教案是教師為順利而有效地開展教學活動，根據(jù)課程標準，教學大綱和教科書要求及學生的實際情況，以課時或課題為單位，對教學內(nèi)容、教學步驟、教學方法等進行的具體設計和安排的一種實用性教學文書。接下來是小編為大家整理的有關高三數(shù)學平面向量的數(shù)量積教學設計大全，希望大家喜歡!

　　有關高三數(shù)學平面向量的數(shù)量積教學設計大全一

　　教學目標：

　　(i)知識目標：

　　(1)掌握平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義、性質、運算律及坐標表示.

　　(2) 平面向量數(shù)量積的應用.

　　(ii)能力目標：

　　(1) 培養(yǎng)學生應用平面向量積解決相關問題的能力.

　　(2) 正確運用向量運算律進行推理、運算.

　　教學重點： 1. 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

　　2. 用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標運算.

　　教學難點： 平面向量數(shù)量積的綜合應用.

　　?教學過程：

　　一、知識梳理

　　1.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數(shù)量| || |cos(叫 與 的數(shù)量積，記作 ( ，即 ( = | || |cos(， 并規(guī)定 與任何向量的數(shù)量積為0

　　2.平面向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 ( 等于 的長度與 在 方向上投影| |cos(的乘積.

　　3.兩個向量的數(shù)量積的性質 設 、 為兩個非零向量， 是與 同向的單位向量

　　1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 0

　　3(當 與 同向時， ( = | || |;當 與 反向時， ( = (| || | ，特別地 ( = | |2

　　4(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || |

　　4.平面向量數(shù)量積的運算律

　?、?交換律： ( = ( ② 數(shù)乘結合律：( )( = ( ( ) = (( )

　　③ 分配律：( + )( = ( + (

　　5.平面向量數(shù)量積的坐標表示

　?、僖阎獌蓚€向量 ， ，則 .

　?、谠O ，則 .

　　③平面內(nèi)兩點間的距離公式 如果表示向量 的有向線段的起點和終點的坐標分別為

　　、 ，那么 .

　?、芟蛄看怪钡呐卸?兩個非零向量 ， ，則 .

　　⑤兩向量夾角的余弦 cos( = ( ).

　　二、典型例題

　　1. 平面向量數(shù)量積的運算

　　例題1 已知下列命題：

　?、?; ② ; ③ ; ④

　　其中正確命題序號是 ②、④ .

　　點評： 掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運算律不同于實數(shù)的運算律.

　　例題2 已知 ; (2) ;(3) 的夾角為 ，分別求 .

　　解(1)當 時， = 或 = .

　　(2)當 時， = .

　　(3)當 的夾角為 時， = .

　　變式訓練：已知 ，求

　　解： =

　　點評： 熟練應用平面向量數(shù)量積的定義式求值，注意兩個向量夾角的確定及分類完整.

　　2.夾角問題

　　例題3 若 ，且 ，則向量 與向量 的夾角為 ( )

　　A. B. C. D.

　　解：依題意 故選C

　　變式訓練1：① 已知 ，求向量 與向量 的夾角.

　?、?已知 ， 夾角為 ，則 .

　　解： ① ，故夾角為 .

　　②依題意得 .

　　變式訓練2：已知 是兩個非零向量，同時滿足 ，求 的夾角.

　　法一 解：將 兩邊平方得 ，

　　則 ， 故 的夾角.為 .

　　法二： 數(shù)形結合

　　點評：注意兩個向量夾角共起點，靈活應用兩個向量夾角的兩種求法.

　　3.向量模的問題

　　例題4 已知向量 滿足 ，且 的夾角為 ，求 .

　　解： ，且 的夾角為;

　　變式訓練 ：

　?、?2005年湖北)已知向量 ，若 不超過5，則 的取值范圍 ( )

　　A. B. C. D.

　　②(2006年福建) 已知 的夾角為 ， ， ，則 等于( )

　　A 5 B. 4 C. 3 D. 1

　　解： ① ， 故選C

　?、?， ，解得 ，故選B

　　點評：涉及向量模的問題一般利用 ，注意兩邊平方是常用的方法.

　　4.平面向量數(shù)量積的綜合應用

　　例題5 已知向量 .

　　若 ; (2)求 的最大值 .

　　解：(1)若 ，則 ， .

　　(2) = =

　　， 的最大值為 .

　　例題6已知向量 ，且 滿足 ，

　　求證 ; (2)將 與 的數(shù)量積表示為關于 的函數(shù) ;

　　(3)求函數(shù) 的最小值及取得最小值時向量 與向量 的夾角 .

　　解：(1)， 

       故

　　(2) ，

　　故 .

　　有關高三數(shù)學平面向量的數(shù)量積教學設計大全二

　　2.3.1向量數(shù)量積的物理背景與定義

　　教材說明

　　平面向量數(shù)量積具有代數(shù)與幾何的雙重性質，因此所涉及的內(nèi)容較為廣泛，如方程、不等式等代數(shù)問題;夾角、距離、面積、平行、垂直等幾何問題。

　　平面向量數(shù)量積是數(shù)學中知識與能力的載體，是數(shù)學上的一個重要工具之一，值得一提的是在教材的后續(xù)兩章的學習中，對三角函數(shù)內(nèi)容中某些問題的處理都是借助向量的數(shù)量積來解決的，這正體現(xiàn)了平面向量數(shù)量積的工具性，在解決代數(shù)與幾何問題中都有著很強的實用性。

　　課型 新授課

　　課時 1課時(練習 共2課時)

　　學情分析

　　在學平面向量數(shù)量積之前，學生已學習了平面向量的概念、向量的線性運算及向量的基本定理與坐標表示等有關內(nèi)容，這為過渡到本節(jié)的學習起了鋪墊作用;在后繼知識的學習中，是據(jù)此內(nèi)容用向量代數(shù)方法進一步研究了平面圖形的有關性質。

　　本節(jié)以力對物體做功作為背景，研究平面向量的數(shù)量積。但是，學生作為初學者不清楚向量數(shù)量積是數(shù)量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當然，以及對運算律的理解和平面向量的數(shù)量積的靈活應用。通過情景創(chuàng)設、探究和思考引導學生認知、理解并掌握相關的內(nèi)容。利用向量數(shù)量積運算討論一些幾何元素的位置關系、距離和角，這些刻畫幾何元素(點、線、面)之間度量關系的基本量學生容易混淆。利用數(shù)量積運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關系解決問題，是學生學習本節(jié)內(nèi)容的重點又是難點。由向量的線性運算遷移、引申到向量的乘法運算這是個很自然的過渡，深入淺出、符合學生的認知規(guī)律，也有利于明確本節(jié)課的教學任務，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲望。

　　教學內(nèi)容分析

　　教學的主要內(nèi)容：以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念，使向量數(shù)量積運算與物理知識聯(lián)系起來;向量數(shù)量積與向量的長度及夾角的關系;進一步探究兩個向量的夾角對數(shù)量積符號的影響及有關的性質、幾何意義和運算律。

　　教材的編寫的特點：本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修4》(B版)第二章、第3節(jié)第1課時。它是平面向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關系是向量間最基本、最重要的位置關系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數(shù)量特征，向量的數(shù)量積恰好是解決問題的一個重要工具。?

　　教學目標

　　知識與技能：

　　(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;

　　(2)掌握向量數(shù)量積的性質和運算律，會進行平面向量數(shù)量積的運算;

　　(3)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系.

　　過程與方法：

　　通過向量的線性運算及多項式乘法運算的對照，強化學生的類比思想

　　情感態(tài)度與價值觀：

　　通過數(shù)量積的性質、運算律的靈活應用，發(fā)展學生從特殊到一般的認知能力，培養(yǎng)學生學習的主動性和合作交流的學習習慣

　　教學重點和難點

　　重點：平面向量的數(shù)量積的概念和性質;用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角;平面向量數(shù)量積的運算律的探究及應用.

　　難點：難點是平面向量的數(shù)量積的定義及對運算律的探究、理解;平面向量數(shù)量積的靈活應用。

　　教學策略選擇與設計

　　《高中數(shù)學課程標準》指出：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式”，轉變學生的學習方式，激發(fā)學生的學習積極性，讓學生樂于參與到探索性和創(chuàng)造性的學習活動中來，這是新課程數(shù)學教學的基本要求?！陡咧袛?shù)學課程標準》還明確提出了提高學生的知識與技能、重視學生的學習過程與方法，培養(yǎng)學生的情感態(tài)度、價值觀的三維目標。為此，結合本節(jié)課的教學內(nèi)容，教學中注重過程、方法，注重引導學生自覺去看書，不斷提出問題，研究問題，并解決問題。重視在師生，生生互動、交流的過程中滲透情感態(tài)度與價值觀。

　　教學資源與手段

　　資源：三角板，彩粉筆，電腦，多媒體。

　　手段：通過師生互動，共同探討生成新知，更加有助于學生探究能力的培養(yǎng)。

　　教學過程設計

　　教學環(huán)節(jié) 教學過程 師生活動 設計意圖

　　情景引入 1、給出有關材料并提出問題

　　問題1： 表示一個么角?

　　SHAPE MERGEFORMAT

　　(1)如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功： 。

　　(2)這個公式有什么特點?請完成下列填空：

　　①W(功)是 量，②F(力)是 量，

　?、跾(位移)是 量，④ 是 。

　　(3)你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積

　　提問

　　學生易答：表示力 的方向與位移 的方向的夾角

　　創(chuàng)設學生熟悉的問題情景，將學生自然的帶入到課堂的教學內(nèi)容中來。

　　探究問題

　　形成定義

　　(1)探究兩個向量的夾角的定義。

　　問題2：你能指出下列圖中兩向量的夾角嗎?

　　問題3：對于兩個非零向量 ，你能給出它們夾角的定義嗎?

　　問題4：思考向量夾角的范圍

　　問題5： 表示什么?

　　SHAPE MERGEFORMAT

　　(2)探究向量 在 方向上的投影

　　問題6：對于兩個非零向量 ，向量 在向量 方向上的投影為什么?你能從圖中作出 在 方向上的投影嗎?

　　(3)探究 與 的數(shù)量積.

　　問題7：F(力)是 量， S(位移)是 量，W(功)是 量

　　定義：

　　叫做 與 的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作： .

　　即： = 。(板書三)

　　問題8：向量數(shù)量積的運算與線性運算的結果有什么不同?

　　若 是非零向量，設夾角為θ，完成下表：

　　夾角θ的范圍的符號

　　問題9：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積 =

　　的幾何意義如何? (板書四)

　　問題10：請同學們用一句話來概括功的數(shù)學本質：功是力與位移的數(shù)量積

　　(板書五)

　?、佗冖蹖W生容易得到，④學生可能會出現(xiàn)兩種答案，教師給予指導

　　學生思考回答，教師予以補充，關鍵是點出兩向量起點相同，并給出夾角符號

　　有了問題2的鋪墊，學生容易得出0 ，

　　教師強調(diào)同向時為0，反向時為π.

　　教師補充：

　　(1)當

　　= 時，向量 與向量 互相垂直，記作 .

　　(2)在討論垂直問題時規(guī)定：零向量與任一向量垂直.

　　生答：力F在位移方向上的分量

　　師補充：我們把 稱為力F在位移S方向上的投影

　　師生共作向量 在 方向上的投影圖象。

　　對上述物理意義下的“功”概念進行抽象，將公式中的力與位移推廣到一般向量 與 。

　　怎么來規(guī)定

　　有關高三數(shù)學平面向量的數(shù)量積教學設計大全三

　　平面向量的數(shù)量積教案

　　考綱要求：掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積處理有關長度、角度、垂直問題，掌握向量垂直的條件.

　　高考預測：(1)客觀題---- 考查數(shù)量積的定義、性質及運算律，難度較低.

　　(2)主觀題---以平面向量的數(shù)量積為工具，考查其綜合應用，多與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式聯(lián)系，難度中等.

　　教學目標：

　　(i)知識目標：

　　(1)掌握平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義、性質、運算律及坐標表示.

　　(2) 平面向量數(shù)量積的應用.

　　(ii)能力目標：

　　(1) 培養(yǎng)學生應用平面向量積解決相關問題的能力.

　　(2) 正確運用向量運算律進行推理、運算.

　　教學重點： 1. 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

　　2. 用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標運算.

　　教學難點： 平面向量數(shù)量積的綜合應用.

　　教 具：多媒體.

　　教材教法分析：

　　本節(jié)課是高三第一輪平面向量數(shù)量積復習課，重點掌握平面向量數(shù)量積及幾何意義.用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標運算.滲透化歸思想以及數(shù)形結合思想.

　　?教學過程：

　　一、追溯

　　(修改：這部分屬知識點回顧，既然是高三復習課，可把相關知識點以填空的形式展示出來。一方面可要求不主動學習的學生完成必要的任務，另一方面也把知識的重點部分展現(xiàn)在所有學生面前。)

　　1.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數(shù)量| || |cos(叫 與 的數(shù)量積，記作 ( ，即 ( = | || |cos(， 并規(guī)定 與任何向量的數(shù)量積為0

　　2.平面向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 ( 等于 的長度與 在 方向上投影| |cos(的乘積.

　　3.兩個向量的數(shù)量積的性質 設 、 為兩個非零向量， 是與 同向的單位向量

　　1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 0

　　3(當 與 同向時， ( = | || |;當 與 反向時， ( = (| || | ，特別地 ( = | |2

　　4(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || |

　　4.平面向量數(shù)量積的運算律

　　① 交換律： ( = ( ② 數(shù)乘結合律：( )( = ( ( ) = (( )

　?、?分配律：( + )( = ( + (

　　5.平面向量數(shù)量積的坐標表示

　　①已知兩個向量 ， ，則 .

　?、谠O ，則 .

　?、燮矫鎯?nèi)兩點間的距離公式 如果表示向量 的有向線段的起點和終點的坐標分別為

　　、 ，那么 .

　　④向量垂直的判定 兩個非零向量 ， ，則 .

　　⑤兩向量夾角的余弦 cos( = ( ).

　　二、典型例題

　　1. 平面向量數(shù)量積的運算

　　例題1 已知下列命題：

　　① ; ② ; ③ ; ④

　　其中正確命題序號是 ②、④ .

　　點評： 掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運算律不同于實數(shù)的運算律.

　　例題2 已知 ; (2) ;(3) 的夾角為 ，分別求 .

　　解(1)當 時， = 或 = .

　　(2)當 時， = .

　　(3)當 的夾角為 時， = .

　　變式訓練：已知 ，求

　　解： =

　　點評： 熟練應用平面向量數(shù)量積的定義式求值，注意兩個向量夾角的確定及分類完整.

　　2.夾角問題

　　例題3 (2005年北京)若 ，且 ，則向量 與向量 的夾角為 ( )

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