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　　金融的碩士論文篇1

　　淺談多種利率的收支問題

　　摘要：實際的金融市場中存在多種不同期限的利率。在定義最大累積函數(shù)的基礎上建立了一個稱為“收支問題”的線性規(guī)劃模型，這個模型的最優(yōu)值刻畫了合理安排保費資金的投資期限所能夠達到的最大保險支付水平，從而給出了多利率條件下壽險費率的計算依據(jù)。使用局部優(yōu)化方法證明了收支問題最優(yōu)解的兩個性質(zhì)，這些性質(zhì)說明在滿足保險支出的條件下，保險收入資金應該優(yōu)先考慮期限較長(即利率較大)的投資。對于典型的壽險產(chǎn)品模型，給出了最優(yōu)解的結構，針對兩個具體實例列出了計算結果。結果表明，在保險費率的計算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一個綜合水平。

　　關鍵字 多種利率;最大累積函數(shù);線性優(yōu)化;收支問題;壽險定價

　　1、引言

　　與隨機利率下的大量研究相比，關于利率期限結構的影響在文獻中卻很少涉及，當市場利率水平較高的時候，這種影響并不明顯。以中國為例，從上世紀八十年代末到九十年代中期一直處于高利率的環(huán)境之中，其中一年期的存款基準利率最高的時候曾經(jīng)達到11.34%，在大部分的時間內(nèi)都高于當時壽險業(yè)8.8%的預定利率，所以當壽險準備金采用一年期利率投資生息時，并不會影響未來的保險償付能力，這時候就不會去關注利率期限結構的影響。但是自從1996年以來，由于宏觀經(jīng)濟形勢發(fā)生了很大的變化，人民銀行持續(xù)地下調(diào)基準利率，一年期存款利率最低的時候達到了1.98%，導致保險監(jiān)管部門將預定利率調(diào)低到了2.5%。由于新的預定利率與原來8.8%的水平有較大的差距，所以一度對壽險業(yè)務的發(fā)展產(chǎn)生了較大的影響，同時當一年期利率低于預定利率時，壽險公司原有的資金運用方法有可能會產(chǎn)生巨大的利差損失?？紤]到一般情況下長期的利率要高于一年期的短期利率，因此就提出了一個問題：我們是否可以通過對壽險資金的投資期限進行合理安排以提高保險金的支付能力，或者說提高壽險公司的盈利能力?最大能夠達到多少?

　　最優(yōu)解中時間 的保險收入優(yōu)先支付時間 的保險金支出，那么多余的收入是如何支付不足的支出?下面先來考慮一種特殊的情況。存在最優(yōu)解 ，對于它的任意兩個基變量 和 ，如果 ，則有 。

　　最近時刻的收入優(yōu)先支付最遠時刻的支出。時間 的收入首先支付時間 的支出，如果有盈余，則支付時間 的支出，如果有虧缺，則虧缺部分由時間 的收入來支出;最后時間 的收入支付 時刻的支出，如果有盈余，則支付 時刻的支出，如果有虧缺，則虧缺部分由 時刻的收入來支出。準確地說，最優(yōu)解的基變量是， 取遍從 到 的每一個值， 取遍從 到 的每一個值。

　　我們能夠清楚地描述IOP最優(yōu)解的結構，即下列推論：

　　系3.1 存在最優(yōu)解是的基變量，并且有：

　　(1) 取遍從 到 的每一個值， 取遍從 到 的每一個值;

　　(2) 取遍從 到 中的每一個值， 取遍從 到 的每一個值。

　　最優(yōu)解的結構可以這樣來描述： 時刻的收入優(yōu)先支付 時刻的支出，最近時刻多余的收入優(yōu)先支付最遠時刻不足的支出。因而我們可以利用二分搜索法來計算最優(yōu)值而無需求解線性規(guī)劃問題。

　　2、多利率下的壽險定價

　　現(xiàn)在我們來考慮一般情況下的壽險定價模型。假設有一大群相同的保單，時刻 表示保單簽發(fā)的時間， 為保單的終止時間。保險人在時間 的期望保險費收入為，當保險金額等于一個單位時，保險人按照保險合同在時間 所要支付的期望保險金為。為簡單起見，在本文中不考慮附加保險費用。按照收支相等的原則，可以假設保險支出的資金全部來源于保費的收入及其投資利息，我們考慮下列線性規(guī)劃問題：變量 表示在時間 的保險收入中將用于支付時間 的保險金支出的數(shù)量，由于時間 收入的資金數(shù) 在 時刻所能得到的最大本利和是 ，所以上述問題準確地刻畫了通過合理配置保險收入(由 表示))的投資期限(由 表示)能夠使保險金支出水平(用 表示)達到最大。而這個線性規(guī)劃問題的最優(yōu)值，則給出了多利率條件下保險費率的計算依據(jù)。在我們的定義中， 與被保險人繳納保費的方式有關， 與壽險產(chǎn)品的設計有關。當這兩個函數(shù)確定后，影響精算定價的就是。

　　3、應用分析

　　第一個例子是終身生存年金，保費繳付方式是年繳(等額)，年金支付形式是每年領取(等額)，并且有十年固定年金。每人都投保上述終身生存年金，共繳付 年。如果用時間1表示第一次繳費的時間(歲)，那么在歲時生存者人在時間 所繳付的保險費為。由于 一般不是 的倍數(shù)，所以我們將初始時間前移 ，從 歲開始，生存者每年領取生存年金(具有十年固定年金)，那么當年金金額為1個單位時期望的年金支出為： 上式中 表示的是生命表中的極限年齡。

　　我們稱其最優(yōu)值為最大年金。由于生存人數(shù)隨著年齡增加而減少，下面是利用二分搜索法計算的年繳純保費100個單位的最大年金表。

　　通過計算我們發(fā)現(xiàn)上述結果基本上與以最大期限的利率(本例中是5%)作為單一預定利率所計算出來的相同。原因是保險期比較長。因此在生存年金的費率計算中，最大期限的利率起到了主要的作用，也就是說，資金的運用應該以利率最高的長期投資為主。

　　第二個例子是定期人壽保險，保費繳付方式也是年繳(等額)，保險金即刻賠付。為了簡單起見，我們假設保險期 是 的倍數(shù)，保險資金在一年之內(nèi)是不計利息的(即最小計息期限是一年)。設年齡為 歲者 人，每人都投保 年期人壽保險，每年年初繳付保險費為 ，那么在時間 的期望保險費收入，當保險金額為1個單位時，期望的保險金支出則為

　　我們稱之為最大保險金額，下面是利用二分搜索法計算的年繳純保費1個單位時的最大保險金額表。與第一個例子有區(qū)別的是，由于有一定的變化，因此最大保險金額小于單一年預定利率5%所計算出來的結果，但是隨著保險期的增大，其差距越來越小。當保險期在10年以上時，兩者相差不大，這時候的情況基本上與終身生存年金一樣，在費率計算中起主要作用的是最大期限的利率。而當保險期為5年時，由于變化不大，正如上一節(jié)末所提到的，費率計算的結果與利率的大小關系不大。10年保險期的情況則介于兩者之間，不同期限的利率均起到了一定的作用。

　　4、結語

　　在本文中，我們應用線性優(yōu)化的方法解決了在多利率條件下壽險費率的定價問題。命題3.1和3.2表明了這么一個事實，如果長期利率高于短期利率，那么保險收入資金的運用在滿足保險支出的情況下應該優(yōu)先考慮期限較大(也就是利率較大)的投資，因而在保險費率的計算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一個綜合水平。這個結果也就意味著，在壽險資金的運用中，應該考慮以長期投資為主，這為預定利率的確立提供了可靠的理論基礎。

　　參考文獻

　　[1]王波. 多種利率條件下壽險費率的測算[J]. 上海, 上海保險，2002,197(3)：17,28.

　　[2]王波. 線性規(guī)劃在壽險精算中的應用[J]. 北京, 數(shù)學的實踐與認識，2006,36(11)：48-53

　　[3] Kellison,G.S. The Theory of Interest, 3nd edn[M]. Irwin/McGraw-Hill, 2009：2-41

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