常用的高中數(shù)學(xué)解題方法
高中數(shù)學(xué)題目對(duì)我們的邏輯思維、空間思維以及轉(zhuǎn)換思維都有著較高要求，其具有較強(qiáng)的推證性和融合性，所以我們?cè)诮鉀Q高中數(shù)學(xué)題目時(shí)，必須嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)各種數(shù)量關(guān)系。下面是小編整理分享的常用的高中數(shù)學(xué)解題方法，歡迎閱讀與借鑒，希望對(duì)你們有幫助!
1常用的高中數(shù)學(xué)解題方法
數(shù)形結(jié)合法
高中數(shù)學(xué)題目對(duì)我們的邏輯思維、空間思維以及轉(zhuǎn)換思維都有著較高要求，其具有較強(qiáng)的推證性和融合性，所以我們?cè)诮鉀Q高中數(shù)學(xué)題目時(shí)，必須嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)各種數(shù)量關(guān)系。很多高中題目都并不是單純的數(shù)量關(guān)系題，其還涉及到空間概念和其他概念，所以我們可以利用數(shù)形結(jié)合法理清題目中的各種數(shù)量關(guān)系，從而有效解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合法主要是指將題目中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形，或者將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而將抽象的結(jié)構(gòu)和形式轉(zhuǎn)化為具體簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，幫助我們更好解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，題目為“有一圓，圓心為O，其半徑為1，圓中有一定點(diǎn)為A，有一動(dòng)點(diǎn)為P，AP之間夾角為x，過(guò)P點(diǎn)做OA垂線，M為其垂足。
假設(shè)M到OP之間的距離為函數(shù)f(x)，求y=f(x)在[0，?仔]的圖像形狀。”這個(gè)題目涉及到了空間概念以及函數(shù)關(guān)系，所以我們?cè)诮鉀Q這個(gè)題目時(shí)不能只從一個(gè)方面來(lái)思考問(wèn)題，也不能只對(duì)題目中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行深入挖掘。從已知條件可知題目要求我們解決幾何圖形中的函數(shù)問(wèn)題，所以我們可以利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。首先我們可以根據(jù)已知條件繪出相應(yīng)圖形，如圖1，顯示的是依據(jù)題目中的關(guān)系繪制的圖形。根據(jù)題目已知條件可知圓的半徑為1，所以O(shè)P=1，∠POM=x，OM=|cos|，然后我們可以建立關(guān)于f(x)的函數(shù)方程，可得。所以我們可以計(jì)算出其周期為，其中最小值為0，最大值為，根據(jù)這些數(shù)量關(guān)系，我們可以繪制出y=f(x)在[0，?仔]的圖像形狀，如圖2，顯示的是y=f(x)在[0，?仔]的圖像。
排除解題法
排除解題法一般用于解決數(shù)學(xué)選擇題，當(dāng)我們應(yīng)用排除法解決問(wèn)題時(shí)，需掌握各種數(shù)學(xué)概念及公式，對(duì)題目中的答案進(jìn)行論證，對(duì)不符合論證關(guān)系的答案進(jìn)行排除，從而有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。當(dāng)我們?cè)诮鉀Q選擇題時(shí)，必須將題目及答案都認(rèn)真看完，對(duì)其之間的聯(lián)系進(jìn)行合理分析，并通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路將不符合論證關(guān)系的條件進(jìn)行排除，從而選擇正確的答案。排除解題法主要用于縮小答案范圍，從而簡(jiǎn)化我們的解題步驟，提高接替效率，這樣方法具有較高的準(zhǔn)確率。
例如，題目為“z的共軛復(fù)數(shù)為z，復(fù)數(shù)z=1+i，求zz-z-1的值。選項(xiàng)A為-2i、選項(xiàng)B為i、選項(xiàng)C為-i、選項(xiàng)D為2i?！碑?dāng)我們?cè)诮鉀Q這個(gè)題目時(shí)，不僅要對(duì)題目已知條件進(jìn)行合理分析，而且還要對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行合理考慮，并根據(jù)它們之間的聯(lián)系進(jìn)行有效論證。我們可以采取排除法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，已知z=1+i，所以我們可以求出z的共軛復(fù)數(shù)，由于題目中含有負(fù)號(hào)，所以我們可以排除B項(xiàng)和D項(xiàng);然后我們可以將z的共軛復(fù)數(shù)帶進(jìn)表達(dá)式，可得zz-z-1=(1+i)(1-i)-1-i-1=-i，所以我們可以將A項(xiàng)排除，最終選擇C項(xiàng)。
2高中數(shù)學(xué)解三角形解題方法
解三角形，要求記憶三角函數(shù)公式，不僅要熟練記憶，牢牢掌握解三角形的解題技巧，還要能夠?qū)⒁呀?jīng)掌握的知識(shí)靈活運(yùn)用。開(kāi)放型題型更是需要結(jié)合題目要求開(kāi)拓新思路，以一個(gè)全新的思考方式去思考解決問(wèn)題，這也就是開(kāi)放型題型的新穎之處，也是開(kāi)放型題型的難點(diǎn)。一般開(kāi)放型題型在題目閱讀中增加了難度，相應(yīng)來(lái)說(shuō)，解題的難度就會(huì)減少，那么只要能夠讀懂題目，了解題目要求，理清楚解題的思路就可以輕松的完成三角函數(shù)題目的解答。
但是對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)對(duì)于解三角形函數(shù)的了解已經(jīng)很深入了，只是高中生一般就掌握了解三角形的基本解題思路，對(duì)照相應(yīng)的題型進(jìn)行練習(xí)解答，這么一來(lái)，高中生也就變成了解題機(jī)器，只會(huì)一種思路，一種思考方式，不會(huì)變通，如果在這時(shí)候遇到了開(kāi)放型題型，就會(huì)完全傻了眼。這時(shí)候，在大形勢(shì)趨向于開(kāi)放型題型，高中生只能在自己掌握的知識(shí)基礎(chǔ)上，多練練開(kāi)放型題型，運(yùn)用自己了解的三角函數(shù)知識(shí)根據(jù)開(kāi)放型題型的題目要求去解答問(wèn)題。
高中生對(duì)于三角函數(shù)的知識(shí)已經(jīng)掌握的很熟練了，只是對(duì)于這些開(kāi)放型題型就是缺少練習(xí)，多找一些開(kāi)放型題型來(lái)練習(xí)，增加高中生對(duì)開(kāi)放型題型題目的理解程度，因?yàn)轭}目要求難度增加，對(duì)應(yīng)的解題難度就會(huì)減少，這樣一來(lái)只要能夠多練習(xí)開(kāi)放型題型，熟練掌握解題思路，能夠讀懂題目要求，就會(huì)很簡(jiǎn)單的解答這方面的問(wèn)題。
3高中數(shù)學(xué)解題方法
構(gòu)思解題方法
聯(lián)想即有一種心理過(guò)程而引起另一種與之相連的心理過(guò)程的現(xiàn)象。 知識(shí)的掌握過(guò)程中的聯(lián)想即以所形成的問(wèn)題的表征為提取線索，去激活腦中有關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。聯(lián)想是使抽象化或概括化的知識(shí)得以具體化的必要環(huán)節(jié)，解決問(wèn)題總是依賴過(guò)去的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。 比如在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)所形成的問(wèn)題表征，去激活回憶與該問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)方法、公式、定理、定義、學(xué)過(guò)的例題、解過(guò)的題目等，并考慮能否利用它們的結(jié)果或者方法，克服在引進(jìn)適當(dāng)?shù)妮o助元素后加以利用，能否找出與該問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)特殊的問(wèn)題或一個(gè)一般的問(wèn)題或一個(gè)類似的問(wèn)題。 如果能夠從所給問(wèn)題中辨認(rèn)出符合問(wèn)題目標(biāo)的某個(gè)熟悉的模式，那么就能提出相應(yīng)的解題設(shè)想，進(jìn)而解決問(wèn)題。
在解題過(guò)程中，聯(lián)想活動(dòng)的進(jìn)行將因問(wèn)題的復(fù)雜程度和學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握程度的不同，而有擴(kuò)展與壓縮、直接與間接。意識(shí)到知識(shí)的重現(xiàn)與意識(shí)到知識(shí)的重現(xiàn)的分別，有些情況下，學(xué)生不能聯(lián)想，難以激活原來(lái)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，或者即使聯(lián)想，但聯(lián)想的內(nèi)容錯(cuò)誤，常受到與其相近的比較鞏固的舊的知識(shí)的干擾。 其主要原因是領(lǐng)會(huì)水平較低或者領(lǐng)會(huì)錯(cuò)誤，或原有的知識(shí)不鞏固，或缺乏聯(lián)想的技能。 為產(chǎn)生準(zhǔn)確而靈活的聯(lián)想，除了要保證知識(shí)的領(lǐng)會(huì)和鞏固外，還要有目的的進(jìn)行聯(lián)想技能的訓(xùn)練。
解析解題途徑
解析即分析事物的矛盾，分析已知和未知雙方的內(nèi)部聯(lián)系，尋找解決矛盾的條件和方法，數(shù)學(xué)解題中的解析即統(tǒng)一的分析問(wèn)題中各部分的內(nèi)在聯(lián)系，分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)。 將問(wèn)題結(jié)構(gòu)的各部分與原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的有關(guān)部分進(jìn)行匹配，解析的結(jié)果往往表現(xiàn)為提出解決當(dāng)前問(wèn)題的各種設(shè)想、制定具體的計(jì)劃與步驟。探索解決問(wèn)題的方法有多種多樣，比如在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)分析、綜合等基本的思維活動(dòng)，并依據(jù)已有的知識(shí)，將問(wèn)題的條件或結(jié)論作適當(dāng)?shù)淖兏娃D(zhuǎn)換。
使之更易于利用某種原理或者概念來(lái)解決問(wèn)題;也可以通過(guò)變換，使眼前的問(wèn)題特殊化或者一般化;還可以利用適當(dāng)?shù)妮o助問(wèn)題。在探索解題方法的過(guò)程中，有時(shí)需要不斷的多次變更問(wèn)題，綜合應(yīng)用各種方法。解析是具體化過(guò)程的核心環(huán)節(jié)，決定著具體化的水平。 為此，在教學(xué)中應(yīng)對(duì)解析技能的培養(yǎng)給予高度的重視。 教師可以遵循心智技能形成和培訓(xùn)的規(guī)律，來(lái)傳授和提高學(xué)生的解析能力。
4高中數(shù)學(xué)解三角形的技巧
正弦定理
●教學(xué)目標(biāo)。知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法;會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。
過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。
情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力;培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
●教學(xué)重點(diǎn)。正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。
●教學(xué)難點(diǎn)。已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。
在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1.1-2，在RtΔABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有ac=sinA，bc=sinB，又sinC=1=cc，則asinA=bsinB=csinC=c
從而在直角三角形ABC中，asinA=bsinB=csinC
思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立?
(由學(xué)生討論、分析)可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：
如圖1.1-3，當(dāng)ΔABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB=bsinA，則asinA=bsinB，同理可得csinC=bsinB，從而asinA=bsinB=csinC。
思考：是否可以用其它方法證明這一等式?由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。
余弦定理
●教學(xué)目標(biāo)。知識(shí)與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題。
過(guò)程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題
情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力;通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
●教學(xué)重點(diǎn)。余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用;
●教學(xué)難點(diǎn)。勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用。
例1.在ΔABC中，已知a=23，c=6+2，B=60°，求b及A
(1)解：∵b2=a2+c2-2accsoB=(23)2+(6+2)2-2?23?(6+2)cos45°=12+(6+2)2-43
(3+1)8
∴b=22.
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
∵cosA=b2+c2-a22bc=(22)2+(6+2)2-(23)22×22×(6+2)=12，∴，A=60°.
解三角形的進(jìn)一步討論
●教學(xué)目標(biāo)。知識(shí)與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形;三角形各種類型的判定方法;三角形面積定理的應(yīng)用。
過(guò)程與方法：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個(gè)典型例子，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問(wèn)題。
情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)正、余弦定理，在解三角形問(wèn)題時(shí)溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。
●教學(xué)重點(diǎn)。在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形;
三角形各種類型的判定方法;三角形面積定理的應(yīng)用。
●教學(xué)難點(diǎn)。正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。
●教學(xué)過(guò)程。講授新課
例.在ΔABC中，A=60°，b=1，面積為32，求a+b+csinA+sinB+sinC的值
分析：可利用三角形面積定理S=12absinC=12acsinB=12bcsinA以及正弦定理asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC
解：由S=12bcsinA=32得c=2，則a2=b2+c2-2bccsoA=3，即a=3，從而a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=2。
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