí)小組有8個(gè)同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種學(xué)科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學(xué)各有多少人?
3.研究性題：
在 的 邊上除頂點(diǎn) 外有 5個(gè)點(diǎn)，在 邊上有 4個(gè)點(diǎn)，由這些點(diǎn)(包括 )能組成多少個(gè)四邊形?能組成多少個(gè)三角形?
(五)課后點(diǎn)評
在學(xué)習(xí)了排列知識的基礎(chǔ)上，本節(jié)課引進(jìn)了組合概念，并推導(dǎo)出組合數(shù)公式，同時(shí)調(diào)控進(jìn)行訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
作業(yè)參考答案
2.解;設(shè)有男同學(xué) 人，則有女同學(xué) 人，依題意有 ，由此解得 或 或2.即男同學(xué)有5人或6人，女同學(xué)相應(yīng)為3人或2人.
3.能組成 (注意不能用 點(diǎn)為頂點(diǎn))個(gè)四邊形， 個(gè)三角形.
探究活動(dòng)
同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種?
解 設(shè)四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解.
解法一 可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即：
甲拿乙制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法.
甲拿丙制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法.
甲拿丁制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法.
由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種.
解法二 可從利用排列數(shù)和組合數(shù)公式角度來考慮.這時(shí)還存在正向與逆向兩種思考途徑.
正向思考，即從滿足題設(shè)條件出發(fā)，分步完成分配.先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有 種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有 種，最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對方制作賀卡1種取法.根據(jù)乘法原理，賀卡的分配方法有 (種).
逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設(shè)條件的取法.不滿足題設(shè)條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡(此時(shí)即為4人均拿自己制作的賀卡).其取法分別為 1.故符合題設(shè)要求的取法共有 (種).
說明(1)對一類元素不太多而利用排列或組合計(jì)算公式計(jì)算比較復(fù)雜，且容易重復(fù)遺漏計(jì)算的排列組合問題，?？刹捎弥苯臃诸惡笥眉臃ㄔ磉M(jìn)行計(jì)算，如本例采用解法一的做法.
(2)設(shè)集合 ，如果S中元素的一個(gè)排列 滿足 ，則稱該排列為S的一個(gè)錯(cuò)位排列.本例就屬錯(cuò)位排列問題.如將S的所有錯(cuò)位排列數(shù)記為 ，則 有如下三個(gè)計(jì)算公式(李宇襄編著《組合數(shù)學(xué)》，北京師范大學(xué)出版社出版)：
?、?/p>
②
?、?/p>
數(shù)學(xué)教案高中教學(xué)范文三
排列
教學(xué)目標(biāo)
(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;
(2)了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列;
(3)掌握排列數(shù)公式，并能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列數(shù);
(4)會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;
(5)通過對排列應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結(jié)論，以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式，并運(yùn)用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問題.難點(diǎn)是導(dǎo)出排列數(shù)的公式和解有關(guān)排列的應(yīng)用題.突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運(yùn)用，并將這兩個(gè)原理的基本思想方法貫穿在解決排列應(yīng)用問題當(dāng)中.
從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)排列.因此，兩個(gè)相同排列，當(dāng)且僅當(dāng)他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同.排列數(shù)是指從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的種數(shù)，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計(jì)算相應(yīng)的排列數(shù).排列與排列數(shù)是兩個(gè)概念，前者是具有m個(gè)元素的排列，后者是這種排列的不同種數(shù).從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的有序集，相當(dāng)于一個(gè)排列，而這種有序集的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的排列數(shù).
公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解.要重點(diǎn)分析好 的推導(dǎo).
排列的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點(diǎn)，通過本節(jié)例題的分析，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力.
在分析應(yīng)用題的解法時(shí)，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時(shí)的種數(shù)，這樣解釋比較直觀，教學(xué)上要充分利用，要求學(xué)生作題時(shí)也應(yīng)盡量采用.
在教學(xué)排列應(yīng)用題時(shí)，開始應(yīng)要求學(xué)生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫一個(gè)排列數(shù)，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求.
三、教法建議
?、僭谥v解排列數(shù)的概念時(shí)，要注意區(qū)分“排列數(shù)”與“一個(gè)排列”這兩個(gè)概念.一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中，任取出m個(gè)元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事;排列數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù).例如，從3個(gè)元素a，b，c中每次取出2個(gè)元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
其中每一種都叫一個(gè)排列，共有6種，而數(shù)字6就是排列數(shù)，符號 表示排列數(shù).
②排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”.
從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列.
在定義中“一定順序”就是說與位置有關(guān)，在實(shí)際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定，這一點(diǎn)要特別注意，這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別.
在排列的定義中 ，如果 有的書上叫選排列，如果 ，此時(shí)叫全排列.
要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復(fù)排列問題.
?、坳P(guān)于排列數(shù)公式的推導(dǎo)的教學(xué).公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解.課本上用的是不完全歸納法，先推導(dǎo) ， ，…，再推廣到 ，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學(xué)生是不難理解的.
導(dǎo)出公式 后要分析這個(gè)公式的構(gòu)成特點(diǎn)，以便幫助學(xué)生正確地記憶公式，防止學(xué)生在“n”、“m”比較復(fù)雜的時(shí)候把公式寫錯(cuò).這個(gè)公式的特點(diǎn)可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個(gè)因數(shù)是n，后面每個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)是 ，共m個(gè)因數(shù)相乘.”這實(shí)際是講三個(gè)特點(diǎn)：第一個(gè)因數(shù)是什么?最后一個(gè)因數(shù)是什么?一共有多少個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘.
公式 是在引出全排列數(shù)公式 后，將排列數(shù)公式變形后得到的公式.對這個(gè)公式指出兩點(diǎn)：(1)在一般情況下，要計(jì)算具體的排列數(shù)的值，常用前一個(gè)公式，而要對含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證，要用到這個(gè)公式，教材中第230頁例2就是用這個(gè)公式證明的問題;(2)為使這個(gè)公式在 時(shí)也能成立，規(guī)定 ，如同 時(shí) 一樣，是一種規(guī)定，因此，不能按階乘數(shù)的原意作解釋.
④建議應(yīng)充分利用樹形圖對問題進(jìn)行分析，這樣比較直觀，便于理解.
⑤學(xué)生在開始做排列應(yīng)用題的作業(yè)時(shí)，應(yīng)要求他們寫出解法的簡要說明，而不能只列出算式、得出答數(shù)，這樣有利于學(xué)生得更加扎實(shí).隨著學(xué)生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
排列
教學(xué)目標(biāo)
(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;
(2)了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列;
(3)會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)是排列的定義、排列數(shù)并運(yùn)用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問題。
難點(diǎn)是解有關(guān)排列的應(yīng)用題。
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
一、 復(fù)習(xí)引入
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本原理，請大家完成以下兩題的練習(xí)(用投影儀出示)：
1.書架上層放著50本不同的社會(huì)科學(xué)書，下層放著40本不同的自然科學(xué)的書.
(1)從中任取1本，有多少種取法?
(2)從中任取社會(huì)科學(xué)書與自然科學(xué)書各1本，有多少種不同的取法?
2.某農(nóng)場為了考察三個(gè)外地優(yōu)良品種A，B，C，計(jì)劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進(jìn)行引種試驗(yàn)，問共需安排多少個(gè)試驗(yàn)小區(qū)?
找一同學(xué)談解答并說明怎樣思考的的過程
第1(1)小題從書架上任取1本書，有兩類辦法，第一類辦法是從上層取社會(huì)科學(xué)書，可以從50本中任取1本，有50種方法;第二類辦法是從下層取自然科學(xué)書，可以從40本中任取1本，有40種方法.根據(jù)加法原理，得到不同的取法種數(shù)是50+40=90.第(2)小題從書架上取社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)書各1本(共取出2本)，可以分兩個(gè)步驟完成：第一步取一本社會(huì)科學(xué)書，第二步取一本自然科學(xué)書，根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是： 50×40=2000.
第2題說，共有A，B，C三個(gè)優(yōu)良品種，而每個(gè)品種在甲類型土地上實(shí)驗(yàn)有三個(gè)小區(qū)，在乙類型的土地上有三個(gè)小區(qū)……所以共需3×5=15個(gè)實(shí)驗(yàn)小區(qū).
二、 講授新課
學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本原理之后，現(xiàn)在我們繼續(xù)學(xué)習(xí)排列問題，這是我們本節(jié)討論的重點(diǎn).先從實(shí)例入手：
1.北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同飛機(jī)票?
由學(xué)生設(shè)計(jì)好方案并回答.
(1)用加法原理設(shè)計(jì)方案.
首先確定起點(diǎn)站，如果北京是起點(diǎn)站，終點(diǎn)站是上海或廣州，需要制2種飛機(jī)票，若起點(diǎn)站是上海，終點(diǎn)站是北京或廣州，又需制2種飛機(jī)票;若起點(diǎn)站是廣州，終點(diǎn)站是北京或上海，又需要2種飛機(jī)票，共需要2+2+2=6種飛機(jī)票.
(2)用乘法原理設(shè)計(jì)方案.
首先確定起點(diǎn)站，在三個(gè)站中，任選一個(gè)站為起點(diǎn)站，有3種方法.即北京、上海、廣泛任意一個(gè)城市為起點(diǎn)站，當(dāng)選定起點(diǎn)站后，再確定終點(diǎn)站，由于已經(jīng)選了起點(diǎn)站，終點(diǎn)站只能在其余兩個(gè)站去選.那么，根據(jù)乘法原理，在三個(gè)民航站中，每次取兩個(gè)，按起點(diǎn)站在前、終點(diǎn)站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種.
根據(jù)以上分析由學(xué)生(板演)寫出所有種飛機(jī)票
再看一個(gè)實(shí)例.
在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號.如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時(shí)升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號?
找學(xué)生談自己對這個(gè)問題的想法.
事實(shí)上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個(gè)排法表示一種信號，所以不同顏色的同時(shí)升起可以表示出來的信號種數(shù)，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數(shù).
首先，先確定位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個(gè)，有3種方法;
其次，確定中間位置的旗子，當(dāng)位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法.剩下那面旗子，放在最低位置.
根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時(shí)升起表示出所有信號種數(shù)是：3×2×1=6(種).
根據(jù)學(xué)生的分析，由另外的同學(xué)(板演)寫出三面旗子同時(shí)升起表示信號的所有情況.(包括每個(gè)位置情況)
第三個(gè)實(shí)例，讓全體學(xué)生都參加設(shè)計(jì)，把所有情況(包括每個(gè)位置情況)寫出來.
由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?寫出這些所有的三位數(shù).
根據(jù)乘法原理，從四個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出三個(gè)排成三位數(shù)的方法共有4×3×2=24(個(gè)).
請板演的學(xué)生談?wù)勗鯓酉氲?
第一步，先確定百位上的數(shù)字.在1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有4種取法.
第二步，確定十位上的數(shù)字.當(dāng)百位上的數(shù)字確定以后，十位上的數(shù)字只能從余下的三個(gè)數(shù)字去取，有3種方法.
第三步，確定個(gè)位上的數(shù)字.當(dāng)百位、十位上的數(shù)字都確定以后，個(gè)位上的數(shù)字只能從余下的兩個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法.
根據(jù)乘法原理，所以共有4×3×2=24種.
下面由教師提問，學(xué)生回答下列問題
(1)以上我們討論了三個(gè)實(shí)例，這三個(gè)問題有什么共同的地方?
都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象.
(2)取出的這些研究對象又做些什么?
實(shí)質(zhì)上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況.
(3)請大家看書，第×頁、第×行. 我們把被取的對象叫做雙元素，如上面問題中的民航站、旗子、數(shù)字都是元素.
上面第一個(gè)問題就是從3個(gè)不同的元素中，任取2個(gè)，然后按一定順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，后來又寫出所有排法.
第二個(gè)問題，就是從3個(gè)不同元素中，取出3個(gè)，然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫出所有排法.
第三個(gè)問題呢?
從4個(gè)不同的元素中，任取3個(gè)，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，并寫出所有的排法.
給出排列定義
請看課本，第×頁，第×行.一般地說，從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情況)，按著一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.
下面由教師提問，學(xué)生回答下列問題
(1)按著這個(gè)定義，結(jié)合上面的問題，請同學(xué)們談?wù)勈裁词窍嗤呐帕?什么是不同的排列?
從排列的定義知道，如果兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序(即元素所在的位置)也必須相同.兩個(gè)條件中，只要有一個(gè)條件不符合，就是不同的排列.
如第一個(gè)問題中，北京—廣州，上海—廣州是兩個(gè)排列，第三個(gè)問題中，213與423也是兩個(gè)排列.
再如第一個(gè)問題中，北京—廣州，廣州—北京;第二個(gè)問題中，紅黃綠與紅綠黃;第三個(gè)問題中231和213雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個(gè)排列.
(2)還需要搞清楚一個(gè)問題，“一個(gè)排列”是不是一個(gè)數(shù)?
生：“一個(gè)排列”不應(yīng)當(dāng)是一個(gè)數(shù)，而應(yīng)當(dāng)指一件具體的事.如飛機(jī)票“北京—廣州”是一個(gè)排列，“紅黃綠”是一種信號，也是一個(gè)排列.如果問飛機(jī)票有多少種?能表示出多少種信號.只問種數(shù)，不用把所有情況羅列出來，才是一個(gè)數(shù).前面提到的第三個(gè)問題，實(shí)質(zhì)上也是這樣的.
三、 課堂練習(xí)
大家思考，下面的排列問題怎樣解?
有四張卡片，每張分別寫著數(shù)碼1，2，3，4.有四個(gè)空箱，分別寫著號碼1，2，3，4.把卡片放到空箱內(nèi)，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數(shù)碼與箱子號碼必須不一致，問有多少種放法?(用投影儀示出)
分析：這是從四張卡片中取出4張，分別放在四個(gè)位置上，只要交換卡片位置，就是不同的放法，是個(gè)附有條件的排列問題.
解法是：第一步把數(shù)碼卡片四張中2，3，4三張任選一個(gè)放在第1空箱.
第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱.
第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱.
第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱.具體排法，用下面圖表表示：
所以，共有9種放法.
四、作業(yè)
課本：P232練習(xí)1，2，3，4，5，6，7.
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