山東省高考數(shù)學一模試卷及答案(2)
山東省高考數(shù)學一模試卷答案
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合M={0,1,2},N={x|﹣1≤x≤1,x∈Z},則( )
A.M⊆N B.N⊆M C.M∩N={0,1} D.M∪N=N
【考點】交集及其運算.
【分析】列舉出N中元素確定出N,找出M與N的交集即可.
【解答】解:∵M={0,1,2},N={x|﹣1≤x≤1,x∈Z}={﹣1,0,1},
∴M∩N={0,1},
故選:C.
【點評】此題考查了交集及其運算,熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.
2.如果復數(shù)z= (b∈R)的實部和虛部相等,則|z|等于( )
A.3 B.2 C.3 D.2
【考點】復數(shù)求模.
【分析】由已知條件利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算法則和復數(shù)的實部和虛部相等,求出z=3+3i,由此能求出|z|.
【解答】解:z= = = = ﹣ i,
∵復數(shù)z= (b∈R)的實部和虛部相等,
∴ ,解得b=﹣9,
∴z=3+3i,
∴|z|= =3 .
故選:A.
【點評】本題考查復數(shù)的模的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算法則的合理運用.
3.“log2(2x﹣3)<1”是“4x>8”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性分別化簡log2(2x﹣3)<1,4x>8,即可判斷出結(jié)論.
【解答】解:log2(2x﹣3)<1,化為0<2x﹣3<2,解得 .
4x>8,即22x>23,解得x .
∴“log2(2x﹣3)<1”是“4x>8”的充分不必要條件.
故選:A.
【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
4.函數(shù)y=x2+ln|x|的圖象大致為( )
A. B. C. D.
【考點】函數(shù)的圖象.
【分析】先求出函數(shù)為偶函數(shù),再根據(jù)函數(shù)值的變化趨勢或函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.
【解答】解:∵f(﹣x)=x2+ln|x|=f(x),
∴y=f(x)為偶函數(shù),
∴y=f(x)的圖象關于y軸對稱,故排除B,C,
當x→0時,y→﹣∞,故排除D,
或者根據(jù),當x>0時,y=x2+lnx為增函數(shù),故排除D,
故選:A
【點評】本題考查了函數(shù)圖象的識別,關鍵是掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的變化趨勢,屬于基礎題.
5.函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣π<φ<0)的部分圖象如圖所示,為了得到g(x)=Asinωx的圖象,只需將函數(shù)y=f(x)的圖象( )
A.向左平移 個單位長度 B.向左平移 個單位長度
C.向右平移 個單位長度 D.向右平移 個單位長度
【考點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.
【分析】由函數(shù)的最值求出A,由周期求出ω,由特殊點求出φ的值,可得凹函數(shù)f(x)的解析式,再利用y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,得出結(jié)論.
【解答】解:由函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣π<φ<0)的部分圖象,
可得A=2,∵ ,∴T=π,ω=2,f(x)=2cos(2x+φ),
將 代入得 ,∵﹣π<φ<0,
∴ .
故可將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移 個單位長度得到l的圖象,即可得到g(x)=Asinωx的圖象,
故選:B.
【點評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解析式,由函數(shù)的最值求出A,由周期求出ω,由特殊點求出φ的值,y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,屬于基礎題.
6.甲、乙、丙 3人站到共有7級的臺階上,若每級臺階最多站2人,同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置,則不同的站法總數(shù)是( )
A.210 B.84 C.343 D.336
【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.
【分析】由題意知本題需要分組解決,共有兩種情況,對于7個臺階上每一個只站一人,若有一個臺階有2人另一個是1人,根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果.
【解答】解:由題意知本題需要分組解決,因為對于7個臺階上每一個只站一人有 種;
若有一個臺階有2人另一個是1人共有 種,
所以根據(jù)分類計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是 種.
故選:D.
【點評】分類要做到不重不漏,分類后再分別對每一類進行計數(shù),最后用分類加法計數(shù)原理求和,得到總數(shù).分步要做到步驟完整,完成了所有步驟,恰好完成任務.
7.已知變量x,y滿足:: ,則z=( )2x+y的最大值為( )
A. B.2 C.2 D.4
【考點】簡單線性規(guī)劃.
【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域,設m=2x+y,利用線性規(guī)劃的知識求出m的最大值即可求出z的最大值.
【解答】解:作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:(陰影部分).
設m=2x+y得y=﹣2x+m,
平移直線y=﹣2x+m,
由圖象可知當直線y=﹣2x+m經(jīng)過點A時,直線y=﹣2x+m的截距最大,
此時m最大.
由 ,解得 ,即A(1,2),
代入目標函數(shù)m=2x+y得z=2×1+2=4.
即目標函數(shù)z=( )2x+y的最大值為z=( )4=4.
故選:D.
【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用目標函數(shù)的幾何意義,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本思想.
8. 公元263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設計的一個程序框圖,則輸出n的值為( )
(參考數(shù)據(jù): ≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)
A.12 B.24 C.36 D.48
【考點】程序框圖.
【分析】列出循環(huán)過程中S與n的數(shù)值,滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán).
【解答】解:模擬執(zhí)行程序,可得:
n=6,S=3sin60°= ,
不滿足條件S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3,
不滿足條件S≥3.10,n=24,S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056,
滿足條件S≥3.10,退出循環(huán),輸出n的值為24.
故選:B.
【點評】本題考查循環(huán)框圖的應用,考查了計算能力,注意判斷框的條件的應用,屬于基礎題.
9.已知O為坐標原點,F(xiàn)是雙曲線 的左焦點,A,B分別為Γ的左、右頂點,P為Γ上一點,且PF⊥x軸,過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E,直線 BM與y軸交于點N,若|OE|=2|ON|,則 Γ的離心率為( )
A.3 B.2 C. D.
【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).
【分析】根據(jù)條件分別求出直線AE和BN的方程,求出N,E的坐標,利用|OE|=2|ON|的關系建立方程進行求解即可.
【解答】解:∵PF⊥x軸,
∴設M(﹣c,0),則A(﹣a,0),B(a,0),
AE的斜率k= ,則AE的方程為y= (x+a),
令x=0,則y= ,即E(0, ),
BN的斜率k=﹣ ,則AE的方程為y=﹣ (x﹣a),
令x=0,則y= ,即N(0, ),
∵|OE|=2|ON|,
∴2| |=| |,
即 = ,
則2(c﹣a)=a+c,
即c=3a,
則離心率e= =3,
故選:A
【點評】本題主要考查雙曲線離心率的計算,根據(jù)條件求出直線方程和點N,E的坐標是解決本題的關鍵.
10.曲線 的一條切線l與y=x,y軸三條直線圍成三角形記為△OAB,則△OAB外接圓面積的最小值為( )
A. B. C. D.
【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.
【分析】設直線l與曲線的切點坐標為(x0,y0),求出函數(shù)的導數(shù),可得切線的斜率和方程,聯(lián)立直線y=x求得A的坐標,與y軸的交點B的坐標,運用兩點距離公式和基本不等式可得AB的最小值,再由正弦定理可得外接圓的半徑,進而得到所求面積的最小值.
【解答】解:設直線l與曲線的切點坐標為(x0,y0),
函數(shù) 的導數(shù)為 .
則直線l方程為 ,即 ,
可求直線l與y=x的交點為A(2x0,2x0),與y軸的交點為 ,
在△OAB中, ,
當且僅當x02=2 時取等號.
由正弦定理可得△OAB得外接圓半徑為 ,
則△OAB外接圓面積 ,
故選C.
【點評】本題考查導數(shù)的運用:求切線方程,考查導數(shù)的幾何意義,同時考查正弦定理的運用,基本不等式的運用:求最值,以及化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.
11.設 的值為 80 .
【考點】二項式定理的應用.
【分析】由題意可得a3的值即為x6的系數(shù),利用其通項公式即可得出.
【解答】解:由題意可得a3的值即為x6的系數(shù),
故在 的通項公式中,
令r=3,即可求得 .
故答案為:80.
【點評】本題考查了二項式定理的通項公式,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.
12.設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ
【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.
【分析】畫正態(tài)曲線圖,由對稱性得c﹣1與c+1的中點是2,由中點坐標公式得到c的值.
【解答】解:∵N(2,32)⇒ ,
,
∴ ,
解得c=2,
故答案為:2.
【點評】本題考查正態(tài)分布,正態(tài)曲線有兩個特點:(1)正態(tài)曲線關于直線x=μ對稱;(2)在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1.
13.現(xiàn)有一半球形原料,若通過切削將該原料加工成一正方體工件,則所得工件體積與原料體積之比的最大值為 .
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.
【分析】設球半徑為R,正方體邊長為a,求出當正方體體積最大時對應的球半徑,由此能求出結(jié)果.
【解答】解:設球半徑為R,正方體邊長為a,
由題意得當正方體體積最大時:
,∴ ,
∴所得工件體積與原料體積之比的最大值為:
.
故答案為: .
【點評】本題考查工件體積與原料體積之比的最大值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
14.有下列各式: , , ,…則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為: (n∈N*) .
【考點】歸納推理.
【分析】觀察各式左邊為 的和的形式,項數(shù)分別為:3,7,15,故可猜想第n個式子中應有2n+1﹣1項,
不等式右側(cè)分別寫成 , , 故猜想第n個式子中應為 ,由此可寫出一般的式子.
【解答】解:觀察各式左邊為 的和的形式,項數(shù)分別為:3,7,15,故可猜想第n個式子中應有2n+1﹣1項,
不等式右側(cè)分別寫成 , , 故猜想第n個式子中應為 ,
按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為:
故答案為:
【點評】本題考查歸納推理、考查觀察、分析、解決問題的能力.
15.在 ,點M是△ABC外一點,BM=2CM=2,則AM的最大值與最小值的差為 2 .
【考點】平面向量數(shù)量積的運算.
【分析】取邊BC的中點為O,把( + )• =0轉(zhuǎn)化為 • =0,得出 ⊥ ,△ABC為等邊三角形,以O為坐標原點,以BC邊所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系,利用坐標表示得出AM的解析式,求出它的最大值與最小值即可.
【解答】解:取邊BC的中點為O,則 = ( + ),
又( + )• =0,∴ • =0,
∴ ⊥ ,∴△ABC為等腰三角形,
又∠A= ,∴△ABC為等邊三角形,
以O為坐標原點,以BC邊所在的直線為x軸,
建立平面直角坐標系如圖所示;
則A(0, a),B(﹣a,0),C(a,0),
又BM=CM=2,
所以(x+a)2+y2=4
(x﹣a)2+y2=1,
所以解方程組 得: 或 ,
所以當 時
=
=
= ,
令a2﹣ =cosθ,
則AM= = ,
所以當θ= 時(AM)min=1,
同理當 時,
AM= = = ,
所以當θ= 時(AM)max=3;
綜上可知:AM的取值范圍是[1,3],
AM的最大值與最小值的差是2.
故答案為:2.
【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與應用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合與邏輯推理以及計算能力的應用問題,是難題.
三、解答題:本大題共6小題,共75分.
16.(12分)(2017•日照一模)已知函數(shù)f(x)= sin2x﹣2cos2x﹣1,x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最小值;
(Ⅱ)在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c= ,f(C)=0,sinB=2sinA,求a,b的值.
【考點】余弦定理;兩角和與差的正弦函數(shù);三角函數(shù)的周期性及其求法.
【分析】(Ⅰ)f(x)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),找出ω的值,代入周期公式求出函數(shù)f(x)的最小正周期,利用正弦函數(shù)的值域確定出f(x)最小值即可;
(Ⅱ)由f(C)=0及第一問化簡得到的解析式,求出C的度數(shù),利用正弦定理化簡sinB=2sinA,得到b=2a,利用余弦定理列出關系式,把c,b=2a,cosC的值代入即可求出a與b的值.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)= sin2x﹣(cos2x+1)﹣1= sin2x﹣cos2x﹣2=2sin(2x﹣ )﹣2,
∵ω=2,﹣1≤sin(2x﹣ )≤1,
∴f(x)的最小正周期T=π;最小值為﹣4;
(Ⅱ)∵f(C)=2sin(2C﹣ )﹣2=0,
∴sin(2C﹣ )=1,
∵C∈(0,π),∴2C﹣ ∈(﹣ , ),
∴2C﹣ = ,即C= ,
將sinB=2sinA,利用正弦定理化簡得:b=2a,
由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2,
把c= 代入得:a=1,b=2.
【點評】此題考查了正弦、余弦定理,二倍角的余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵.
17.(12分)(2017•日照一模)一袋中有7個大小相同的小球,其中有2個紅球,3個黃球,2個藍球,從中任取3個小球.
(I)求紅、黃、藍三種顏色的小球各取1個的概率;
(II)設X表示取到的藍色小球的個數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.
【考點】離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)利用P= 即可得出.
(II)X可能取0,1,2.P(X=k)= ,即可得出分布列與數(shù)學期望.
【解答】解:(Ⅰ)P= = .
(II)X可能取0,1,2.P(X=k)= ,可得P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= .
X的分布列
X 0 1 2
P
EX=0+ +2× = .
【點評】本題考查了超幾何分布列的概率計算公式、數(shù)學期望,考查了推理能力與計算能力了,屬于中檔題.
18.(12分)(2017•日照一模)如圖,菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2,它們所在平面互相垂直,F(xiàn)D⊥平面ABCD,且FD= .
(I)求證:EF∥平面ABCD;
(Ⅱ)若∠CBA=60°,求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.
【考點】二面角的平面角及求法.
【分析】(I)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明EF∥平面ABCD;
(Ⅱ),建立空間坐標系,利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.
【解答】解:(Ⅰ)如圖,過點E 作 EH⊥BC于H,連接HD,
∴EH= .
∵平面ABCD⊥平面BCE,EH⊂平面BCE,
平面ABD∩平面BCE=BC,
∴EH⊥平面ABCD,
又∵FD⊥平面ABCD,F(xiàn)D= ,
∴FD∥EH.FD=EH
∴四邊形EHDF 為平行四邊形.
∴EF∥HD
∵EF⊄平面ABCD,HD⊂平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD
(Ⅱ)連接HA 由(Ⅰ),得H 為BC 中點,
又∠CBA=60°,△ABC 為等邊三角形,
∴AH⊥BC,
分別以HB,HA,HE 為x,y,z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系H﹣xyz.
則 B(1,0,0),F(xiàn)(﹣2, , ),E(0,0, ),A(0, ,0)
=(﹣3, , ), =(﹣1, ,0), =(﹣1,0, ),
設平面EBF 的法向量為 =(x,y,z).
由 得
令z=1,得 =( ,2,1).
設平面ABF的法向量為 =(x,y,z).
由 得
令y=1,得 =( ,1,2)
cos< , >= = = = ,
∵二面角A﹣FB﹣E是鈍二面角,
∴二面角A﹣FB﹣E的余弦值是﹣ .
【點評】本題綜合考查空間中線線、線面的位置關系和空間中角的計算,涉及二面角的平面角,傳統(tǒng)方法和坐標向量法均可,考查的知識面較廣,難度中等.
19.(12分)(2017•安徽模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=1﹣ ,其中n∈N*.
(Ⅰ)設bn= ,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出{an}的通項公式an;
(Ⅱ)設Cn= ,數(shù)列{CnCn+2}的前n項和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得Tn< 對于n∈N*恒成立,若存在,求出m的最小值,若不存在,請說明理由.
【考點】數(shù)列遞推式;數(shù)列與不等式的綜合.
【分析】(Ⅰ)利用遞推公式即可得出bn+1﹣bn為一個常數(shù),從而證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列的通項公式即可得到bn,進而得到an;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論,利用“裂項求和”即可得到Tn,要使得Tn< 對于n∈N*恒成立,只要 ,即 ,解出即可.
【解答】(Ⅰ)證明:∵bn+1﹣bn= =
= =2,
∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列,
又 =2,∴bn=2+(n﹣1)×2=2n.
∴2n= ,解得 .
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得 ,
∴cncn+2= = ,
∴數(shù)列{CnCn+2}的前n項和為Tn= … +
=2 <3.
要使得Tn< 對于n∈N*恒成立,只要 ,即 ,
解得m≥3或m≤﹣4,
而m>0,故最小值為3.
【點評】正確理解遞推公式的含義,熟練掌握等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、等價轉(zhuǎn)化等方法是解題的關鍵.
20.(13分)(2017•日照一模)已知左、右焦點分別為F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0)的橢圓 過點 ,且橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點.
(I)求橢圓C的離心率和標準方程.
(II)圓 與橢圓C交于A,B兩點,R為線段AB上任一點,直線F1R交橢圓C于P,Q兩點,若AB為圓P1的直徑,且直線F1R的斜率大于1,求|PF1||QF1|的取值范圍.
【考點】圓錐曲線的范圍問題;橢圓的簡單性質(zhì);圓與圓錐曲線的綜合;直線與橢圓的位置關系.
【分析】(Ⅰ)利用橢圓C過點 ,∵橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點,推出a=2c,然后求解橢圓C的離心率,標準方程.
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),利用中點坐標公式以及平方差法求出AB的斜率,得到直線AB的方程,代入橢圓C的方程求出點的坐標,設F1R:y=k(x+1),聯(lián)立 ,設P(x3,y3),Q(x4,y4),利用韋達定理,結(jié)合 , ,化簡|PF1||QF1|,通過 ,求解|PF1||QF1|的取值范圍.
【解答】(本小題滿分13分)
(Ⅰ)解:∵橢圓C過點 ,∴ ,①
∵橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點,∴a=2c,
∵a2=b2+c2,∴ ,②
由①②得a2=4,b2=3,a=2,c=1,
∴橢圓C的離心率 ,標準方程為 .…
(Ⅱ)因為AB為圓P1的直徑,所以點P1 為線段AB的中點,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則, ,又 ,
所以 ,則(x1﹣x2)﹣(y1﹣y2)=0,故 ,則直線AB的方程為 ,即 .…(8分)
代入橢圓C的方程并整理得 ,
則 ,故直線F1R的斜率 .
設F1R:y=k(x+1),由 ,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,
設P(x3,y3),Q(x4,y4),則有 , .
又 , ,
所以|PF1||QF1|=(1+k2)|x3x4+(x3+x4)+1|= ,
因為 ,所以 ,
即|PF1||QF1|的取值范圍是 .…(13分)
【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì),橢圓方程的求法直線與橢圓的位置關系的應用,考查轉(zhuǎn)化思想以及平方差法的應用,考查分析問題解決問題的能力.
21.(14分)(2017•日照一模)設f(x)=xex(e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)=(x+1)2.
(I)記 ,討論函F(x)單調(diào)性;
(II)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R),若函數(shù)G(x)有兩個零點.
(i)求參數(shù)a的取值范圍;
(ii)設x1,x2是G(x)的兩個零點,證明x1+x2+2<0.
【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;根的存在性及根的個數(shù)判斷.
【分析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)(i)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍,根據(jù)函數(shù)的零點的個數(shù),求出a的范圍即可;
(ii)根據(jù)a的范圍,得到 = =﹣ ,令m>0,得到F (=1+m)﹣F(﹣1﹣m)= ( e2m+1),再令φ(m)= e2m+1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【解答】解:(Ⅰ)F(x)= = ,(x≠﹣1),
F′(x)= = ,
∴x∈(﹣∞,﹣1)時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)遞減,
x∈(﹣1,+∞)時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)遞增;
(Ⅱ)由已知,G(x)=af(x)+g(x)=axex+(x+1)2,
G′(x)=a(x+1)ex+2(x+1)=(x+1)(aex+2),
(i)①a=0時,G(x)=(x+1)2,有唯一零點﹣1,
?、赼>0時,aex+2>0,
∴x∈(﹣∞,﹣1)時,G′(x)<0,G(x)遞減,
x∈(﹣1,+∞)時,G′(x)>0,G(x)遞增,
∴G(x)極小值=G(﹣1)=﹣ <0,
∵G(0)=1>0,∴x∈(﹣1,+∞)時,G(x)有唯一零點,
x<﹣1時,ax<0,則ex< ,∴axex> ,
∴G(x)> +(x+1)2=x2+(2+ )x+1,
∵△= ﹣4×1×1= + >0,
∴∃t1,t2,且t1
使得x2+(2+ )x+1>0,
取x0∈(﹣∞,﹣1),則G(x0)>0,則x∈(﹣∞,﹣1)時,G(x)有唯一零點,
即a>0時,函數(shù)G(x)有2個零點;
?、踑<0時,G′(x)=a(x+1)(ex﹣(﹣ )),
由G′(x)=0,得x=﹣1或x=ln(﹣ ),
若﹣1=ln(﹣ ),即a=﹣2e時,G′(x)≤0,G(x)遞減,至多1個零點;
若﹣1>ln(﹣ ),即a<﹣2e時,G′(x)=a(x+1)(ex﹣(﹣ )),
注意到y(tǒng)=x+1,y=ex+ 都是增函數(shù),
∴x∈(﹣∞,ln(﹣ ))時,G′(x)<0,G(x)是減函數(shù),
x∈(ln(﹣ ),﹣1)時,G′(x)>0,G(x)遞增,
x∈(﹣1,+∞)時,G′(x)<0,G(x)遞減,
∵G(x)極小值=G(ln(﹣ ))=ln2(﹣ )+1>0,
∴G(x)至多1個零點;
若﹣1
x∈(﹣∞,﹣1)時,G′(x)<0,G(x)是減函數(shù),
x∈(﹣1,ln(﹣ ))時,G′(x)>0,G(x)遞增,
x∈(ln(﹣ ),+∞)時,G′(x)<0,G(x)遞減,
∵G(x)極小值=G(﹣1)=﹣ >0,
∴G(x)至多1個零點;
綜上,若函數(shù)G(x)有2個零點,
則參數(shù)a的范圍是(0,+∞);
(ii)由(i)得:函數(shù)G(x)有2個零點,則參數(shù)a的范圍是(0,+∞),
x1,x2是G(x)的兩個零點,則有:
,即 ,即 = =﹣ ,
∵F(x)= ,則F(x1)=F(x2)<0,且x1<0,x1≠﹣1,x2<0,x2≠﹣1,x1≠x2,
由(Ⅰ)知,當x∈(﹣∞,﹣1)時,F(xiàn)(x)是減函數(shù),x∈(﹣1,+∞)時,F(xiàn)(x)是增函數(shù),
令m>0,F(xiàn) (=1+m)﹣F(﹣1﹣m)= ( e2m+1),
再令φ(m)= e2m+1=e2m﹣ ﹣1,
則φ′(m)= >0,
∴φ(m)>φ(0)=0,又 >0,
m>0時,F(xiàn)(﹣1+m)﹣F(﹣1﹣m)>0恒成立,
即F(﹣1+m)>F(﹣1﹣m)恒成立,
令m=﹣1﹣x1>0,即x1<﹣1,有F(﹣1+(﹣1﹣x1))>F(﹣1﹣(﹣1﹣x1)),
即F(﹣2﹣x1)>F(x1)=F(x2),
∵x1<﹣1,∴﹣2﹣x1>﹣1,又F(x1)=F(x2),必有x2>﹣1
猜你喜歡: