2017年衡陽中考數(shù)學練習試題及答案(2)
【點評】本題是圓的綜合題目,考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、相交弦定理、三角函數(shù)、三角形面積的計算等知識;本題難度較大,綜合性強,特別是③中,需要運用三角形相似、勾股定理、相交弦定理、圓周角定理才能得出結(jié)果.
18.,在4×4的正方形方格圖形中,小正方形的頂點稱為格點,△ABC的頂點都在格點上,則圖中∠ABC的余弦值是( )
A.2 B. C. D.
【考點】KQ:勾股定理;KS:勾股定理的逆定理;T1:銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀,再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵由圖可知,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AB2=32+42=25,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴cos∠ABC= = .
故選D.
【點評】本題考查的是勾股定理,熟知在任何一個直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.
19.函數(shù)y=k(x﹣k)與y=kx2,y= (k≠0),在同一坐標系上的圖象正確的是( )
A. B. C. D.
【考點】H2:二次函數(shù)的圖象;F3:一次函數(shù)的圖象;G2:反比例函數(shù)的圖象.
【分析】將一次函數(shù)解析式展開,可得出該函數(shù)圖象與y軸交于負半軸,分析四個選項可知,只有C選項符合,由此即可得出結(jié)論.
【解答】解:一次函數(shù)y=k(x﹣k)=kx﹣k2,
∵k≠0,
∴﹣k2<0,
∴一次函數(shù)與y軸的交點在y軸負半軸.
A、一次函數(shù)圖象與y軸交點在y軸正半軸,A不正確;
B、一次函數(shù)圖象與y軸交點在y軸正半軸,B不正確;
C、一次函數(shù)圖象與y軸交點在y軸負半軸,C可以;
D、一次函數(shù)圖象與y軸交點在y軸正半軸,D不正確.
故選C.
【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象,解題的關(guān)鍵是分析一次函數(shù)圖象與y軸的交點.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題時,由一次函數(shù)與y軸的交點即可排除了A、B、D三個選項,因此只需分析一次函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.
20.,在平面直角坐標系中,將△ABO繞點A順指針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置,點B、O分別落在點B1、C1處,點B1在x軸上,再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置,點C2在x軸上,將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置,點A2在x軸上,依次進行下去…,若點A( ,0),B(0,4),則點B2016的橫坐標為( )
A.5 B.12 C.10070 D.10080
【考點】R7:坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn).
【分析】由圖象可知點B2016在第一象限,求出B2,B4,B6的坐標,探究規(guī)律后即可解決問題.
【解答】解:由圖象可知點B2016在第一象限,
∵OA= ,OB=4,∠AOB=90°,
∴AB= = = ,
∴B2(10,4),B4(20,4),B6(30,4),…
∴B2016(10080,4).
∴點B2016縱坐標為10080.
故選D.
【點評】本題考查坐標與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是從特殊到一般探究規(guī)律,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,利用規(guī)律解決問題,屬于中考??碱}型.
二、填空題:本大題共4小題,滿分12分,只要求填寫最后結(jié)果,每小題填對得3分.
21.分解因式:x3﹣2x2+x= x(x﹣1)2 .
【考點】55:提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】首先提取公因式x,進而利用完全平方公式分解因式即可.
【解答】解:x3﹣2x2+x=x(x2﹣2x+1)=x(x﹣1)2.
故答案為:x(x﹣1)2.
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.
22.,AB是⊙O的直徑,且經(jīng)過弦CD的中點H,過CD延長線上一點E作⊙O的切線,切點為F.若∠ACF=65°,則∠E= 50° .
【考點】MC:切線的性質(zhì).
【分析】連接DF,連接AF交CE于G,由AB是⊙O的直徑,且經(jīng)過弦CD的中點H,得到 ,由于EF是⊙O的切線,推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根據(jù)外角的性質(zhì)和圓周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°,于是得到結(jié)果.
【解答】解:連接DF,連接AF交CE于G,
∵AB是⊙O的直徑,且經(jīng)過弦CD的中點H,
∴ ,
∵EF是⊙O的切線,
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°,
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA,
∵∠DFE=∠DCF,
∠GFD=∠AFC,
∠EFG=∠EGF=65°,
∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°,
故答案為:50°.
方法二:
連接OF,易知OF⊥EF,OH⊥EH,故E,F(xiàn),O,H四點共圓,又∠AOF=2∠ACF=130°,故∠E=180°﹣130°=50°
【點評】本題考查了切線的性質(zhì),圓周角定理,垂徑定理,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
23.,已知點A、C在反比例函數(shù)y= 的圖象上,點B,D在反比例函數(shù)y= 的圖象上,a>b>0,AB∥CD∥x軸,AB,CD在x軸的兩側(cè),AB= ,CD= ,AB與CD間的距離為6,則a﹣b的值是 3 .
【考點】G4:反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】設(shè)點A、B的縱坐標為y1,點C、D的縱坐標為y2,分別表示出來A、B、C、D四點的坐標,根據(jù)線段AB、CD的長度結(jié)合AB與CD間的距離,即可得出y1、y2的值,再由點A、B的橫坐標結(jié)合AB= 即可求出a﹣b的值.
【解答】解:設(shè)點A、B的縱坐標為y1,點C、D的縱坐標為y2,
則點A( ,y1),點B( ,y1),點C( ,y2),點D( ,y2).
∵AB= ,CD= ,
∴2×| |=| |,
∴|y1|=2|y2|.
∵|y1|+|y2|=6,
∴y1=4,y2=﹣2.
∴AB= ﹣ = = ,
∴a﹣b=3.
故答案為:3.
【點評】本題考查了兩點間的距離、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及反比例函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是利用兩點間的距離公式找出AB= .
24.,在矩形ABCD中,M、N分別是邊AD、BC的中點,E、F分別是線段BM、CM的中點.若AB=8,AD=12,則四邊形ENFM的周長為 20 .
【考點】KX:三角形中位線定理;KQ:勾股定理;LB:矩形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)M是邊AD的中點,得AM=DM=6,根據(jù)勾股定理得出BM=CM=10,再根據(jù)E、F分別是線段BM、CM的中點,即可得出EM=FM=5,再根據(jù)N是邊BC的中點,得出EM=FN,EN=FM,從而得出四邊形EN,F(xiàn)M的周長.
【解答】解:∵M、N分別是邊AD、BC的中點,AB=8,AD=12,
∴AM=DM=6,
∵四邊形ABCD為矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∴BM=CM=10,
∵E、F分別是線段BM、CM的中點,
∴EM=FM=5,
∴EN,F(xiàn)N都是△BCM的中位線,
∴EN=FN=5,
∴四邊形ENFM的周長為5+5+5+5=20,
故答案為20.
【點評】本題考查了三角形的中位線,勾股定理以及矩形的性質(zhì),是中考常見的題型,難度不大,比較容易理解.
三、解答題:本大題共5小題,滿分48分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程演算步驟.
25.,在平面直角坐標系中,直線AB與x軸交于點B,與y軸交于點A,與反比例函數(shù)y= 的圖象在第二象限交于點C,CE⊥x軸,垂足為點E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點D是反比例函數(shù)圖象在第四象限上的點,過點D作DF⊥y軸,垂足為點F,連接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO,求點D的坐標.
【考點】G8:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題;G5:反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;G6:反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】(1)由邊的關(guān)系可得出BE=6,通過解直角三角形可得出CE=3,結(jié)合函數(shù)圖象即可得出點C的坐標,再根據(jù)點C的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,即可求出反比例函數(shù)系數(shù)m,由此即可得出結(jié)論;
(2)由點D在反比例函數(shù)在第四象限的圖象上,設(shè)出點D的坐標為(n,﹣ )(n>0).通過解直角三角形求出線段OA的長度,再利用三角形的面積公式利用含n的代數(shù)式表示出S△BAF,根據(jù)點D在反比例函數(shù)圖形上利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出S△DFO的值,結(jié)合題意給出的兩三角形的面積間的關(guān)系即可得出關(guān)于n的分式方程,解方程,即可得出n值,從而得出點D的坐標.
【解答】解:(1)∵OB=4,OE=2,
∴BE=OB+OE=6.
∵CE⊥x軸,
∴∠CEB=90°.
在Rt△BEC中,∠CEB=90°,BE=6,tan∠ABO= ,
∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3,
結(jié)合函數(shù)圖象可知點C的坐標為(﹣2,3).
∵點C在反比例函數(shù)y= 的圖象上,
∴m=﹣2×3=﹣6,
∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣ .
(2)∵點D在反比例函數(shù)y=﹣ 第四象限的圖象上,
∴設(shè)點D的坐標為(n,﹣ )(n>0).
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OB=4,tan∠ABO= ,
∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2.
∵S△BAF= AF•OB= (OA+OF)•OB= (2+ )×4=4+ .
∵點D在反比例函數(shù)y=﹣ 第四象限的圖象上,
∴S△DFO= ×|﹣6|=3.
∵S△BAF=4S△DFO,
∴4+ =4×3,
解得:n= ,
經(jīng)驗證,n= 是分式方程4+ =4×3的解,
∴點D的坐標為( ,﹣4).
【點評】本題考查了解直角三角形、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積公式以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,解題的關(guān)鍵是:(1)求出點C的坐標;(2)根據(jù)三角形的面積間的關(guān)系找出關(guān)于n的分式方程.本題屬于中檔題,難度不大,但較繁瑣,解決該題型題目時,找出點的坐標,再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出反比例函數(shù)系數(shù)是關(guān)鍵.
26.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)1,若點D關(guān)于直線AE的對稱點為F,求證:△ADF∽△ABC;
(2)2,在(1)的條件下,若α=45°,求證:DE2=BD2+CE2;
(3)3,若α=45°,點E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由.
【考點】SO:相似形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠EAF=∠DAE,AD=AF,再求出∠BAC=∠DAF,然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例,夾角相等兩三角形相似證明;
(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=BD,全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可;
(3)作點D關(guān)于AE的對稱點F,連接EF、CF,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=BD,全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可.
【解答】證明:(1)∵點D關(guān)于直線AE的對稱點為F,
∴∠EAF=∠DAE,AD=AF,
又∵∠BAC=2∠DAE,
∴∠BAC=∠DAF,
∵AB=AC,
∴ = ,
∴△ADF∽△ABC;
(2)∵點D關(guān)于直線AE的對稱點為F,
∴EF=DE,AF=AD,
∵α=45°,
∴∠BAD=90°﹣∠CAD,
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中, ,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,
所以,DE2=BD2+CE2;
(3)DE2=BD2+CE2還能成立.
理由如下:作點D關(guān)于AE的對稱點F,連接EF、CF,
由軸對稱的性質(zhì)得,EF=DE,AF=AD,
∵α=45°,
∴∠BAD=90°﹣∠CAD,
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中, ,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
∴∠ECF=180°﹣∠BCF=180°﹣90°=90°,
在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,
所以,DE2=BD2+CE2.
【點評】本題是相似形綜合題,主要利用了軸對稱的性質(zhì),相似三角形的判定,同角的余角相等的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,此類題目,小題間的思路相同是解題的關(guān)鍵.
27.某服裝點用6000購進A,B兩種新式服裝,按標價售出后可獲得毛利潤3800元(毛利潤=售價﹣進價),這兩種服裝的進價,標價如表所示.
類型
價格 A型 B型
進價(元/件) 60 100
標價(元/件) 100 160
(1)求這兩種服裝各購進的件數(shù);
(2)如果A種服裝按標價的8折出售,B種服裝按標價的7折出售,那么這批服裝全部售完后,服裝店比按標價出售少收入多少元?
【考點】9A:二元一次方程組的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)A種服裝購進x件,B種服裝購進y件,由總價=單價×數(shù)量,利潤=售價﹣進價建立方程組求出其解即可;
(2)分別求出打折后的價格,再根據(jù)少收入的利潤=總利潤﹣打折后A種服裝的利潤﹣打折后B中服裝的利潤,求出其解即可.
【解答】解:(1)設(shè)A種服裝購進x件,B種服裝購進y件,由題意,得
,
解得: .
答:A種服裝購進50件,B種服裝購進30件;
(2)由題意,得:
3800﹣50(100×0.8﹣60)﹣30(160×0.7﹣100)
=3800﹣1000﹣360
=2440(元).
答:服裝店比按標價售出少收入2440元.
【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用,關(guān)鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關(guān)系,列出方程組.
28.(10分)(2017•寧陽縣二模),已知菱形ABCD的邊長為2,∠ADC=60°,等邊三角形△AEF兩邊分別交邊DC,CB于點E,F(xiàn).
(1)求證:△ADE≌△ACF;
(2)2所示,若點E,F(xiàn)始終分別在邊DC,CB上移動,記等邊△AEF面積為S,則S是否存在最小值?若存在,值為多少;若不存在,請說明理由;
(3)若S存在最小值,對角線AC上是否存在點P,使△PDE的周長最小?若存在,請求出這個最小值;若不存在,請說明理由.
【考點】LO:四邊形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷△ADC為等邊三角形,則AD=AC,再根據(jù)邊三角形的性質(zhì)得∠EAF=60°,AE=AF,易得∠DAE=∠CAF,然后根據(jù)“SAS”可證明△ADE≌△ACF;
(2)設(shè)DE=x,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DH= x,EH= x,則AH=AD﹣DH=2﹣ x,再在Rt△AEH中根據(jù)勾股定理計算出AE2=x2﹣2x+4,然后根據(jù)等邊三角形的面積公式得到S= (x2﹣2x+4),再利用配方得到S= (x﹣1)2+ ,然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可得到當x=1時,S有最小值 ;
(3)③,作EQ⊥BC于Q,連接BE交AC于P,連接PD,由菱形的性質(zhì)得AC垂直平分BD,則PD=PB,所以PE+PD=PE+PB=BE,根據(jù)兩點之間線段最短得到此時△PDE的周長最小,在Rt△CQE中,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CQ= ,QE= ,然后在Rt△BEQ中,根據(jù)勾股定理可計算出BE= ,于是得到此時△PDE的周長為1+ ,即△PDE的周長最小值為1+ .
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形,
∴DC=DA,
∵∠ADC=60°,
∴△ADC為等邊三角形,
∴AD=AC,
∵△AEF為等邊三角形,
∴∠EAF=60°,AE=AF,
∵∠DAE+∠EAC=60°,∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠DAE=∠CAF,
在△ADE和△ACF中,
,
∴△ADE≌△ACF(ASA);
(2)解:存在.
設(shè)DE=x,
在Rt△DEH中,∵∠D=60°,
∴∠DHE=30°,
∴DH= x,EH= x,
∴AH=AD﹣DH=2﹣ x,
在Rt△AEH中,AE2=AH2+EH2=(2﹣ x)2+( x)2=x2﹣2x+4,
∴S= AE2= (x2﹣2x+4)= (x﹣1)2+ ,
∴當x=1時,S有最小值,最小值為 ;
(3),作EQ⊥BC于Q,連接BE交AC于P,連接PD,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AC垂直平分BD,
∴PD=PB,
∴PE+PD=PE+PB=BE,
∴此時△PDE的周長最小,
∵DE=1,
∴EC=1,
∵∠BCE=120°,
∴∠QCE=60°,
在Rt△CQE中,CQ= CE= ,QE= CQ= ,
∴BQ=BC+CQ=2+ = ,
在Rt△BEQ中,BE= = ,
∴此時△PDE的周長=DE+PE+PD=DE+BE=1+ .
【點評】本題考查了四邊形的綜合題:熟練掌握菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)和非負數(shù)的性質(zhì);會運用配方法解決代數(shù)式的最值問題;利用對稱解決最小距離之和的問題;會應(yīng)用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理進行幾何計算.
29.(12分)(2016•德州)已知,m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數(shù)根,且|m|<|n|,拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(m,0),B(0,n),所示.
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為C,拋物線的頂點為D,試求出點C,D的坐標,并判斷△BCD的形狀;
(3)點P是直線BC上的一個動點(點P不與點B和點C重合),過點P作x軸的垂線,交拋物線于點M,點Q在直線BC上,距離點P為 個單位長度,設(shè)點P的橫坐標為t,△PMQ的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)先解一元二次方程,然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;
(2)先解方程求出拋物線與x軸的交點,再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形,從而得到結(jié)論;
(3)先求出QF=1,再分兩種情況,當點P在點M上方和下方,分別計算即可.
【解答】解(1)∵x2+4x+3=0,
∴x1=﹣1,x2=﹣3,
∵m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數(shù)根,且|m|<|n|,
∴m=﹣1,n=﹣3,
∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(m,0),B(0,n),
∴ ,
∴ ,
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3,
(2)令y=0,則x2﹣2x﹣3=0,
∴x1=﹣1,x2=3,
∴C(3,0),
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴頂點坐標D(1,﹣4),
過點D作DE⊥y軸,
∵OB=OC=3,
∴BE=DE=1,
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠DBE=45°,
∴∠CBD=90°,
∴△BCD是直角三角形;
(3),
∵B(0,﹣3),C(3,0),
∴直線BC解析式為y=x﹣3,
∵點P的橫坐標為t,PM⊥x軸,
∴點M的橫坐標為t,
∵點P在直線BC上,點M在拋物線上,
∴P(t,t﹣3),M(t,t2﹣2t﹣3),
過點Q作QF⊥PM,
∴△PQF是等腰直角三角形,
∵PQ= ,
∴QF=1,
當點P在點M上方時,即0
PM=t﹣3﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,
∴S= PM×QF= (﹣t2﹣3t)=﹣ t2+ t,
3,當點P在點M下方時,即t<0或t>3時,
PM=t2﹣2t﹣3﹣(t﹣3),
∴S= PM×QF= (t2﹣3t)= t2﹣ t
【點評】此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了一元二次方程的解法,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,等腰直角三角形的性質(zhì)和判定,解本題的關(guān)鍵是判定△BCD是直角三角形.
猜你喜歡: