數學之美論文(2)
數學之美論文
數學之美論文篇三
數學美到什么程度?古希臘哲學家、數學家普洛克拉斯說："哪里有數，哪里就有美。"美國數學家克萊因說："音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善生活，但數學卻能提供上述的一切。"。由上可知，數學美的存在性，必然性，獨特性。數學美與一般的自然美，藝術美不同，自然美體現(xiàn)的是自然界的現(xiàn)象和諧，藝術美是體現(xiàn)藝術形象的和諧，而數學美體現(xiàn)的是自然界的內在和諧。那么什么是數學的美?
一、數學美的含義
我國著名數學家徐利治指出："''數學美''的含義是豐富的，如數學概念的簡單性，統(tǒng)一性，結構系統(tǒng)的協(xié)調性，對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性與普遍性，還有數學中的奇異性都是數學美的具體內容。"因此我們可以把數學的美分為結構美、方法美、語言美、邏輯美、非邏輯美、創(chuàng)造美、形態(tài)美、內在美、嚴謹美與應用美。[1]數學的結構美是一種內在的美，來自各部分的和諧秩序，給人以美的感受。比如楊輝三角,這是一個有很強內在規(guī)律的數學結構。數學的方法美是指數學證明方法與思維方法在解決問題時體現(xiàn)出來的美妙以及使人感到愉快的美感并激發(fā)興趣。如古希臘數學家帕普斯很小從師于丟番圖學習數學;一天他向老師請教一個問題：有四個數，把其中每三個相加，其和為22、24、27、20，求這四個數。這個問題看似簡單，但具體做起來卻有一定的復雜性。看看丟番圖是如何解的;他沒有分別設四個未知數而是只設四個數之和為x，那么四個數就分別為x-22、x-24、x-27和x-20，于是有方程x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)，解得x=31。從而得到四個數分別為9、7、4、11。由此使帕普斯堅定了學習數學的信念，歷史上多了一位偉大數學家。數學的語言是一種特殊的語言，它是借助數字符號把數字內容扼要地表現(xiàn)出來，具有準確性、概括性、有序性、簡單性、通用性。世界范圍內公認的數字符號，突破了各民族語言的障礙而成為全人類共同的統(tǒng)一的表達工具。如任何一個國家的人都明白∠、△、≌表示什么。數學中的邏輯推理是根據所學過的知識來推導出未知的，無論由已知推向結果還是結果反推已知，一步一步的推理，一環(huán)扣一環(huán)的演繹，都是數學嚴謹的邏輯美，都給人以破案的神秘感。數學的非邏輯美是一些自然界現(xiàn)實所概括的一些公理定義，如兩點確定一條直線，SAS等等，并用它們來證明一些問題。數學的創(chuàng)造美中，不斷地由一問題轉向別的問題，進而探索發(fā)展為一門新的數學分支，如開始只有正數，后來有了負數，再后來擴大到了復數。數學的形態(tài)美是指數學美的內容的外部表現(xiàn)形態(tài)，即"在數學理論、圖形之中，或者數字理論和圖形的相互關系中，表現(xiàn)這些關系的定理和公式，所呈現(xiàn)出來的簡單、整齊、對稱和諧的美"。例如，中學數學所學的一次函數、二次函數，無論是函數的解析表達式，還是函數圖象都體現(xiàn)了數學形態(tài)美的特征。數學內在美是指數學美的內容諸要素的內部組織結構"例如：直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，看起來是各不相同的曲線，但在極坐標體系下可用簡潔、優(yōu)美的方程ρ=ep/(1-e•cosθ)表示，這給人一種多樣統(tǒng)一的和諧感。數學的嚴謹美是數學中遵循著"不漏不重原則"，對于公理定理定義應該是少一個不行，多一個不要，在不多不少中，恰好夠用的理論基礎上，得出一套嚴謹的邏輯體系，建成一座座數學的大廈。數學的應用美是不同的人應用相同的數學概念和方法研究不同的事物，不相同的事物又都服從于同一數學規(guī)律。如正多邊形鑲嵌成的地板圖案，各種幾何體造型的建筑物，如悉尼大歌劇院。數學在高技術中的應用，制造導彈以及飛船等等。
二、數學美的特征
隨著社會歷史的發(fā)展，數學美的概念在不斷的變化和發(fā)展，但數學美的內容和基本特征具有相對穩(wěn)定性，概括起來數學美的主要特征為：和諧性、簡潔性和奇異性。[2]
1、和諧性是指數學內容的部分與部分，部分與整體之間的和諧、協(xié)調。
如歐幾里德的《幾何原本》從少量的幾個定義、公理、公設出發(fā)，按照邏輯規(guī)劃，推論出467個定理。把當時的幾何、代數知識統(tǒng)一于一個嚴謹的演繹體系中，井然有序，統(tǒng)一協(xié)調。在數學方法上，不同類型的問題可以用不變的思想方法來解決，如初中代數里高次多元方程可以通過降次消元思想解，異分母的分式相加減借助于同分母的分式相加減來實現(xiàn)。而一些復雜圖形可以采用圖形割補方法化歸為簡單形來解。再如數學形式和結構的對稱性，數學解題對稱方法，往往使得解決問題的過程簡潔明快。具體體現(xiàn)在①數的對稱性：如二項展開式系數;②式的對稱性：如余弦定理中各個邊之間的互換;③圖形的對稱性：如軸對稱、中心對稱，尤其是圓和球最美最受青睞。因為圓和球它們在各個方向都對稱。因此，圓和球是最完美的圖形。亞里士多德也認為球形是諸天體形狀中最神圣和最完美的形象。④理論的對稱現(xiàn)象，如互逆定理。還有世界上最美最神奇的比例--黃金分割(如果將一條線段分成大小兩段，小段與大段的長度之比恰好等于大段的長度與全長之比)。它的近似比為0.618。大畫家達•芬奇把它稱為"黃金數"。如人的肚臍是人體總長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。在繪畫或攝影時常常也把中心放在"黃金分割"點上，使畫面給人一種勻稱協(xié)調、賞心悅目的美感。而弦樂器的琴弦在0.618處彈奏，能使琴聲更加柔美。日常生活中，人們用相似的黃金分割比來設計書籍的開本;電影電視屏幕，也就是黃金矩形，圖案給人視覺上的美。不變性也是美，千變萬化的狀態(tài)中存在"以不變應萬變"的不變量與不變式，例如，加法交換律，平方和不變等等。恰當、適度也是一種美，數學家所追求的充分必要條件，最佳估計，最佳逼近，不多不少及恰當好處等都是一種美的標志。
2、簡潔性是指數學理論的邏輯結構簡潔，推導、證明書寫的簡捷以及解答形式的簡明，并不是指數學內容本身的簡單。
數學中的許多定理、公式、證明都充滿著簡單的特征。例如"兩點之間線段最短"，這條公理表述得多么簡練，恰到好處地概括了連接兩點之間不同的線、線段最短的規(guī)律。再如數學符號的產生和發(fā)展，使得數學表達形式極其簡單，如求和符號Σ?？陀^世界中的許多現(xiàn)象可以歸納為抽象數學的一個公式、一個方程或一個函數。例如牛頓的萬有引力定律，愛因斯坦的質能公式，內容極其豐富。但表達形式又是如此簡單明了等等。簡潔性還是數學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學方法之一，如代數運算中乘法的引進，乃是為了避免重復的加法運算;乘方的引進，又是為了避免重復的乘法運算，同時表達方式變得更簡單。二進制可以說是從邏輯關系的簡單性考慮中所引進的結果;由于追求計算的簡單性，導致對數的計算法的產生;幾何作圖中，為追求較簡單的作圖工具，引出了"尺規(guī)作圖";與最簡形式相關，數學中規(guī)定了各種標準形式，如曲線方程的標準式。數學家對追求簡單的數學美來促進數學創(chuàng)造，給予了極高的評價，自然規(guī)律常具有一種數學簡單性，數學的這種簡s單美也正是自然內在的秉性。
3、奇異性是指數學中原有的習慣、法則和統(tǒng)一格局，被新的事物所突破，或出乎意料、超乎想象的結果所帶來的新穎和奇特。
例如對于任意三角形，它們的三條中線總是交于一點，我們看到各種三角形都是如此而并非巧合，顯示了一種奇巧的美。同樣，三角形三條角平分線，三條垂直平分線，三條高也分別交于一點，更進一步認識到即使是最簡單的圖形--三角形也蘊藏的奇異規(guī)律。數學的一種證明方法--反證法，給人感受的美也是一種奇異的內在美。反例的應用往往是對已有的數學理論的突破，對舊的平衡的破壞和新的平衡的建立，推進了理論的重大發(fā)展。歷史上著名的狄里克萊函數就反證了周期函數不一定存在最小正周期。奇異性還往往伴隨著數學方法的出現(xiàn)，如方程中的換元法、數列中的拆項求和、幾何中的補形法等積法及數形結合思想方法，無不顯示出數學的較高技巧又神奇魅力所在。正如英國物理學家狄拉克說："上帝使用了美麗的數學來創(chuàng)造這個世界!"數學是美的，數學是美的科學。
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