吉布斯現(xiàn)象產(chǎn)生的原因
吉布斯現(xiàn)象產(chǎn)生的原因
吉布斯現(xiàn)象是數(shù)字濾波器由于截?cái)嘟萍邦l譜突跳產(chǎn)生的,它對濾波結(jié)果有很大影響,甚至使頻率發(fā)生畸變。下面就由學(xué)習(xí)啦小編告訴大家吉布斯現(xiàn)象產(chǎn)生的原因吧!
吉布斯現(xiàn)象產(chǎn)生的原因
我們在“深入淺出的學(xué)習(xí)傅里葉變換”時(shí)曾了解到，數(shù)學(xué)界有過一場“正弦曲線能否組合成一個(gè)帶有棱角的信號”的偉大爭議，而這場爭議的男主角自然就是傅里葉和拉格朗日了。當(dāng)然兩位男主角都沒有錯(cuò)，劇情也告一段落。
直到1898年，美國阿爾伯特·米切爾森做了一個(gè)諧波分析儀， 當(dāng)他測試方波時(shí)驚訝的發(fā)現(xiàn)方波的XN(t)在不連續(xù)點(diǎn)附近部分呈現(xiàn)起伏，這個(gè)起伏的峰值大小似乎不隨N增大而下降!于是他寫信給當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉 布斯，吉布斯檢查了這一項(xiàng)結(jié)果，隨機(jī)發(fā)表了他的看法：隨著N增加，部分起伏就向不連續(xù)點(diǎn)壓縮，但是對任何有限的N值，起伏的峰值大小保持不變，這就是吉布斯現(xiàn)象。
吉布斯現(xiàn)象的解釋
吉布斯現(xiàn)象的含義是：一個(gè)不連續(xù)信號X(t) 的傅里葉級數(shù)的截?cái)嘟芚N(t)，一般來說，在接近不連續(xù)點(diǎn)處將呈現(xiàn)高頻起伏和超量，而且，若在實(shí)際情況下利用這樣一個(gè)近似式的話，就應(yīng)該選擇足夠大的 N，以保證這些起伏擁有的總能量可以忽略。當(dāng)然，在極限情況下，近似誤差的能量是零，而且一個(gè)不連續(xù)的信號(如方波)的傅里葉級數(shù)表示是收斂的。
出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象其實(shí)是由于傅里葉變換本身有很多成熟的快速算法(如FFT)，而且性能接近最佳，但它由于圖像數(shù)據(jù)的二維傅里葉變換實(shí) 質(zhì)上是一個(gè)二維圖像的傅里葉展開式，當(dāng)然這個(gè)二維圖像被認(rèn)為是周期性的。由于子圖像的變換系數(shù)在邊界上不連續(xù)，而將造成的復(fù)原子圖像也在其邊界上不連續(xù)。 于是由復(fù)原子圖像構(gòu)成的整幅復(fù)原圖像將呈現(xiàn)隱約可見的以子圖像尺寸為單位的方塊狀結(jié)構(gòu)，影響整個(gè)圖像質(zhì)量。這就是為什么傅里葉變換在分析方波時(shí)在其不連續(xù) 點(diǎn)上出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象的原因了。
吉布斯現(xiàn)象的解決方法
解決吉布斯現(xiàn)象的方法是后來研究出來的離散余弦變換(DCT)，即在傅里葉級數(shù)展開式中，如果被展開的函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，那么其傅里葉級數(shù)中只包含余弦項(xiàng)，再將其離散化可導(dǎo)出余弦變換。
基本思路為：將一個(gè)對稱的2N*2N像素的子圖像代替原來N*N子圖像。由于對稱性，子圖像做二維傅里葉變換，其變換系數(shù)將只剩下實(shí)數(shù)的余弦項(xiàng)。這樣就可以消除吉布斯現(xiàn)象了。
吉布斯效應(yīng)的定義
吉布斯函數(shù)(Gibbsfunction)，系統(tǒng)的熱力學(xué)函數(shù)之一。又稱熱力勢、自由焓、吉布斯自由能等。符號G，定義為： ，式中H、T、S分別為系統(tǒng)的焓、熱力學(xué)溫度(開爾文溫度K)和熵。吉布斯函數(shù)是系統(tǒng)的廣延性質(zhì)，具有能量的量綱。由于H，T，S都是狀態(tài)函數(shù)，因而G也必然是一個(gè)狀態(tài)函數(shù)。
吉布斯效應(yīng)的應(yīng)用
概述
當(dāng)體系發(fā)生變化時(shí)，G也隨之變化。其改變值△G，稱為體系的吉布斯自由能變，只取決于變化的始態(tài)與終態(tài)，而與變化的途徑無關(guān)：△G=G終一G始 按照吉布斯自由能的定義，可以推出當(dāng)體系從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時(shí)，體系的吉布斯自由能變?yōu)椋骸鱃=G2一Gl=△H一△(TS) 對于等溫條件下的反應(yīng)而言，有T2=T1=T 則 △G=△H一T △S 上式稱為吉布斯一赫姆霍茲公式(亦稱吉布斯等溫方程)。由此可以看出，△G包含了△H和△S的因素，若用△G作為自發(fā)反應(yīng)方向的判據(jù)時(shí)，實(shí)質(zhì)包含了△H和△S兩方面的影響，即同時(shí)考慮到推動(dòng)化學(xué)反應(yīng)的兩個(gè)主要因素。因而用△G作判據(jù)更為全面可靠。而且只要是在等溫、等壓條件下發(fā)生的反應(yīng)，都可用△G作為反應(yīng)方向性的判據(jù)，而大部分化學(xué)反應(yīng)都可歸人到這一范疇中，因而用△G作為判別化學(xué)反應(yīng)方向性的判據(jù)是很方便可行的。[1]
作為判據(jù)應(yīng)用
化學(xué)反應(yīng)自發(fā)性判斷： 考慮ΔH和ΔS兩個(gè)因素的影響，可分為以下四種情況 1)ΔH<0,ΔS>0;ΔG<0正向自發(fā) 2)ΔH>0,ΔS<0;ΔG>0正向非自發(fā) 3)ΔH>0,ΔS>0;升溫至某溫度時(shí)，ΔG由正值變?yōu)樨?fù)值，高溫有利于正向自發(fā) 4)ΔH<0,ΔS<0;降溫至某溫度時(shí)，ΔG由正值變?yōu)樨?fù)值，低溫有利于正向自發(fā)
吉布斯馬爾可夫隨機(jī)場
到目前為止，還沒有哪一種方法能夠有效地分析、檢測SAR圖像中所有的結(jié)構(gòu)特征，并進(jìn)行合理的重構(gòu)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算負(fù)擔(dān)不再是障礙。馬爾可夫隨機(jī)場由于能夠有效地表征圖像數(shù)據(jù)的空間相關(guān)性，并且有優(yōu)化算法的支持，在SAR圖像處理中起著越來越重要的作用。 兩維矩形點(diǎn)陣上的隨機(jī)場X若滿足：
且P(X=x)>0，則稱X是以η為鄰域系統(tǒng)的馬爾可夫隨機(jī)場(MRF)。這里x,xij分別表示隨機(jī)場和隨機(jī)變量的1個(gè)實(shí)現(xiàn)，ηij是點(diǎn)(i,j)的鄰域系統(tǒng)。 隨機(jī)場的局部特征很難表達(dá)，實(shí)用中總是采用聯(lián)合概率分布。若MRF的聯(lián)合概率用高斯分布表示，稱為高斯馬爾可夫隨機(jī)場(Gauss-MRF);若采用吉布斯分布表示，稱為吉布斯馬爾可夫隨機(jī)場
式中，T表示溫度，U稱為能量函數(shù);Z是歸一化因子，稱為分割函數(shù)。吉布斯馬爾可夫隨機(jī)場(Gibbs-MRF) Gibbs-MRF主要用于圖像復(fù)原算法中，一般都和優(yōu)化的參數(shù)估計(jì)方法模擬退火相聯(lián)系。 根據(jù)能量函數(shù)的具體形式，SAR圖像處理中有3種模型，第一種是：
參數(shù)λ表征了模型描述圖像結(jié)構(gòu)特征尖銳平滑程度的能力。
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