初三上冊期末數(shù)學(xué)試題及答案
初三上冊期末數(shù)學(xué)試題及答案
在各個(gè)科目的學(xué)習(xí)當(dāng)中，最需要大量練習(xí)的科目非數(shù)學(xué)莫屬了，所以大家還是好好刷數(shù)學(xué)題吧!小編在這里整理了相關(guān)資料，希望能幫助到您。
一、選擇題(共12小題，每小題3分，滿分36分)
1.下列事件中，必然事件是()
A.擲一枚硬幣，正面朝上
B.任意三條線段可以組成一個(gè)三角形
C.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)
D.拋出的籃球會(huì)下落
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.
【分析】必然事件是指一定會(huì)發(fā)生的事件.
【解答】解：A、擲一枚硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，故A錯(cuò)誤;
B、在同一條直線上的三條線段不能組成三角形，故B錯(cuò)誤;
C、投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤;
D、拋出的籃球會(huì)下落是必然事件.
故選：D.
【點(diǎn)評】本題主要考查的是必然事件和隨機(jī)事件，掌握隨機(jī)事件和必然事件的概念是解題的關(guān)鍵.
2.方程(m﹣2)x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則()
A.m=±2B.m=2C.m=﹣2D.m≠±2
【考點(diǎn)】一元二次方程的定義.
【分析】由一元二次方程的定義可知|m|=2，且m﹣2≠0，從而可求得m的值.
【解答】解：∵方程(m﹣2)x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴|m|=2，且m﹣2≠0.
解得：m=﹣2.
故選：C.
【點(diǎn)評】本題主要考查的是一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.
3.把拋物線y=(x+1)2向下平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，所得到的拋物線是()
A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2﹣2C.y=x2+2D.y=x2﹣2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】先寫出平移前的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減，向右平移橫坐標(biāo)加求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可.
【解答】解：拋物線y=(x+1)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，0)，
∵向下平移2個(gè)單位，
∴縱坐標(biāo)變?yōu)椹?，
∵向右平移1個(gè)單位，
∴橫坐標(biāo)變?yōu)椹?+1=0，
∴平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，﹣2)，
∴所得到的拋物線是y=x2﹣2.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點(diǎn)的變化確定函數(shù)圖象的變化求解更加簡便，且容易理解.
4.如圖，在⊙O中，∠C=30°，AB=2，則弧AB的長為()
A.πB.C.D.
【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算;等邊三角形的判定與性質(zhì);圓周角定理.
【分析】根據(jù)圓周角定理求出圓心角∠AOB，然后根據(jù)弧長公式求解即可.
【解答】解：∵∠C=30°，
根據(jù)圓周角定理可知：∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴l==π，
∴劣弧AB的長為π.
故選D.
【點(diǎn)評】本題主要考查弧長的計(jì)算，掌握弧長的計(jì)算公式l=(弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r)是解題關(guān)鍵，難度一般.
5.如圖，PA和PB是⊙O的切線，點(diǎn)A和點(diǎn)B是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，已知∠P=40°，則∠ACB的大小是()
A.40°B.60°C.70°D.80°
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).
【分析】由PA、PB是⊙O的切線，可得∠OAP=∠OBP=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和，求出∠AOB，再根據(jù)圓周角定理即可求∠ACB的度數(shù).
【解答】解：連接OB，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
由圓周角定理知，∠ACB=∠AOB=70°，
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是連接OB，利用直徑對的圓周角是直角來解答.
6.如圖，將三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)繞B點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到A1B1C1的位置，使得點(diǎn)A，B，C1在同一條直線上，那么這個(gè)角度等于()
A.30°B.60°C.90°D.120°
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】先利用鄰補(bǔ)角的定義可計(jì)算出∠CBC1=120°，然后根據(jù)性質(zhì)的性質(zhì)得到∠CBC1等于旋轉(zhuǎn)角.
【解答】解：∵∠ABC=60°，
∴∠CBC1=180°﹣∠ABC=120°，
∵三角尺ABC繞B點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到A1B1C1的位置，
∴∠CBC1等于旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角為120°.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.
7.下列命題中假命題的個(gè)數(shù)是()
①三點(diǎn)確定一個(gè)圓;
?、谌切蔚膬?nèi)心到三邊的距離相等;
?、巯嗟鹊膱A周角所對的弧相等;
④平分弦的直徑垂直于弦;
?、荽怪庇诎霃降闹本€是圓的切線.
A.4B.3C.2D.1
【考點(diǎn)】命題與定理.
【分析】分析是否為假命題，可以舉出反例;也可以分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案.
【解答】解：①錯(cuò)誤，不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓;
?、谡_，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等;
?、坼e(cuò)誤，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等;
?、苠e(cuò)誤，如果平分的弦是直徑，那么平分弦的直徑不垂直于弦;
⑤錯(cuò)誤，過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線.
故選A.
【點(diǎn)評】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.
8.如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)S1、S2、S3中的兩個(gè)，則能讓燈泡⊗發(fā)光的概率是()
A.B.C.D.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【專題】圖表型.
【分析】采用列表法列出所有情況，再根據(jù)能讓燈泡發(fā)光的情況利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.
【解答】解：列表如下：
共有6種情況，必須閉合開關(guān)S3燈泡才亮，
即能讓燈泡發(fā)光的概率是=.
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查了列表法與畫樹狀圖求概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
9.△ABC的三邊長分別為6、8、10，則其內(nèi)切圓和外接圓的半徑分別是()
A.2，5B.1，5C.4，5D.4，10
【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;勾股定理的逆定理;三角形的外接圓與外心.
【專題】計(jì)算題.
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形，然后利用直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內(nèi)切圓半徑為計(jì)算△ABC的內(nèi)切圓的半徑，利用斜邊為外接圓的直徑計(jì)算△ABC的外接圓的半徑.
【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC為直角三角形，
∴△ABC的內(nèi)切圓的半徑==2，
△ABC的外接圓的半徑==5.
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).也考查了勾股定理的逆定理.記住直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內(nèi)切圓半徑為.
10.已知二次函數(shù)y=x2+x+m，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0，則m的取值范圍是()
A.m≥B.m>C.m≤D.m<
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】由題意二次函數(shù)y=x2+x+m知，函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0，可以推出△<0，從而解出m的范圍.
【解答】解：已知二次函數(shù)的解析式為：y=x2+x+m，
∴函數(shù)的圖象開口向上，
又∵當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0，
∴有△<0，
∴△=1﹣4m<0，
∴m>，
故選B.
【點(diǎn)評】此題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，當(dāng)函數(shù)圖象與x軸無交點(diǎn)時(shí)，說明方程無根則△<0，若有交點(diǎn)，說明有根則△≥0，這一類題目比較常見且難度適中.
11.如圖，將半徑為3的圓形紙片，按下列順序折疊，若和都經(jīng)過圓心O，則陰影部分的面積是()
A.πB.2πC.3πD.4π
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算;翻折變換(折疊問題).
【分析】作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，進(jìn)而求得∠AOC=120°，再利用陰影部分的面積=S扇形AOC求解.
【解答】解;如圖，作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接AO，BO，CO，
∵OD=AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴陰影部分的面積=S扇形AOC==3π.
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.
12.如圖，AB為⊙O的直徑，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分線交⊙O于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)C在下半圓上移動(dòng)時(shí)，(不與點(diǎn)A、B重合)，下列關(guān)于點(diǎn)P描述正確的是()
A.到CD的距離保持不變B.到D點(diǎn)距離保持不變
C.等分D.位置不變
【考點(diǎn)】圓周角定理;垂徑定理;圓心角、弧、弦的關(guān)系.
【分析】首先連接OP，由∠OCD的平分線交⊙O于點(diǎn)P，易證得CD∥OP，又由弦CD⊥AB，可得OP⊥AB，即可證得點(diǎn)P為的中點(diǎn)不變.
【解答】解：不發(fā)生變化.
連接OP，
∵OP=OC，
∴∠P=∠OCP，
∵∠OCP=∠DCP，
∴∠P=∠DCP，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴=，
∴點(diǎn)P為的中點(diǎn)不變.
故選D.
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理以及垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(共6小題，每小題4分，滿分24分)
13.二次函數(shù)y=x2+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，﹣1)，對稱軸是直線x=﹣1.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】先把該二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式的形式，再根據(jù)其頂點(diǎn)式進(jìn)行解答即可.
【解答】解：∵y=x2+2x=(x+1)2﹣1，
∴二次函數(shù)y=x2+4x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：(﹣1，﹣1)，對稱軸是直線x=﹣1.
故答案為：(﹣1，﹣1)，x=﹣1.
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸的方法，熟練配方是解題關(guān)鍵.
14.已知正六邊形的半徑為2cm，那么這個(gè)正六邊形的邊心距為cm.
【考點(diǎn)】正多邊形和圓.
【分析】根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)，通過中心作邊的垂線，連接半徑，結(jié)合解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決.
【解答】解：如圖，連接OA、OB;過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G.
在Rt△AOG中，
∵OA=2cm，∠AOG=30°，
∴OG=OA•cos30°=2×=(cm).
故答案為：.
【點(diǎn)評】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.
15.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，⊙O的半徑為4，則AC的長等于4.
【考點(diǎn)】圓周角定理;垂徑定理.
【分析】連接OA，OC，過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，由圓周角定理求出∠AOC的度數(shù)，再由垂徑定理得出AD=AC，∠AOD=∠AOC，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論.
【解答】解：連接OA，OC，過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°.
∵OD⊥AC，OA=4，
∴AD=AC，∠AOD=∠AOC=60°，
∴AD=OA•sin60°=4×=2，
∴AC=2AD=4.
故答案為：4.
【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理及直角三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵.
16.如圖所示的扇形是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，若∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，則該圓錐的側(cè)面積為108πcm2.
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【分析】首先求得扇形的母線長，然后求得扇形的面積即可.
【解答】解：設(shè)AO=B0=R，
∵∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，
∴=12π，
解得：R=18，
∴圓錐的側(cè)面積為lR=×12π×18=108π，
故答案為：108π.
【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是牢記圓錐的有關(guān)計(jì)算公式，難度不大.
17.如圖，Rt△OAB的頂點(diǎn)A(﹣2，4)在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，2).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).
【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后根據(jù)題意求得D(0，2)，且DC∥x軸，從而求得P的縱坐標(biāo)為2，代入求得的解析式即可求得P的坐標(biāo).
【解答】解：∵Rt△OAB的頂點(diǎn)A(﹣2，4)在拋物線y=ax2上，
∴4=4a，解得a=1，
∴拋物線為y=x2，
∵點(diǎn)A(﹣2，4)，
∴B(﹣2，0)，
∴OB=2，
∵將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，
∴D點(diǎn)在y軸上，且OD=OB=2，
∴D(0，2)，
∵DC⊥OD，
∴DC∥x軸，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
代入y=x2，得2=x2，
解得x=±，
∴P(，2).
故答案為(，2).
【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意求得P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
18.如圖，P是拋物線y=x2+x+2在第一象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形OAPB周長的值為6.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】設(shè)P(x，y)(2>x>0，y>0)，根據(jù)矩形的周長公式得到C=﹣2(x﹣1)2+6.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值即可.
【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，
∴當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+2=0即﹣(x﹣2)(x+1)=0，
解得x=2或x=﹣1
故設(shè)P(x，y)(2>x>0，y>0)，
∴C=2(x+y)=2(x﹣x2+x+2)=﹣2(x﹣1)2+6.
∴當(dāng)x=1時(shí)，C值=6，.
即四邊形OAPB周長的值為6.
故答案是：6.
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.求二次函數(shù)的(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法.本題采用了配方法.
三、解答題(共6小題，滿分60分)
19.用適當(dāng)方法解方程：
(1)x2﹣2x﹣3=0
(2)x2﹣6x+9=(5﹣2x)2.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【分析】(1)分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.
(2)整理成(x﹣3)2=(5﹣2x)2，然后用直接開平方法求解即可.
【解答】解：(1)x2﹣2x﹣3=0，
(x﹣3)(x+1)=0
∴x﹣3=0或x+1=0，
∴x1=3x2=﹣1;
(2)x2﹣6x+9=(5﹣2x)2.
(x﹣3)2=(5﹣2x)2
∴x﹣3=±(5﹣2x)
∴x1=2，x2=.
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程.
20.關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2.
(1)求m的取值范圍;
(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值.
【考點(diǎn)】根的判別式;根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】(1)因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以△≥0，據(jù)此即可求出m的取值范圍;
(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1代入2(x1+x2)+x1x2+10=0，解關(guān)于m的方程即可.
【解答】解：(1)∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，
∴9﹣4×1×(m﹣1)≥0，
解得m≤;
(2)∵x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1，
又∵2(x1+x2)+x1x2+10=0，
∴2×(﹣3)+m﹣1+10=0，
∴m=﹣3.
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直接將兩根之和與兩根之積用m表示出來是解題的關(guān)鍵.
21.如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑r=2cm，扇形的圓心角θ=120°，求該圓錐的高h(yuǎn)的長.
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用弧長公式求出AB的長度，即可解決問題.
【解答】解：如圖，由題意得：
，而r=2，
∴AB=6，
∴由勾股定理得：
AO2=AB2﹣OB2，而AB=6，OB=2，
∴AO=4.
即該圓錐的高為4.
【點(diǎn)評】該題主要考查了圓錐的計(jì)算及其應(yīng)用問題;解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答.
22.為了落實(shí)國家的惠農(nóng)政策，某地政府制定了農(nóng)戶投資購買收割機(jī)的補(bǔ)貼辦法，其中購買Ⅰ、Ⅱ型收割機(jī)所投資的金額與政府補(bǔ)貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系：
Ⅰ型收割機(jī)Ⅱ型收割機(jī)
投資金額x(萬元)x5x24
補(bǔ)貼金額x(萬元)y1=kx2y2=ax2+bx2.43.2
(1)分別求出y1和y2的函數(shù)解析式;
(2)旺叔準(zhǔn)備投資10萬元購買Ⅰ、Ⅱ兩型收割機(jī).請你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得補(bǔ)貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的補(bǔ)貼金額.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用;一次函數(shù)的應(yīng)用.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法直接就可以求出y1與y2的解析式.
(2)設(shè)總補(bǔ)貼金額為W萬元，購買Ⅰ型收割機(jī)a萬元，購買Ⅱ型收割機(jī)(10﹣a)萬元，建立等式就可以求出其值.
【解答】解：(1)設(shè)購買Ⅰ型收割機(jī)補(bǔ)貼的金額的解析式為：y1=kx，購買Ⅱ型收割機(jī)補(bǔ)貼的金額的解析式為y2=ax2+bx，由題意，得
2=5k，或，解得
k=，
，
∴y1的解析式為：y1=x，y2的函數(shù)解析式為：y2=﹣x2+1.6x.
(2)設(shè)總補(bǔ)貼金額為W萬元，購買Ⅰ型收割機(jī)a萬元，則購買Ⅱ型收割機(jī)(10﹣a)萬元，由題意，得
W=a+[﹣(10﹣a)2+1.6(10﹣a)]，
=﹣(a﹣7)2+.
∴當(dāng)a=7時(shí)，W有值萬元，
∴買Ⅰ型收割機(jī)7萬元、Ⅱ兩型收割機(jī)3萬元可以獲得補(bǔ)貼萬元.
【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，拋物線的頂點(diǎn)式的運(yùn)用.在求解析式中，待定系數(shù)法時(shí)常用的方法.二次函數(shù)的一般式化頂點(diǎn)式是求最值的常用方法.
23.如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，且∠BAC=30°，∠APB=60°.
(1)求證：PB是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長.
【考點(diǎn)】切線的判定.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)連接OB，證PB⊥OB.根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，結(jié)合已知條件可得∠OBP=90°得證.
(2)連接OP，根據(jù)切線長定理得直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)求解.
【解答】(1)證明：連接OB.
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°.
∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°.
∵四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴∠OBP=360°﹣90°﹣60°﹣120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，
∴PB是⊙O的切線.
(2)解：連接OP;
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA=.
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2.
(此題解法多樣，請?jiān)u卷老師按解題步驟給分)
【點(diǎn)評】此題考查了切線的判定、切線長定理、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn).要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.
24.如圖，拋物線y=x2+bx﹣c與x軸交A(﹣1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.
(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)M是線段AC上的點(diǎn)(不與A，C重合)，過M作MF∥y軸交拋物線于F，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示MF的長;
(3)在(2)的條件下，連接FA、FC，是否存在m，使△AFC的面積?若存在，求m的值;若不存在，說明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b和c的值即可求出拋物線解析式;再把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入已求出的拋物線解析式可求出其縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線AC的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M又在直線AB上，所以可求出其縱坐標(biāo)，而點(diǎn)F在拋物線上，所以可求出其縱坐標(biāo)，進(jìn)而可用m的代數(shù)式表示MF的長;
(3)存在m，使△AFC的面積，設(shè)直線MF與x軸交于點(diǎn)H，作CE⊥MF于E，由S△AFC=MF(AH+CE)，可得關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出△AFC的值.
【解答】解：(1)把A(﹣1，0)、B(3，0)帶入y=x2+bx﹣c得，
解得：，
∴解析式為：y=x2﹣2x﹣3，
把x=2帶入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，
∴C(2，﹣3)，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，把A(﹣1，0)、C(2，﹣3)帶入得
解得：，
∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣1;
(2)∵點(diǎn)M在直線AC上，
∴M的坐標(biāo)為(m，﹣m﹣1);
∵點(diǎn)F在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，m2﹣2m﹣3)，
∴MF=(﹣m﹣1)﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+m+2;
(3)存在m，使△AFC的面積，理由如下：
設(shè)直線MF與x軸交于點(diǎn)H，作CE⊥MF于E，
S△AFC=MF(AH+CE)=MF(2+1)=MF，
=(﹣m2+m+2)，
=﹣(m﹣)2+≤
∴當(dāng)m=時(shí)，△AFC的面積為.
【點(diǎn)評】本題考查了和二次函數(shù)有關(guān)的綜合性題目，考查的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及圖形面積的解法.(3)的解法較多，也可通過圖形的面積差等方法來列函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)自己的習(xí)慣來選擇熟練的解法.
初三上冊期末數(shù)學(xué)試題及答案相關(guān)文章：
2.九年級第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷分析