九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考試卷及答案(2)
九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考試卷參考答案
一、選擇題
1.sin30° 的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.
【解答】解：sin30°= ，
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.
2.下列各組圖形一定相似的是( )
A.兩個(gè)矩形
B.兩個(gè)等邊三角形
C.各有一角是80°的兩個(gè)等腰三角形
D.任意兩個(gè)菱形
【考點(diǎn)】相似圖形.
【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可.
【解答】解：兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似;
兩個(gè)等邊三角形相似對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，一定相似;
各有一角是80°的兩個(gè)等腰三角形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似;
任意兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵.
3.麗華根據(jù)演講比賽中九位評(píng)委所給的分?jǐn)?shù)作了如下表格：
平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則表中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是( )
A.平均數(shù) B.眾數(shù) C.方差 D.中位數(shù)
【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇.
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義：位于中間位置或中間兩數(shù)的平均數(shù)可以得到去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分不影響中位數(shù).
【解答】解：去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響，
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了統(tǒng)計(jì)量的選擇，解題的關(guān)鍵是了解中位數(shù)的定義，難度不大.
4.如果關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是( )
A.m>2 B.m<2 C.m>2且m≠1 D.m<2且m≠1
【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到m﹣1≠0且△=22﹣4(m﹣1)>0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可.
【解答】解：根據(jù)題意得m﹣1≠0且△=22﹣4(m﹣1)>0，
解得m<2且m≠1.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.
5.如圖，將寬為1cm的長(zhǎng)方形紙條沿BC折疊，使∠CAB=45°，則折疊后重疊部分的面積為( )
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);矩形的性質(zhì).
【分析】如圖，作CH⊥AB于H.首先證明AC﹣=AB，△ACH是等腰直角三角形，求出AB、CH即可解決問(wèn)題.
【解答】解：如圖，作CH⊥AB于H.
∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AC=AB，
∵∠CAB=45°，∠AHC=90°，
∴∠CAH=∠HCA=45°，
∴AH=CH=1，AC=AB= ，
∴S△ABC= •AB•CH= ，
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、矩形性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵，本題的突破點(diǎn)是證明AC=AB= ，屬于中考常考題型.
6.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與直線y=1交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，(3，1)，則不等式ax2+bx+c﹣1>0的解集為( )
A.x>1 B.1
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式(組).
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與直線y=1交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到不等式ax2+bx+c﹣1>0的解集.
【解答】解：根據(jù)圖象得二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與直線y=1交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，(3，1)，
而ax2+bx+c﹣1>0，即y>1，
故x<1或x>3.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次不等式之間的聯(lián)系：根據(jù)當(dāng)y>1時(shí)，利用圖象得出不等式解集是解題關(guān)鍵.
二、填空題：
7.拋物線y=2x2﹣4x+1的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=1 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可求得答案.
【解答】解：
∵y=2x2﹣4x+1=2(x﹣1)2﹣1，
∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
故答案為：x=1.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y=a(x﹣h)2+k中，對(duì)稱(chēng)軸為x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k).
8.100件某種產(chǎn)品中有五件次品，從中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 .
【考點(diǎn)】概率公式.
【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：
①全部情況的總數(shù);
?、诜蠗l件的情況數(shù)目;二者的比值就是其發(fā)生的概率.
【解答】解：100件某種產(chǎn)品中有五件次品，從中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 = .
故答案為 .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)= .
9.將拋物線y=﹣2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為 y=﹣2(x﹣1)2+2 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】直接根據(jù)平移規(guī)律作答即可.
【解答】解：將拋物線y=﹣2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后所得拋物線解析式為y=﹣2(x﹣1)2+2.
故答案為：y=﹣2(x﹣1)2+2.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.
10.如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC= .
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】由平行可得到 = ，代入可求得EC，再利用線段的和可求得AC.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得EC= ，
∴AC=AE+EC=2+ = ，
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.
11.已知圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為15π，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為 5 .
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【分析】這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形面積公式得到 •2π•3•l=15π，然后解方程即可.
【解答】解：這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，
根據(jù)題意得 •2π•3•l=15π，解得l=5.
故答案為5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).
12.某人沿著坡度i=1： 的山坡走了50米，則他離地面的高度上升了 25 米.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.
【分析】根據(jù)題意可以設(shè)出某人沿著坡度i=1： 的山坡走了50米時(shí)的豎直高度，然后根據(jù)勾股定理即可解答本題.
【解答】解：設(shè)某人沿著坡度i=1： 的山坡走了50米時(shí)的豎直高度為x米，
則此時(shí)走的水平距離為 米，
由勾股定理可得， ，
解得，x1=﹣25(舍去)，x2=25，
故答案為：25.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題、勾股定理，明確坡度的含義是解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵.
13.從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度h(米)與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是h=10t﹣5t2，則小球運(yùn)動(dòng)到的最大高度為 5 米.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，即可解答.
【解答】解：∵h(yuǎn)=10t﹣5t2=﹣5(t﹣1)2+5，
又∵﹣5<0，
∴t=1時(shí)，h有最大值，最大值為5，
故答案為5.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確的建立二次函數(shù)模型.
14.△ABC中，AB=AC=4，BC=5，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，∠DPE=∠C，則BP= 1或4 .
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=2，CE=2，∠B=∠C，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵AB=AC=4，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，
∴BD=2，CE=2，∠B=∠C，
∵∠DPE=∠C，
∴∠BPD=180°﹣∠B﹣∠DPE，∠CEP=180°﹣∠EPC﹣∠C，
∴∠DPB=∠PEC，
∴△BPD∽△CPE，
∴ ，即 ，
∴PB=1或4，
故答案為：1或4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
15.如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若四邊形ABCO為平行四邊形，則∠ADB= 30° .
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到∠ADC+∠ABC=180°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)的∠AOC=∠ABC，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC= ∠AOC，計(jì)算即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵四邊形ABCO為平行四邊形，
∴∠AOC=∠ABC，
由圓周角定理得，∠ADC= ∠AOC，
∴∠ADC+2∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∵OA=OC，
∴平行四邊形ABCO為菱形，
∴BA=BC，
∴ = ，
∴∠ADB= ∠ADB=30°，
故答案為：30°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.
16.已知二次函數(shù)y=ax2+2 x(a<0)的圖象與x軸交于A(6，0)，頂點(diǎn)為B，C為線段AB上一點(diǎn)，BC=2，D為x軸上一動(dòng)點(diǎn).若BD=OC，則D的坐標(biāo)為 D(2，0)或(4，0) .
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】把A(6，0)代入y=ax2+2 x得0=62a+2 ×6，得到y(tǒng)=﹣ x2+2 x，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到B(3，3 )，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到AB= =6，過(guò)B作BE⊥OA于E，CF⊥OA與F，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AF=2，CF=2 ，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到OC= =2 ，根據(jù)BD=OC，列方程即可得到結(jié)論.
【解答】解：把A(6，0)代入y=ax2+2 x得0=62a+2 ×6，
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ x2+2 x，
∵頂點(diǎn)為B，
∴B(3，3 )，
∴AB= =6，
∵BC=2，
∴AC=4，
過(guò)B作BE⊥OA于E，CF⊥OA與F，
∴CF∥BE，
∴△ACF∽△ABE，
∴ = = ，
∴AF=2，CF=2 ，
∴OF=4，
∴OC= =2 ，
∵BD=OC，
∴BD=2 ，
設(shè)D(x，0)，
∴BD= =2 ，
∴x1=2，x2=4，
∴D(2，0)或(4，0).
故答案為：D(2，0)或(4，0).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
三、解答題：(共102分)
17.(10分)(2016秋•泰州期末)(1)計(jì)算：2﹣1+| ﹣2|+tan60°
(2)解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;解一元二次方程-配方法;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)原式利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，絕對(duì)值的代數(shù)意義，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果;
(2)方程整理后，利用配方法求出解即可.
【解答】解：(1)原式= +2﹣ + = ;
(2)整理得：x2﹣2x=2，
配方得：x2﹣2x+1=3，即(x﹣1)2=3，
解得：x1=1+ ，x2=1﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
18.某班召開(kāi)主題班會(huì)，準(zhǔn)備從由2名男生和2名女生組成的班委會(huì)中選擇2人擔(dān)任主持人.
(1)用樹(shù)狀圖或表格列出所有等可能結(jié)果;
(2)求所選主持人恰好為1名男生和1名女生的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】(1)根據(jù)題意可直接先畫(huà)出列表或樹(shù)狀圖;
(2)根據(jù)圖可判斷12種結(jié)果中有8種結(jié)果可以使該事件發(fā)生，即可得概率.
【解答】解：(1)畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
(2)由(1)知P(恰好為1名男生和1名女生)= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
19.甲進(jìn)行了10次射擊訓(xùn)練，平均成績(jī)?yōu)?環(huán)，且前9次的成績(jī)(單位：環(huán))依次為：8，10，9，10，7，9，10，8，10.
(1)求甲第10次的射擊成績(jī);
(2)求甲這10次射擊成績(jī)的方差;
(3)乙在相同情況下也進(jìn)行了10次射擊訓(xùn)練，平均成績(jī)?yōu)?環(huán)，方差為1.6環(huán)2，請(qǐng)問(wèn)甲和乙哪個(gè)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定?
【考點(diǎn)】方差.
【分析】(1)用甲射擊的總環(huán)數(shù)減去前9次射擊的總環(huán)數(shù)可得;
(2)根據(jù)方差的計(jì)算公式可得;
(3)根據(jù)方差的意義可得答案.
【解答】解：(1)根據(jù)題意，甲第10次的射擊成績(jī)?yōu)?×10﹣(8+10+9+10+7+9+10+8+10)=9;
(2)甲這10次射擊成績(jī)的方差為 ×[4×(10﹣9)2+3×(9﹣9)2+2×(8﹣9)2+(7﹣9)2]=1;
(3)∵平均成績(jī)相等，而甲的方差小于乙的方差，
∴乙的射擊成績(jī)更穩(wěn)定.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方差，熟練掌握方差的計(jì)算公式和方差的意義是解題的關(guān)鍵.
20.(10分)(2016秋•泰州期末)如圖，△ABC中，∠C=90°，tanB= ，AC=2，D為AB中點(diǎn)，DE垂直AB交BC于E.
(1)求AB的長(zhǎng)度;
(2)求BE的長(zhǎng)度.
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【分析】(1)首先利用正切函數(shù)的定義求得另一直角邊BC的長(zhǎng)，然后利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng);
(2)首先求得BD的長(zhǎng)，然后求得DE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求得BE的長(zhǎng).
【解答】解：(1)∵∠C=90°，tanB= ，AC=2，
∴BC=2AC=4，
∴AB= = =2 ;
(2)∵D為AB中點(diǎn)，
∴BD= AB= ，
∵DE垂直AB交BC于E，tanB= ，
∴DE= BD= ，
∴BE= = = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從題目中整理出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系求得相關(guān)線段的長(zhǎng)，難度不大，屬于中等題目.
21.(10分)(2014•哈爾濱)如圖，AB、CD為兩個(gè)建筑物，建筑物AB的高度為60米，從建筑物AB的頂點(diǎn)A點(diǎn)測(cè)得建筑物CD的頂點(diǎn)C點(diǎn)的俯角∠EAC為30°，測(cè)得建筑物CD的底部D點(diǎn)的俯角∠EAD為45°.
(1)求兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度;
(2)求建筑物CD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.
【分析】(1)根據(jù)題意得：BD∥AE，從而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度為60米;
(2)延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F，根據(jù)題意得四邊形ABDF為正方形，根據(jù)AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的長(zhǎng).
【解答】解：(1)根據(jù)題意得：BD∥AE，
∴∠ADB=∠EAD=45°，
∵∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠ADB=45°，
∴BD=AB=60，
∴兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度為60米;
(2)延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F，根據(jù)題意得四邊形ABDF為正方形，
∴AF=BD=DF=60，
在Rt△AFC中，∠FAC=30°，
∴CF=AF•tan∠FAC=60× =20 ，
又∵FD=60，
∴CD=60﹣20 ，
∴建筑物CD的高度為(60﹣20 )米.
【點(diǎn)評(píng)】考查解直角三角形的應(yīng)用;得到以AF為公共邊的2個(gè)直角三角形是解決本題的突破點(diǎn).
22.(10分)(2016秋•泰州期末)如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，且圖象對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1.
(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)P為二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x軸下方的圖象上一點(diǎn)，且S△ABP=S△ABC，求P點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【分析】(1)將B、C的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸方程代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，可得此二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，可得P的縱坐標(biāo)與C的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案.
【解答】解：(1)根據(jù)題意，得
，
解得 .
故二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3.
(2)由S△ABP=S△ABC，得
yP+yC=0，得yP=﹣3，
當(dāng)y=﹣3時(shí)，﹣x2+2x+3=﹣3，
解得x1=1﹣ ，x2=1+ .
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1﹣ ，﹣3)或(1+ ，﹣3).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;(2)利用等底等高的三角形的面積相等得出P的縱坐標(biāo)與C的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵.
23.(10分)(2016秋•泰州期末)如圖，四邊形OABC為平行四邊形，B、C在⊙O上，A在⊙O外，sin∠OCB= .
(1)求證：AB與⊙O相切;
(2)若BC=10cm，求⊙O的半徑長(zhǎng)及圖中陰影部分的面積.
【考點(diǎn)】切線的判定;平行四邊形的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算;解直角三角形.
【分析】(1)由特殊三角函數(shù)值sin∠OCB= ，求得∠OCB=45°，根據(jù)同圓的半徑相等得：OB=OC，利用等邊對(duì)等角得：∠OCB=∠OBC=45°，所以∠BOC=90°，最后由平行四邊形的對(duì)邊平行和平行線性質(zhì)得：
∠BOC=∠ABO=90°，AB與⊙O相切;
(2)根據(jù)勾股定理求⊙O的半徑長(zhǎng)，再利用差求陰影部分的面積.
【解答】(1)證明：連接OB，
∵sin∠OCB= ，
∴∠OCB=45°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BOC=90°，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB∥OC，
∴∠BOC=∠ABO=90°，
∵B在⊙O上，
∴AB與⊙O相切;
解：(2)設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=OC=r，
在Rt△OBC中，r2+r2=102，
∴r=5 ，
∴S陰影部分=S扇形OBC﹣S△OBC= ﹣ × = π﹣25，
答：⊙O的半徑長(zhǎng)5 ，陰影部分的面積為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)值、扇形的面積;明確兩種證明切線的方法：①無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑;②有交點(diǎn)，作半徑，證垂線;熟記扇形的面積公式，并掌握特殊的三角函數(shù)值.
24.(10分)(2016秋•泰州期末)如圖，在菱形ABCD中，AB=4，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE=2，直線OE分別交AB、CD于G、F.
(1)求證：DF=BG;
(2)求DF的長(zhǎng);
(3)若∠ABC=60°，求tan∠AEO.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OD=OB，再由平行線的性質(zhì)得出∠OBG=∠ODF，故可得出△BGO≌△DFO，進(jìn)而可得出結(jié)論;
(2)過(guò)點(diǎn)O作OK∥AD，由三角形中位線定理得出OK的長(zhǎng)，再判定出△DEF∽△KOF，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論;
(3)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ADO=30°，∠OAH=60°，設(shè)OH=x，則DH= x，AH= x，再由AD=4可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠ODF.
在△BGO與△DFO中，
∵ ，
∴△BGO≌△DFO(ASA)，
∴DF=BG;
(2)解：過(guò)點(diǎn)O作OK∥AD，
∵點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，
∴點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，
∴OK是△ACD的中線，
∴OK= AD=2，DK= CD=2.
∵AD∥OK，
∴△DEF∽△KOF，
∴ = ，即 = ，解得DF=1.
(3)解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADO=30°，∠OAH=60°，
設(shè)OH=x，則DH= x，AH= x.
∵AD=4，
∴ x+ x=4，解得x= ，
∴HD=3，OH= ，
∴HE=HD+DE=3+2=5，
∴tan∠AEO= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，涉及面較廣，難度較大.
25.(12分)(2016秋•泰州期末)如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，D重合 )，過(guò)A、E、C三點(diǎn)的⊙O交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE、CF.
(1)求證：△DEC∽△BFC;
(2)設(shè)DE的長(zhǎng)為x，△AEF的面積為y.
?、偾髖關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值;
?、谶B接AC，若△ACF為等腰三角形，求x的值.
【考點(diǎn)】圓的綜合題.
【分析】(1)如圖1中，連接EF.首先證明EF是⊙O直徑，推出∠ECF=90°，由∠DCB=∠ECF，推出∠DCE=∠BCF，由∠D=∠CBF，即可證明△DEC∽△BFC.
(2)①由△DEC∽△BFC，得 = ，求出BF，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.
②分三種情形討論即可解決問(wèn)題.a、當(dāng)AC=AF= 時(shí).b、當(dāng)CA=CF時(shí)，易知AB=BF=1，c、當(dāng)FC=FA時(shí)，則有(2x)2+22=(1+2x)2.
【解答】(1)證明：如圖1中，連接EF.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，AD=BC=2，∠A=∠D=∠DCB=∠ABC=∠CBF=90°，
∴EF是⊙O直徑，
∴∠ECF=90°，
∴∠DCB=∠ECF，
∴∠DCE=∠BCF，∵∠D=∠CBF，
∴△DEC∽△BFC.
(2)①∵△DEC∽△BFC，
∴ = ，
∴ = ，
∴BF=2x，AF=1+2x，
∴y= •AE•AF= (2﹣x)(1+2x)=﹣x2+ x+1=﹣(x﹣ )2+ ，
∵﹣1<0，
∴當(dāng)x= 時(shí)，y有最大值.
②如圖2中，a、當(dāng)AC=AF= 時(shí)，
∵BF=2x= ﹣1，
∴x= .
b、當(dāng)CA=CF時(shí)，易知AB=BF=1，
∴2x=1，
∴x= .
c、當(dāng)FC=FA時(shí)，則有(2x)2+22=(1+2x)2，
解得x= ，
綜上所述，△ACF為等腰三角形，x的值為 或 或 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.
26.(14分)(2016秋•泰州期末)已知二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2(n>0，m≠0)的圖象經(jīng)過(guò)A(2，0).
(1)用含n的代數(shù)式表示m;
(2)求證：二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2的圖象與x軸始終有2個(gè)交點(diǎn);
(3)設(shè)二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B(t，0).
?、佼?dāng)n取n1，n2時(shí)，t 分別為t1，t2，若n1
?、谌魌為整數(shù)，求整數(shù)n的值.
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);二次函數(shù)的圖象.
【分析】(1)把A(2，0)代入y=mx2﹣nx+n﹣2，即可用含n的代數(shù)式表示m;
(2)只需證明△=(﹣n)2﹣4m(n﹣2)>0即可;
(3)①根據(jù)題意用含n的代數(shù)式表示t，可得t1﹣t2= ﹣ = ，依此可得t1﹣t2<0，從而求解;
?、趖= =2﹣ ，因?yàn)閠為整數(shù)且n>0，可得n+2>2，得到n+2=4或n+2=8，解方程即可求解.
【解答】解：(1)把A(2，0)代入y=mx2﹣nx+n﹣2，得4m﹣2n+n﹣2=0，m= ;
(2)∵△=(﹣n)2﹣4m(n﹣2)=n2﹣4× ×(n﹣2)=n2﹣n2+4=4>0，
∴二次函數(shù)y=mx2﹣nx+n﹣2的圖象與x軸始終有2個(gè)交點(diǎn);
(3)①依題意可知t= ;
所以t1﹣t2= ﹣ = ，
因?yàn)閚1
又因?yàn)閚>0，
所以n1+2>0，n2+2>0，
所以t1﹣t2<0，
所以t1
?、趖= =2﹣ ，
因?yàn)閠為整數(shù)且n>0，
所以n+2>2，
所以n+2=4或n+2=8
所以n=2或n=6.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn).解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式△>0證明拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).
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