初二數(shù)學(xué)期中試卷及答案解析
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一、選擇題(共8小題，每小題3分，滿(mǎn)分24分)
1.49的平方根是()
A.7B.±7C.﹣7D.49
考點(diǎn)：平方根.
專(zhuān)題：存在型.
分析：根據(jù)平方根的定義進(jìn)行解答即可.
解答：解：∵(±7)2=49，
∴49的平方根是±7.
故選B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平方根的定義，即如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
2.(﹣3)2的算術(shù)平方根是()
A.3B.±3C.﹣3D.
考點(diǎn)：算術(shù)平方根.
專(zhuān)題：計(jì)算題.
分析：由(﹣3)2=9，而9的算術(shù)平方根為=3.
解答：解：∵(﹣3)2=9，
∴9的算術(shù)平方根為=3.
故選A.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了算術(shù)平方根的定義：一個(gè)正數(shù)a的正的平方根叫這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，記作(a>0)，規(guī)定0的算術(shù)平方根為0.
3.在實(shí)數(shù)﹣，0，﹣π，，1.41中無(wú)理數(shù)有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
考點(diǎn)：無(wú)理數(shù).
分析：根據(jù)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，可得答案.
解答：解：π是無(wú)理數(shù)，
故選：A.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，注意帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù).
4.在數(shù)軸上表示1、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，則點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)為()
A.﹣1B.1﹣C.2﹣D.﹣2
考點(diǎn)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸.
分析：首先根據(jù)已知條件結(jié)合數(shù)軸可以求出線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.
解答：解：∵數(shù)軸上表示1，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，
∴AB=﹣1，
設(shè)B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)為x，
則有=1，
解可得x=2﹣，
即點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為2﹣.
故選C.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根據(jù)數(shù)軸利用數(shù)形結(jié)合的思想求出數(shù)軸兩點(diǎn)之間的距離，同時(shí)也利用了對(duì)稱(chēng)的性質(zhì).
5.用反證法證明命題：“如圖，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，證明的第一個(gè)步驟是()
A.假定CD∥EFB.已知AB∥EF
C.假定CD不平行于EFD.假定AB不平行于EF
考點(diǎn)：反證法.
分析：根據(jù)要證CD∥EF，直接假設(shè)CD不平行于EF即可得出.
解答：解：∵用反證法證明命題：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF.
∴證明的第一步應(yīng)是：從結(jié)論反面出發(fā)，故假設(shè)CD不平行于EF.
故選：C.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反證法的第一步，根據(jù)題意得出命題結(jié)論的反例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
6.如圖，直線(xiàn)l過(guò)等腰直角三角形ABC頂點(diǎn)B，A、C兩點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離分別是2和3，則AB的長(zhǎng)是()
A.5B.C.D.
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形.
專(zhuān)題：計(jì)算題;壓軸題.
分析：由三角形ABC為等腰直角三角形，可得出AB=BC，∠ABC為直角，可得出∠ABD與∠EBC互余，在直角三角形ABD中，由兩銳角互余，利用等角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，及AB=BC，利用AAS可得出三角形ABD與三角形BEC全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BD=CE，由CE=3得出BD=3，在直角三角形ABD中，由AD=2，BD=3，利用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng).
解答：解：如圖所示：
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又AD⊥BD，∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠CBE=∠DAB，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴BD=CE，又CE=3，
∴BD=3，
在Rt△ABD中，AD=2，BD=3，
根據(jù)勾股定理得：AB==.
故選D
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
7.如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是()
A.BC=EC，∠B=∠EB.BC=EC，AC=DCC.BC=DC，∠A=∠DD.∠B=∠E，∠A=∠D
考點(diǎn)：全等三角形的判定.
分析：根據(jù)全等三角形的判定方法分別進(jìn)行判定即可.
解答：解：A、已知AB=DE，再加上條件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS證明△ABC≌△DEC，故此選項(xiàng)不合題意;
B、已知AB=DE，再加上條件BC=EC，AC=DC可利用SSS證明△ABC≌△DEC，故此選項(xiàng)不合題意;
C、已知AB=DE，再加上條件BC=DC，∠A=∠D不能證明△ABC≌△DEC，故此選項(xiàng)符合題意;
D、已知AB=DE，再加上條件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA證明△ABC≌△DEC，故此選項(xiàng)不合題意;
故選：C.
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.
8.如圖，一架長(zhǎng)25米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底部距離墻底端7分米，如果梯子的頂端下滑4分米，那么梯子的底部平滑的距離為()
A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米
考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.
分析：在直角三角形AOC中，已知AC，OC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可求AO的長(zhǎng)度，
解答：解：∵AC=25分米，OC=7分米，
∴AO==24分米，
下滑4分米后得到BO=20分米，
此時(shí)，OD==15分米，
∴CD=15﹣7=8分米.
故選D.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查了勾股定理在直角三角形中的正確運(yùn)用，本題中兩次運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(共6小題，每小題3分，滿(mǎn)分18分)
9.計(jì)算：=﹣2.
考點(diǎn)：立方根.
專(zhuān)題：計(jì)算題.
分析：先變形得=，然后根據(jù)立方根的概念即可得到答案.
解答：解：==﹣2.
故答案為﹣2.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了立方根的概念：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的立方根，記作.
10.計(jì)算：﹣a2b?2ab2=﹣2a3b3.
考點(diǎn)：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式.
分析：根據(jù)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式，計(jì)算即可.
解答：解：﹣a2b?2ab2=﹣2a3b3;
故答案為：﹣2a3b3.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
11.計(jì)算：(a2)3÷(﹣2a2)2=a2.
考點(diǎn)：整式的除法.
分析：根據(jù)冪的乘方和積的乘方進(jìn)行計(jì)算即可.
解答：解：原式=a6÷4a4
=a2，
故答案為a2.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了整式的除法，熟練掌握冪的乘方和積的乘方是解題的關(guān)鍵.
12.如圖是2014～2015學(xué)年度七年級(jí)(1)班學(xué)生參加課外興趣小組人數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖.如果參加外語(yǔ)興趣小組的人數(shù)是12人，那么參加繪畫(huà)興趣小組的人數(shù)是5人.
考點(diǎn)：扇形統(tǒng)計(jì)圖.
專(zhuān)題：計(jì)算題.
分析：根據(jù)參加外語(yǔ)興趣小組的人數(shù)是12人，所占百分比為24%，計(jì)算出總?cè)藬?shù)，再用1減去所有已知百分比，求出繪畫(huà)的百分比，再乘以總?cè)藬?shù)即可解答.
解答：解：∵參加外語(yǔ)小組的人數(shù)是12人，占參加課外興趣小組人數(shù)的24%，
∴參加課外興趣小組人數(shù)的人數(shù)共有：12÷24%=50(人)，
∴繪畫(huà)興趣小組的人數(shù)是50×(1﹣14%﹣36%﹣16%﹣24%)=5(人).
故答案為：5.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，從圖中找到相關(guān)信息是解此類(lèi)題目的關(guān)鍵.
13.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線(xiàn)交AC于E，交BC于D，△ABD的周長(zhǎng)為12，AE=5，則△ABC的周長(zhǎng)為22.
考點(diǎn)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì).
分析：由AC的垂直平分線(xiàn)交AC于E，交BC于D，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到兩組線(xiàn)段相等，進(jìn)行線(xiàn)段的等量代換后結(jié)合其它已知可得答案.
解答：解：∵DE是AC的垂直平分線(xiàn)，
∴AD=DC，AE=EC=5，
△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=12，
即AB+BD+DC=12，AB+BC=12
∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AE+EC=12+5+5=22.
△ABC的周長(zhǎng)為22.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等幾何知識(shí);進(jìn)行線(xiàn)段的等量代換是正確解答本的關(guān)鍵.
14.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°.按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，小于A(yíng)C的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F;②分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)G;③作射線(xiàn)AG交BC邊于點(diǎn)D.則∠ADC的度數(shù)為65°.
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì);直角三角形的性質(zhì);作圖—復(fù)雜作圖.
分析：根據(jù)已知條件中的作圖步驟知，AG是∠CAB的平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)解答即可.
解答：解：解法一：連接EF.
∵點(diǎn)E、F是以點(diǎn)A為圓心，小于A(yíng)C的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與AB、AC的交點(diǎn)，
∴AF=AE;
∴△AEF是等腰三角形;
又∵分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)G;
∴AG是線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)，
∴AG平分∠CAB，
∵∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°;
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°(直角三角形中的兩個(gè)銳角互余);
解法二：根據(jù)已知條件中的作圖步驟知，AG是∠CAB的平分線(xiàn)，∵∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°;
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°(直角三角形中的兩個(gè)銳角互余);
故答案是：65°.
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了作圖﹣﹣復(fù)雜作圖，直角三角形的性質(zhì).根據(jù)作圖過(guò)程推知AG是∠CAB平分線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵.
三、解答題(共9小題，滿(mǎn)分78分)
15.分解因式：3x2y+12xy2+12y3.
考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
分析：原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
解答：解：原式=3y(x2+4xy+4y2)
=3y(x+2y)2.
點(diǎn)評(píng)：此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
16.先化簡(jiǎn)，再求值3a﹣2a2(3a+4)，其中a=﹣2.
考點(diǎn)：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式.
分析：首先根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則去掉括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)，最后代入已知的數(shù)值計(jì)算即可.
解答：解：3a﹣2a2(3a+4)
=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
=﹣20a2+9a，
當(dāng)a=﹣2時(shí)，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了整式的化簡(jiǎn).整式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)，這是各地2015年中考的?？键c(diǎn).
17.已知a2﹣b2=15，且a+b=5，求a﹣b的值.
考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法.
專(zhuān)題：計(jì)算題.
分析：已知第一個(gè)等式左邊利用平方差公式分解，把a(bǔ)+b=5代入求出a﹣b的值即可.
解答：解：由a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=15，a+b=5，
得到a﹣b=3.
點(diǎn)評(píng)：此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.
18.如圖，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且BD=CE.求證：MD=ME.
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
專(zhuān)題：證明題.
分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證∠DBM=∠ECM，可證△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解題.
解答：證明：△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
，
∴△BDM≌△CEM(SAS)，
∴MD=ME.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì).
19.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.
(1)求∠F的度數(shù);
若CD=2，求DF的長(zhǎng).
考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形.
專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題.
分析：(1)根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解;
易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解.
解答：解：(1)∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°;
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等邊三角形.
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，30度的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
20.如圖已知，CE⊥AB，BF⊥AC，BF交CE于點(diǎn)D，且BD=CD.
(1)求證：點(diǎn)D在∠BAC的平分線(xiàn)上;
若將條件“BD=CD”與結(jié)論“點(diǎn)D在∠BAC的平分線(xiàn)上”互換，成立嗎?試說(shuō)明理由.
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).
分析：(1)根據(jù)AAS推出△DEB≌△DFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DE=DF，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)得出即可;
根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)求出DE=DF，根據(jù)ASA推出△DEB≌△DFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可.
解答：(1)證明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△DEB和△DFC中，
，
∴△DEB∽△DFC(AAS)，
∴DE=DF，
∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線(xiàn)上;
解：成立，
理由是：∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線(xiàn)上，CE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=DF，
在△DEB和△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC(ASA)，
∴BD=CD.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△DEB≌△DFC，注意：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，反之亦然.
21.設(shè)中學(xué)生體質(zhì)健康綜合評(píng)定成績(jī)?yōu)閤分，滿(mǎn)分為100分，規(guī)定：85≤x≤100為A級(jí)，75≤x≤85為B級(jí)，60≤x≤75為C級(jí)，x<60為D級(jí).現(xiàn)隨機(jī)抽取福海中學(xué)部分學(xué)生的綜合評(píng)定成績(jī)，整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)在這次調(diào)查中，一共抽取了50名學(xué)生，α=24%;
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中C級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角為72度;
(4)若該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校D級(jí)學(xué)生有多少名?
考點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖;用樣本估計(jì)總體;扇形統(tǒng)計(jì)圖.
專(zhuān)題：圖表型.
分析：(1)根據(jù)B級(jí)的人數(shù)和所占的百分比求出抽取的總?cè)藬?shù)，再用A級(jí)的人數(shù)除以總數(shù)即可求出a;
用抽取的總?cè)藬?shù)減去A、B、D的人數(shù)，求出C級(jí)的人數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;
(3)用360度乘以C級(jí)所占的百分比即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中C級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(4)用D級(jí)所占的百分比乘以該校的總?cè)藬?shù)，即可得出該校D級(jí)的學(xué)生數(shù).
解答：解：(1)在這次調(diào)查中，一共抽取的學(xué)生數(shù)是：=50(人)，
a=×100%=24%;
故答案為：50，24;
等級(jí)為C的人數(shù)是：50﹣12﹣24﹣4=10(人)，
補(bǔ)圖如下：
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中C級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角為×360°=72°;
故答案為：72;
(4)根據(jù)題意得：2000×=160(人)，
答：該校D級(jí)學(xué)生有160人.
點(diǎn)評(píng)：此題考查了是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù);扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小.
22.某號(hào)臺(tái)風(fēng)的中心位于O地，臺(tái)風(fēng)中心以25千米/小時(shí)的速度向西北方向移動(dòng)，在半徑為240千米的范圍內(nèi)將受影響、城市A在O地正西方向與O地相距320千米處，試問(wèn)A市是否會(huì)遭受此臺(tái)風(fēng)的影響?若受影響，將有多少小時(shí)?
考點(diǎn)：二次根式的應(yīng)用;勾股定理.
分析：A市是否受影響，就要看臺(tái)風(fēng)中心與A市距離的最小值，過(guò)A點(diǎn)作ON的垂線(xiàn)，垂足為H，AH即為最小值，與半徑240千米比較，可判斷是否受影響;計(jì)算受影響的時(shí)間，以A為圓心，240千米為半徑畫(huà)弧交直線(xiàn)OH于M、N，則AM=AN=240千米，從點(diǎn)M到點(diǎn)N為受影響的階段，根據(jù)勾股定理求MH，根據(jù)MN=2MH計(jì)算路程，利用：時(shí)間=路程÷速度，求受影響的時(shí)間.
解答：解：如圖，OA=320，∠AON=45°，
過(guò)A點(diǎn)作ON的垂線(xiàn)，垂足為H，以A為圓心，240為半徑畫(huà)弧交直線(xiàn)OH于M、N，
在Rt△OAH中，AH=OAsin45°=160<240，故A市會(huì)受影響，
在Rt△AHM中，MH===80
∴MN=160，受影響的時(shí)間為：160÷25=6.4小時(shí).
答：A市受影響，受影響時(shí)間為6.4小時(shí).
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式在解決實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，根據(jù)題意，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理計(jì)算，是解題的關(guān)鍵.
23.感知：如圖①，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊BC上，BF⊥AE于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，可知△ADG≌△BAF.(不要求證明)
拓展：如圖②，點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E、F在∠MAN內(nèi)部的射線(xiàn)AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求證：△ABE≌△CAF.
應(yīng)用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB>BC.點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線(xiàn)段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為9，則△ABE與△CDF的面積之和為6.
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);正方形的性質(zhì).
專(zhuān)題：壓軸題.
分析：拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性質(zhì)得出∠4=∠ABE，進(jìn)而利用AAS證明△ABE≌△CAF;
應(yīng)用：首先根據(jù)△ABD與△ADC等高，底邊比值為：1：2，得出△ABD與△ADC面積比為：1：2，再證明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE與△CDF的面積之和為△ADC的面積得出答案即可.
解答：拓展：
證明：∵∠1=∠2，
∴∠BEA=∠AFC，
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3，
∴∠4=∠ABE，
∴，
∴△ABE≌△CAF(AAS).
應(yīng)用：
解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，
∴△ABD與△ADC等高，底邊比值為：1：2，
∴△ABD與△ADC面積比為：1：2，
∵△ABC的面積為9，
∴△ABD與△ADC面積分別為：3，6;
∵∠1=∠2，
∴∠BEA=∠AFC，
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3，
∴∠4=∠ABE，
∴，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴△ABE與△CAF面積相等，
∴△ABE與△CDF的面積之和為△ADC的面積，
∴△ABE與△CDF的面積之和為6，
故答案為：6.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)以及三角形面積求法，根據(jù)已知得出∠4=∠ABE，以及△ABD與△ADC面積比為：1：2是解題關(guān)鍵.
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