三角形內(nèi)心指三個(gè)內(nèi)角的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。這個(gè)點(diǎn)也是這個(gè)三角形內(nèi)切圓的圓心。三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。下面小編給大家?guī)碜C明三角形內(nèi)心判定方法，希望能幫助到大家!

證明三角形內(nèi)心判定方法

在三角形中，三個(gè)內(nèi)角的三條角平分線的相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是這個(gè)三角形內(nèi)切圓的圓心，也叫做三角形的內(nèi)心。三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。

三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱。

作∠B、∠C的角平分線于AC、AB交于F、D

CD與BF交于I，連接AI交BC并延長(zhǎng)至E

由塞瓦定理有：

BF、CD為角平分線

由角平分線定理有：

由角平分線定理的逆定理有AE為∠A的角分線

證明三角形內(nèi)心判定定義

角平分線的一個(gè)性質(zhì)：角平分線分對(duì)邊與該角的兩邊成比例。

在△ABC中，連接BO交AC于E，O是內(nèi)心，所以BE是∠B的角平分線，而且AD過內(nèi)心O(均為內(nèi)心的定義所知)，所以在△ADB中BO是∠B的角平分線， 所以有AB/BD=AO/OD,

同理AO/OD=AC/CD

內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，也是內(nèi)接圓的圓心。

本題用到的定理的證明

△ABC中，AD是∠A的角平分線，D在BC上，abc是角的對(duì)邊ABC，d=AD。由于正弦定理b/sinB=c/sinC d=R1sinB=R2sinC,R1是△ABD的外接圓半 徑，R2是△ACD的外接圓半徑，所以R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=R1sinBAD， CD=R2sinCAD,∠CAD=∠BAD，所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC

證明三角形內(nèi)心判定性質(zhì)

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓為☉I(r)，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2

1、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r

2、∠BIC=90°+∠BAC/2

3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形內(nèi)切圓切BC于D，則S△ABC=BD×CD

4、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心的充要條件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).

5、在△ABC中，內(nèi)心的坐標(biāo)是：

6、(歐拉定理)△ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，外心和內(nèi)心的距離為d，則d?=R^2-2Rr

7、△ABC中：a,b,c分別為三邊，S為三角形面積，則內(nèi)切圓半徑r=2S/(a+b+c)

內(nèi)切圓

8、雙曲線上任一支上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí)軸的射影為對(duì)應(yīng)支的頂點(diǎn)。

9、△ABC中，內(nèi)切圓分別與AB，BC，CA相切于P，Q，R，則AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

10、三角形內(nèi)角平分線定理：△ABC中，I為內(nèi)心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于A'、B'、C',則BA'/CA'=AB/AC,AB'/CB'=BA/BC,AC'/BC'=CA/CB

怎樣證明三角形的內(nèi)心?

內(nèi)心即為角平分線的交點(diǎn)

角平分線有一性質(zhì),即其上各點(diǎn)到兩邊的距離相等,可以用角角邊的知識(shí)解釋

而三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離都是兩兩的相等的,

所以三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.對(duì)銳直鈍三角都適用

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