2017高二數(shù)學(xué)第二次月考卷及參考答案(2)
三、解答題(本大題共6小題共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.解:不妨設(shè)p為真,要使得不等式恒成立
只需, 又∵當(dāng)時(shí), ∴………3分
不妨設(shè)q為真,要使得不等式有解
只需,即 ……………..6分
∵假,且“”為假命題, 故 q真p假 …………7分
所以 ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為…………10分
18.解:(Ⅰ)眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn),即眾數(shù)的估計(jì)值等于 ………2分
設(shè)圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車速為,則中位數(shù)的估計(jì)值,解得中位數(shù)的估計(jì)值………………………5分
(Ⅱ)從圖中可知,車速在的車輛數(shù)為:(輛),
車速在的車輛數(shù)為:(輛)………………………7分
設(shè)車速在的車輛設(shè)為,車速在的車輛設(shè)為,則所有基本
事件有:
共15種 …………………………………10分
其中車速在的車輛恰有一輛的事件有:
共8種
所以,車速的車輛輛………………………12分
19. 解 (1)(a,b)共有(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),15種情況.………函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn),Δ=b2-4a≥0,
有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6種情況
所以函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)的概率為=……………………………………(2)函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱軸為x=,
在區(qū)間[1,+∞]上是增函數(shù),則有≤1,即b-2a≤0……………………因此有(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13種情況滿足條件,
所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞]上是增函數(shù)的概率為…………………-=1.
由橢圓+=1,求得兩焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),
∴對(duì)于雙曲線C:c=2………………………………………2分
又y=x為雙曲線C的一條漸近線,
∴=,解得a2=1,b2=3,
∴雙曲線C的方程為x2-=1………………………………5分
(2)解 將y=kx-2代入y2=8x中變形整理得:
k2x2-(4k+8)x+4=0,
由,得k>-1且k≠0…………………………8分
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由題意得:x1+x2==4⇒k2=k+2⇒k2-k-2=0.
解得:k=2或k=-1(舍去),………………………………………10分
由弦長(zhǎng)公式得:
|AB|=·=×=2……………………………….12分
21.解:(1)由準(zhǔn)線方程為可設(shè)拋物線C的方程
求得 …………2分
故所求的拋物線C的方程為: ………………4分
(2) 依題意可設(shè)過P的直線l方程為:(m), …………6分
設(shè)
由得:
依題意可知,且 ………………8分
原點(diǎn)落在以為直徑的圓上。∴
即
解得:即 為常數(shù),∴ 原題得證 ………………12分
(說明:直線l方程也可設(shè)為:y=k(x-),但需加入對(duì)斜率不存在情況的討論,否則扣1分)
22.解 (1)設(shè)橢圓C的方程為+=1 (a>b>0).
拋物線方程可化為x2=4y,其焦點(diǎn)為(0,1),
則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為(0,1),即b=1.
由e===.
得a2=5,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1………………………………4分
(2)易求出橢圓C的右焦點(diǎn)F(2,0),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),顯然直線l的斜率存在,
設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),代入方程+y2=1,
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0………………………………………6分
∴x1+x2=,x1x2=...............................7分
又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).
∵=m,=n,
∴m=,n=,………………………………………9分
∴m+n=,
又2x1x2-2(x1+x2)==-,…………………10分
4-2(x1+x2)+x1x2=4-+=,………………………11分
∴m+n=10………………………………………………….12分
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