高中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

　　函數(shù)思想和方程思想是學(xué)習(xí)數(shù)列的兩大精髓.“從基本量出發(fā)，知三求二.”這是方程思想的體現(xiàn).而“將數(shù)列看成一種特殊的函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式都是關(guān)于n的函數(shù).”則蘊含了數(shù)列中的函數(shù)思想.借助有關(guān)函數(shù)、方程的性質(zhì)來解決數(shù)列問題，常能起到化難為易的功效。以下是小編給大家?guī)淼姆匠趟枷朐跀?shù)列上的應(yīng)用，僅供考生閱讀。

　　函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用(含具體案例)

　　本文列舉幾例分類剖析：

　　一、方程思想

　　1.知三求二

　　等差(或等比)數(shù)列{an}的通項公式，前n項和公式集中了等差(或等比)數(shù)列的五個基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)數(shù)列最基本的題型，通過解方程的方法達到解決問題的目的.

　　例1等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若Sn=242，求n的值.

　　解(1)由a10=a1+9d=30，

　　a20=a1+19d=50，

　　解得a1=12，

　　因為n∈N*，所以n=11.

　　2.轉(zhuǎn)化為基本量

　　在等差(等比)數(shù)列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.

　　例2在等比數(shù)列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8項的和S8.

　　解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)

　　由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.

　　將a1q3=―8代入(1)，

　　得q2=―2(舍去);

　　將a1q3=8代入(1)，得q=±2.

　　當(dāng)q=2時，a1=1，S8=255;

　　當(dāng)q=―2時，a1=―1，S8=85.

　　3.加減消元法利用Sn求an

　　利用Sn求an是求通項公式的一種重要方法，其實這種方法就是方程思想中加減消元法的運用.

　　例3(2011年佛山二模)已知數(shù)列{an}、{bn}中，對任何正整數(shù)n都有：

　　a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.

　　若數(shù)列{bn}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式.

　　解將等式左邊看成Sn，令

　　Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.

　　依題意Sn=(n―1)?2n+1，(1)

　　又構(gòu)造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)

　　兩式相減可得

　　Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).

　　又因為數(shù)列{bn}的通項公式為

　　bn=2n―1，

　　所以an=n (n≥2).

　　當(dāng)n=1，由題設(shè)式子可得a1=1，符合an=n.

　　從而對一切n∈N*，都有an=n.

　　所以數(shù)列{an}的通項公式是an=n.

　　4.等差、等比的綜合問題

　　這一類的綜合問題往往還是回歸到數(shù)列的基本量去建立方程組.

　　例4設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4構(gòu)成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式.

　　解根據(jù)求和定義和等差中項建立關(guān)于a1，a2，a3的方程組.

　　由已知得a1+a2+a3=7，

　　(a1+3)+(a3+4)2=3a2.

　　解得a2=2.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，

　　由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.

　　又S3=7，可知2q+2+2q=7，

　　即2q2―5q+2=0，

　　解得q1=2，q2=12.

　　由題意得q>1，所以q=2.

　　可得a1=1，

　　從而數(shù)列{an}的通項為an=2n―1.

　　二、函數(shù)思想

　　數(shù)列是一類定義在正整數(shù)或它的有限子集上的特殊函數(shù).可見，任何數(shù)列問題都蘊含著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征.如一次、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、周期性等在數(shù)列中有廣泛的應(yīng)用.如等差數(shù)列{an}的通項公式

　　an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，

　　前n項和的公式

　　Sn=na1+n(n―1)2d

　　=d2n2+(a1―d2)n，

　　當(dāng)d≠0時，可以看作自變量n的一次和二次函數(shù).因此我們在解決數(shù)列問題時，應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識，以它的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁，揭示了它們間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地分解數(shù)列問題.

　　1.運用函數(shù)解析式解數(shù)列問題

　　在等差數(shù)列中，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可用研究二次函數(shù)的方法進行解題.

　　例5等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出當(dāng)n為何值時Sn有最大值.

　　分析顯然公差d≠0，所以Sn是n的二次函數(shù)且無常數(shù)項.

　　解設(shè)Sn=an2+bn(a≠0)，則

　　a×102+b×10=100，

　　a×1002+b×100=10.

　　解得a=―11100，

　　b=11110.

　　所以Sn=―11100n2+11110n.

　　從而S110=―11100×1102+11110×110

　　=―110.

　　函數(shù)Sn=―11100n2+11110n的對稱軸為

　　n=111102×11100=55211=50211.

　　因為n∈N*，

　　所以n=50時Sn有最大值.

　　2.利用函數(shù)單調(diào)性解數(shù)列問題

　　通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明數(shù)列的單調(diào)性.

　　例6已知數(shù)列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求證an>an+1.

　　解設(shè)f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，

　　則f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 　　因為x≥2，

　　所以x1+x<1，ln(1+x)>1，

　　所以f ′(x)<0.

　　即f(x)在[2，+∞)上是單調(diào)減函數(shù).

　　故當(dāng)n≥2時，an>an+1.

　　例7已知數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，bn=1+anan.

　　(1)若a1=―52，求數(shù)列{bn}中的最大項和最小項的值;

　　(2)若對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍.

　　(1)分析最大、最小是函數(shù)的一個特征，一般可以從研究函數(shù)的單調(diào)性入手，用來研究函數(shù)最大值或最小值的方法同樣適用于研究數(shù)列的最大項或最小項.

　　解由題設(shè)易得an=n―72，

　　所以bn=2n―52n―7.

　　由bn=2n―52n―7=1+22n―7，

　　可考察函數(shù)f(x)=1+22x―7的單調(diào)性.

　　當(dāng)x<72時，f(x)為減函數(shù)，

　　且f(x)<1;

　　當(dāng)x>72時，f(x)為減函數(shù)，

　　且f(x)>1.

　　所以數(shù)列{bn}的最大項為b4=3，最小項為b3=―1.

　　(2)分析由于對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本題實際上就是求數(shù)列{bn}中的最大項.

　　由于bn=1+1n―1+a1，

　　故可以考察函數(shù)f(x)=1+1x―1+a1的形態(tài).

　　解由題，得an=n―1+a1，

　　所以bn=1+1n―1+a1.

　　考察函數(shù)f(x)=1+1x―1+a1，

　　當(dāng)x<1―a1時，f(x)為減函數(shù)，

　　且f(x)<1;

　　當(dāng)x>1―a1時，f(x)為減函數(shù)，

　　且f(x)>1.

　　所以要使b8是最大項，當(dāng)且僅當(dāng)7<1―a1<8，

　　所以a1的取值范圍是―7
　　3.利用函數(shù)周期性解數(shù)列問題

　　例8數(shù)列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.試求S100=a1+a2+…+a100的值.

　　分析從遞推式不易直接求通項，觀察前幾項a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜測該數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列.

　　解由已知

　　兩式相減得

　　通過上述實例的分析與說明，我們可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)重視方程函數(shù)思想的滲透，應(yīng)該把函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)有機地融入到數(shù)列中，通過數(shù)列與函數(shù)知識的相互交匯，使學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)得以不斷優(yōu)化與完善，同時也使學(xué)生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高.

　　高中數(shù)學(xué)思想方法介紹，高中數(shù)學(xué)解題思想方法與講解

　　數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識;基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。

　　數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)及規(guī)律的理性認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點方法。學(xué)生大腦中若不蘊含數(shù)學(xué)思想方法，會導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏自主性，往往就成為離不開教師這個拐棍的被動學(xué)習(xí)者，學(xué)的數(shù)學(xué)知識不能用數(shù)學(xué)思想方法有效連接，支離破碎。所以，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大腦有了數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)才有方向?qū)б?，心中有了明確方向，才能主動思考，才有利于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，才能知道如何去思考和解決問題。

　　高中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想

　　1.轉(zhuǎn)化與化歸思想：

　　是把那些待解決或難解決的問題化歸到已有知識范圍內(nèi)可解問題的一種重要的基本數(shù)學(xué)思想.這種化歸應(yīng)是等價轉(zhuǎn)化，即要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果應(yīng)是充分必要的，這樣才能保證轉(zhuǎn)化后所得結(jié)果仍為原題的結(jié)果. 高中數(shù)學(xué)中新知識的學(xué)習(xí)過程，就是一個在已有知識和新概念的基礎(chǔ)上進行化歸的過程.因此，化歸思想在數(shù)學(xué)中無處不在. 化歸思想在解題教學(xué)中的的運用可概括為：化未知為已知，化難為易，化繁為簡.從而達到知識遷移使問題獲得解決.但若化歸不當(dāng)也可能使問題的解決陷入困境. 例證

　　2.邏輯劃分思想(即分類與整合思想)：

　　是當(dāng)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性在局部上有不同點而又不便化歸為單一本質(zhì)屬性的問題解決時，而根據(jù)其不同點選擇適當(dāng)?shù)膭澐謽?biāo)準(zhǔn)分類求解，并綜合得出答案的一種基本數(shù)學(xué)思想.但要注意按劃分標(biāo)準(zhǔn)所分各類間應(yīng)滿足互相排斥，不重復(fù)，不遺漏，最簡潔的要求. 在解題教學(xué)中常用的劃分標(biāo)準(zhǔn)有：按定義劃分;按公式或定理的適用范圍劃分;按運算法則的適用條件范圍劃分;按函數(shù)性質(zhì)劃分;按圖形的位置和形狀的變化劃分;按結(jié)論可能出現(xiàn)的不同情況劃分等.需說明的是： 有些問題既可用分類思想求解又可運用化歸思想或數(shù)形結(jié)合思想等將其轉(zhuǎn)化到一個新的知識環(huán)境中去考慮，而避免分類求解.運用分類思想的關(guān)鍵是尋找引起分類的原因和找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn). 例證

　　3. 函數(shù)與方程思想(即聯(lián)系思想或運動變化的思想)：

　　就是用運動和變化的觀點去分析研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，抽象其數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)或方程有關(guān)知識解決問題的一種重要的基本數(shù)學(xué)思想.

　　4. 數(shù)形結(jié)合思想：

　　將數(shù)學(xué)問題中抽象的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)為一定的幾何圖形的性質(zhì)(或位置關(guān)系);或者把幾何圖形的性質(zhì)(或位置關(guān)系)抽象為適當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，從而使隱蔽的條件明朗化，是化難為易，探索解題思維途徑的重要的基本數(shù)學(xué)思想.

　　5. 整體思想：

　　處理數(shù)學(xué)問題的著眼點或在整體或在局部.它是從整體角度出發(fā)，分析條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系，相互聯(lián)系及變化規(guī)律，從而找出最優(yōu)解題途徑的重要的數(shù)學(xué)思想.它是控制論，信息論，系統(tǒng)論中“整體—部分—整體”原則在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn).在解題中，為了便于掌握和運用整體思想，可將這一思想概括為：記住已知(用過哪些條件?還有哪些條件未用上?如何創(chuàng)造機會把未用上的條件用上?)，想著目標(biāo)(向著目標(biāo)步步推理，必要時可利用圖形標(biāo)示出已知和求證);看聯(lián)系，抓變化，或化歸;或數(shù)形轉(zhuǎn)換，尋求解答.一般來說，整體范圍看得越大，解法可能越好.

　　在整體思想指導(dǎo)下，解題技巧只需記住已知，想著目標(biāo)， 步步正確推理就夠了.

　　中學(xué)數(shù)學(xué)中還有一些數(shù)學(xué)思想，如：

　　集合的思想;

　　補集思想;

　　歸納與遞推思想;

　　對稱思想;

　　逆反思想;

　　類比思想;

　　參變數(shù)思想

　　有限與無限的思想;

　　特殊與一般的思想.

　　它們大多是本文所述基本數(shù)學(xué)思想在一定知識環(huán)境中的具體體現(xiàn).所以在中學(xué)數(shù)學(xué)中，只要掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，把握代數(shù)，三角，立體幾何，解析幾何的每部分的知識點及聯(lián)系，掌握幾個常用的基本數(shù)學(xué)思想和將它們統(tǒng)一起來的整體思想，就定能找到解題途徑.提高數(shù)學(xué)解題能力。