中學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)論文參考(2)
中學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)論文參考篇2
淺析中學(xué)數(shù)學(xué)中的類比
摘 要：類比法是富有創(chuàng)新意義的重要方法，在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)以及解題中都有著獨(dú)特的地位。它可以讓學(xué)生更容易理解和運(yùn)用新知識(shí)，又因注重創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，從而更符合創(chuàng)新社會(huì)新課程的發(fā)展理念，提高解題能力。因此在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們尤其應(yīng)該了解它，掌握它，運(yùn)用它。本文就在類比的特點(diǎn)，運(yùn)用等方面對(duì)之展開論述。
關(guān)鍵詞：類比法;中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)創(chuàng)新
波利亞(G. Polya，1887～1985)在《怎樣解題》中指出：“類比是一個(gè)偉大的引路人”。類比法是一種特殊到特殊的推理方法，屬于一種橫向思維。沒(méi)有這些思路(普遍化、特殊化和類比的通用的基本思想)，特別是沒(méi)有類比，在初等或高等數(shù)學(xué)中也許就不會(huì)有發(fā)現(xiàn)。而康德(I.Kant，1724～1804)也說(shuō)：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這種方法往往能指引我們前進(jìn)。”當(dāng)今改革的時(shí)代背景下，實(shí)施大國(guó)戰(zhàn)略的重中之重就是提升核心競(jìng)爭(zhēng)力，而美國(guó)人說(shuō)創(chuàng)新就是DNA，而我們新的課改要求“雙基”變“四基”，在新的課程戰(zhàn)略目標(biāo)中，對(duì)創(chuàng)新思維的要求尤為突出。而類比正能突現(xiàn)其獨(dú)特創(chuàng)造魅力。雖然由于類比推理所得結(jié)論的局限性，使它不能作為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理方法，但是它是提出新問(wèn)題和獲得新發(fā)現(xiàn)取之不竭的源泉，是富于創(chuàng)造的一種方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比法對(duì)發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維有著非常重要的作用，且符合當(dāng)今創(chuàng)新性社會(huì)的發(fā)展理念。
下面，本文就從幾個(gè)方面談?wù)勵(lì)惐鹊淖饔眉霸谥袑W(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)。
一、類比在重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)及中學(xué)數(shù)學(xué)中的正面作用
1、從重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)談?lì)惐?/p>
數(shù)學(xué)發(fā)展史上關(guān)于類比的例子俯首即是，但是引用波利亞所說(shuō)：“我們想用一個(gè)不太初等的例子來(lái)說(shuō)明這點(diǎn)，但是這是一個(gè)比我所能想出的任何太初等的例子更能使人難忘和具有歷史意義的有趣的例子”。瑞士著名數(shù)學(xué)家雅克布·伯努利(Jacob Bernoulli，1654～1705)在發(fā)表于1689年的論文《具有有限和的無(wú)窮級(jí)數(shù)的算術(shù)命題》的最后稱難以求出所有正整數(shù)平方倒數(shù)的和。當(dāng)時(shí)歐洲的一流數(shù)學(xué)家如哥德巴赫(Goldbach C，1690～1764)、萊布尼茨(Leibniz G W，1646～1716)等都未能成功解決這一難題。這個(gè)問(wèn)題吸引了瑞士的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler L，1707～1783)的注意，他在1735年以28歲的年齡解決了這個(gè)所謂的“巴塞爾難題”。解決此問(wèn)題后立刻就出名了，這是他年輕時(shí)期最著名的成果之一。歐拉就是運(yùn)用了類比法，將有限與無(wú)限進(jìn)行對(duì)比解決的問(wèn)題。
例：假設(shè)僅含偶次項(xiàng)的2n次代數(shù)方程
其中 (a)
含有2n個(gè)互不相同的兩兩互為相反數(shù)的根： 、 ，…， ，則(a)式必可分解成 (a1)，然后根據(jù)三角方程sinx=0的冪級(jí)數(shù)展開 ，有無(wú)限多個(gè)根：0， ， ， ，…， ，…歐拉除去了這個(gè)零根，等式左右同除以x，得到方程：
(b)它有無(wú)限多個(gè)根： ， ， ，…， ，… 用(b)式與(a) 式相類比，可以推出與(a1)式相類似的表達(dá)式
然后對(duì)比 的系數(shù)，得到 ，即 ， ，
這就是歐拉求出的所有正整數(shù)平方倒數(shù)的和公式。當(dāng)然，歐拉當(dāng)時(shí)的想法雖然是新穎和聰明的，但是同時(shí)也是不嚴(yán)密的，還需要進(jìn)一步的證明。十年后，歐拉用諸多嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行了嚴(yán)格的證明。在解決巴塞爾問(wèn)題過(guò)程中，類比一直是歐拉作重要的思想方法，這有力的證明了類比這種創(chuàng)造性思維的重大作用。誠(chéng)然，類比方法缺乏應(yīng)有的嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，但歐拉解得了正確的結(jié)果，就數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)本身而言，這種思想是富有創(chuàng)造力的。亦如大數(shù)學(xué)家拉普拉斯的話：“讀讀歐拉，他是我們大家的老師。”
更如，阿基米德(Archimedes，公元前287～前212)球表面積公式的導(dǎo)出， 牛頓(Newton I，1642～1727)一般有理數(shù)指數(shù)情形的二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)等無(wú)不充分體現(xiàn)類比的重要性。那么究竟如何定義類比，或是歸納出它的規(guī)律呢?
2、從概念定義談?lì)惐?/p>
通俗地講，類比就是同一類事物之間的比較。由兩個(gè)對(duì)象都具有某些屬性，并且其中一個(gè)對(duì)象還有另外某屬性，推斷出另一個(gè)對(duì)象也有某個(gè)屬性的邏輯方法就是類比法。比如天空中的閃電和地面上的電進(jìn)行比較，它們很多特征都是相同的，比如發(fā)同顏色的光，爆發(fā)時(shí)都有聲音，都是快速運(yùn)動(dòng)，都對(duì)動(dòng)物致命，都能點(diǎn)燃易燃物等;同時(shí)又知地面上的電機(jī)的電可以用導(dǎo)線傳導(dǎo)，由此推想天空中的閃電也可以用導(dǎo)線傳導(dǎo)，后來(lái)美國(guó)大發(fā)明家富蘭克林就通過(guò)著名的風(fēng)箏實(shí)驗(yàn)證實(shí)了這一點(diǎn)。又如下表：
類比對(duì)象 類比對(duì)象所含屬性
A a b c d e
B a b c e
上表中，A和B有相同的屬性a，b，c，e，因A另外含有屬性d，所以推斷B可能有屬性e。
3、從中學(xué)數(shù)學(xué)談?lì)惐?/p>
因?yàn)轭惐确ㄔ阱憻拰W(xué)生創(chuàng)造性思維方面有著重要作用，下面就用幾個(gè)例子介紹在中學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用。
首先，最常見的就是數(shù)和形相類比：通過(guò)建立坐標(biāo)系，建立代數(shù)和幾何的聯(lián)系，使圖像和表達(dá)式有機(jī)的結(jié)合在一起。例如：
?、?求函數(shù) 的最小值。
分析：此類題目可以與“已知兩點(diǎn)A(0，a)，B(b，c)，在X軸上找一點(diǎn)P(x，0)， 使P到A、B兩點(diǎn)的距離之和最小”這個(gè)命題相類比。而此命題可以以坐標(biāo)系為基礎(chǔ)解決。
又如一道高考題(蘇)
?、?設(shè)實(shí)數(shù)a、b和平面xOy內(nèi)的集合
另有， 。
討論是否存在a和b，使得 同時(shí)成立。
若存在，求出a和b;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
分析：此題看起來(lái)毫無(wú)頭緒，大量字母充斥在題目信息中。但若運(yùn)用類比思維，從整體來(lái)看，把表達(dá)式轉(zhuǎn)化成圖像，其實(shí)就是變相的討論“ 圓上及圓內(nèi)是否存在點(diǎn)(a，b)，使直線 和拋物線 有整數(shù)坐標(biāo)公共點(diǎn)” 解：聯(lián)立直線A和B方程消去y，得到 ①
于是， ② 同時(shí)，點(diǎn)(a，b)滿足 ③
③式和②式的變式 兩邊相加，得到 。
但是，代入a，b到①式，得到的公共點(diǎn)坐標(biāo)不是整數(shù)。因此，相矛盾，故不存在這樣的點(diǎn)(a，b)
其次，誠(chéng)然現(xiàn)在的直觀幾何影響下小學(xué)一年級(jí)就首先引入立體幾何的認(rèn)知，但是三維空間的性質(zhì)及運(yùn)用甚至更高維的抽象思維仍是難點(diǎn)。類比就仍可以有效的在幾何性質(zhì)方面把維數(shù)從低維提高到多維。點(diǎn)到線，線到面，面到空間。如我們常見的二維平面上直角三角形勾股定理，就可以通過(guò)類比方法推斷三維空間中直四面體的三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積平方和等于底面面積的平方。亦如我們所能認(rèn)知的三角形是二維平面上最少直線構(gòu)成的封閉空間，而四面體是三維空間中最少平面構(gòu)成的封閉空間。因直線類比于平面，而三角形類比于四面體。
類比不僅可以在解題上給予幫助，同樣對(duì)于概念、性質(zhì)的認(rèn)知以及新舊概念的理解和掌握有著獨(dú)到的作用。例如：在二維平面上我們很容易理解角的概念：從平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線組成的圖形。那么我們是否可以在三維空間中類比推出二面角的概念呢?把點(diǎn)類比直線，射線也就是半直線可以類比為半平面。那么我們就可以得到二面角的概念：從空間一條直線引出的兩個(gè)半平面組成的圖形。 這樣可以極大程度的減少二面角的教學(xué)難度和學(xué)生的理解難度，同時(shí)也可以滲透給學(xué)生類比的思維方法，這對(duì)于一些有難度的概念及性質(zhì)的認(rèn)知和延拓有極大幫助。
此外，現(xiàn)在的課程安排講究螺旋上升，教授新知識(shí)的同時(shí)，又要經(jīng)常復(fù)習(xí)就得知識(shí)，使它們相聯(lián)系，讓學(xué)生能舉一反三，更加牢固的掌握和運(yùn)用新舊知識(shí)。比如在我們學(xué)習(xí)過(guò)橢圓后，我們了解了它的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖像、焦點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、漸近線等等。然后在我們學(xué)習(xí)其他二次曲線如雙曲線時(shí)，我們就可以在這些方面進(jìn)行類比學(xué)習(xí)。這樣既有利于學(xué)習(xí)雙曲線的新知識(shí)，有加深了對(duì)橢圓的理解和掌握，對(duì)新舊知識(shí)的區(qū)分和理解極其有利。
最后，類比可以激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過(guò)對(duì)比，歸類，學(xué)生可以深入的體會(huì)數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律，鉆研數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)展創(chuàng)造性思維，體會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)果的巨大成就感。這對(duì)于學(xué)生將來(lái)探索未知領(lǐng)域、未知問(wèn)題提供各一把寶貴的鑰匙。并能更深入的貫徹高中新課程的理念，更好的符合創(chuàng)新型社會(huì)的時(shí)代要求。為此，在教學(xué)中我們何樂(lè)而不為呢。
二、全面看待類比，克服類比負(fù)面影響
從馬克思主義唯物史觀來(lái)說(shuō)，事物都有兩面性，有利就有弊。我們也要看到類比的負(fù)面問(wèn)題：類比只是一種假設(shè)猜想，是一種或然性推理，即使前提真，結(jié)論也未必真的可靠，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明，證明結(jié)果是正確的，才可以使用，不然就容易犯理想主義、經(jīng)驗(yàn)主義錯(cuò)誤。因此，若要更大限度的使用類比，我們就要盡最大努力的提高類比推理結(jié)果的正確性。
(一)我們要克服一些錯(cuò)誤的類比，防止產(chǎn)生類比的“負(fù)遷移”。遷移就是指一種學(xué)習(xí)對(duì)令一種學(xué)習(xí)的影響?；煜拍?，混淆性質(zhì)等等都會(huì)使我們差生錯(cuò)誤的類比。
例如：若 ，其中 ，求x的取值范圍。
有同學(xué)就會(huì)錯(cuò)誤的解成 ，這里他就混淆了模和絕對(duì)值的概念，產(chǎn)生了“負(fù)遷移”。 正確的解答應(yīng)是
實(shí)際教學(xué)中就可以通過(guò)糾正這些錯(cuò)誤的對(duì)比，進(jìn)一步強(qiáng)化類比的思維方式，既能矯正學(xué)生的錯(cuò)誤，又使它們能夠更加合理正確的使用類比方法。
(二)進(jìn)行事物類比時(shí)要抓住本質(zhì)屬性，同時(shí)盡可能多的增加比較的屬性的數(shù)量，并使推出的屬性和共同的屬性盡量有所聯(lián)系。盡可能的確認(rèn)類比對(duì)象的相同屬性越多，它們的關(guān)聯(lián)度就會(huì)越大，結(jié)論的可靠程度就越高，反之則越低。
(三)最后由于類比就像歐拉所說(shuō)：“是極大程度的相似”，我們必須對(duì)結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)密的論證，保證結(jié)論的正確性。
參考資料
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